Anexo 1.1 Modelación Matemática de
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- Ramón Belmonte Palma
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1 ELC-3303 Teoría de Control Anexo. Modelación Matemática de Sitema Fíico Prof. Francico M. Gonzalez-Longatt Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt,
2 . Reducción de Diagrama de Bloque Se deea implificar el diagrama de bloque motrado en la figura iguiente. R( C( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt,
3 . Reducción de Diagrama de Bloque El primer pao e mover el punto de ramificación de la trayectoria de eñal que contiene la función de tranferencia H l fuera del lazo que contiene H,detal modo que el itema reulta: R ( C ( H G R ( C( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
4 . Reducción de Diagrama de Bloque El egundo pao, e procede a eliminar lo do lazo; el que contiene a H, que e una realimentación, donde e cierra un lazo, y el la bifurcación hacia H delante H /G. R ( C( G R( G H GH G C( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
5 . Reducción de Diagrama de Bloque Una vez que e han eliminado lo do lazo, e procede a combinar la aociación de do bloque en cacada y e logra: ( R GH C ( GH Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
6 . Reducción de Diagrama de Bloque Se deea implificar el diagrama de bloque motrado en la iguiente Figura. R( X ( C( A partir del reultado obtenido, e deea obtener la función de tranferencia que relaciona C(conR( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
7 . Reducción de Diagrama de Bloque Un primer enfoque, e modificar la eñal que va a lo umadore, y e modifica, para motrada como do lazo eparado. R( X ( C( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
8 . Reducción de Diagrama de Bloque Ahora, e procede a eliminar la trayectoria directa hacia delante, ma interna, que involucra a la función de tranferencia G. R( X ( G G C( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
9 . Reducción de Diagrama de Bloque Se procede ahora a eliminar el pao hacia delante. R ( C ( G G G Finalmente la función de tranferencia C(/R( e conigue mediante: C( R( = G G G Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
10 . Reducción de Diagrama de Bloque También e obtiene el mimo reultado, procediendo del iguiente modo. Dado que la eñal X( e la uma de do eñale G R( y R(, e tiene que: ( G R ( R ( X = La eñal de alida C( e la uma de G X( y R(. Por tanto: ( G X ( R ( = G [ G R ( R ( ] R ( C = Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
11 . Reducción de Diagrama de Bloque De tal modo, que e obtiene el mimo reultado ya preentado: C R ( = G G G ( Modelación de Sitema Fíico TEORIA DE CONTROL Introducción Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
12 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado Obtener el modelo en el epacio de etado del itema que aparece en la iguiente Figura. U ( 0 5 Y ( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
13 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado El itema contiene un integrador y do con retrao; e decir, do bloque con función de tranferencia de primer orden. La alida de cada integrador o con retrao puede er coniderado como una variable de etado. Sedefinelaalidadelaplantacomolavariablede etado x l, la alida del controlador como x ylaalida del enor como x 3. Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
14 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado Sedefinelaalidadelaplantacomolavariablede etado x l, la alida del controlador como x y la alida del enor como x 3. U ( U ( X 3 ( ( X X ( 0 5 X 3 Y ( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
15 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado Aí, e obtiene que la función de tranferencia de la U( X3 X ( X ( planta queda dada por: ( ( 0 Y X 0 = X 5 U ( X X 3 ( 5 De igual modo e aplica la algebra de eñale al detector de error, junto con el controlador. X = X U 3 ( 3 X X ( U Y( U X ( 0 = ( 5 X 3 ( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
16 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado En el cao del enor e tiene: Y finalmente e tiene que: ( 3 X X ( U Y ( U X X 3 ( ( ( 0 5 X X = X 3 ( Y = X El arreglo e puede reordenar y reecribir de la forma: X X X Y X = 5X 0 3 = = X = X X U X 3 X Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
17 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado Ahora, e procede a tomar la tranformada invera de Laplace de la cuatro ecuacione precedente (coniderando la condicione iniciale nula y e tiene: x& = 5x 0x x& = x U x& 3 = Y = x x 3 x 3 Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
18 3. Ejemplo de Reducción de Modelo de Epacio de Etado Finalmente, eta ecuacione diferenciale e ecriben de manera matricial, en la forma canónica del modelo de epacio de etado del itema, de modo que e obtiene: x& x 0 x& x = 0 0 u x& 3 0 x3 0 x y = [ 0 0] x x3 Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
19 4. Ejemplo de Función de Tranformación Conidere el circuito eléctrico que aparece en la figura iguiente. R R e i i i C e0 C Se deea obtener la función de tranferencia E i (/E o ( uando el enfoque de diagrama de bloque Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
20 4. Ejemplo de Función de Tranformación La ecuacione para lo circuito on: ( i i dt R i = ei C C C ( i i dt Ri i dt C idt = e0 = 0 R R e i i i C C e 0 Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
21 4. Ejemplo de Función de Tranformación La ecuación primera del conjunto e puede reecribir como: [ E ( R I ( ] = I ( I ( C i E ( i ( I ( C I R I ( I Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
22 4. Ejemplo de Función de Tranformación La ecuación egunda e modifica a: C ( = [ I ( I ( ] I RC C ( ( I I ( C R C I C Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
23 4. Ejemplo de Función de Tranformación Finalmente combinando de manera adecuada lo diagrama de bloque dearrollado, de acuerdo a la ecuacione del itema e obtiene: I E ( I ( I ( ( C i C C R C R E 0 ( C Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
24 E i 4. Ejemplo de Función de Tranformación Ahora bien ete diagrama de bloque e modifica y e implifica uceivamente. Inicialmente e mueven lo punto de bifurcación. C E 0 ( C ( R C C R C C C Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
25 ( 4. Ejemplo de Función de Tranformación Se procede a modificar la poición del umador inferior: E i C R C C C C E 0 ( C R R C Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
26 4. Ejemplo de Función de Tranformación Ahora e procede a reolver la repectiva realimentacione, la externa y la interna: E i ( R C R C E 0 ( R C Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
27 4. Ejemplo de Función de Tranformación Por ultimo, e reuelve la cacada y la repectiva realimentación, lográndoe: E i ( R C R R C R C R C ( C E 0 0( ( Modelación de Sitema Fíico Francico M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
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