Práctica 7. La transformada de Laplace

Transcripción

1 Práctica 7. La tranformada de Laplace En la primera parte de eta práctica e motrará cómo calcular la tranformada de Laplace y la tranformada invera de Laplace de ditinta funcione utilizando Mathematica. En la egunda parte e aplicarán eta tranofrmada para reolver ecuacione diferenciale y daremo condicione de exitencia de la tranformada de Laplace.. Tranformada de Laplace 2. Tranformada invera de Laplace 3. Tranformada de Laplace de alguna funcione elementale 4. Reolución de ecuacione diferenciale 5. Teorema de exitencia de la tranformada de Laplace 6. Ejercicio. Tranformada de Laplace Se define la tranformada de Laplace de una función como L[f(t)]=F()=Ÿ 0 e -t fhtl t, donde la integral impropia e entiende como u valor principal, L[f(t)]= lím Ÿ M M Ø+ 0 e -t fhtl t, cuando exite. La función de Mathematica que calcula la tranformada de Laplace e: LaplaceTranform[función[variable],variable,variable2], que calcula la tranformada de Laplace de "función" y la exprea como una función de "variable2" LaplaceTranform@f@tD, t, D De eta forma podemo ecribir: LaplaceTranform@Exp@a td, t, D a + Mathematica conoce la propiedade de la tranformada de Laplace:

2 2 Pr7MatII.nb H LLaplaceTranform@c a@td + d b@td, t, DH linealidad L c LaplaceTranform@a@tD, t, D + d LaplaceTranform@b@tD, t, D H 2 LLaplaceTranform@Integrate@h@uD, 8u, 0, t<d, t, D H tranformada de una integral L LaplaceTranform@h@tD, t, D H 3 LLaplaceTranform@f'@tD, t, DH tranformada de una derivada primera L f@0d + LaplaceTranform@f@tD, t, D H 4 LLaplaceTranform@f''@tD, t, DH tranformada de una derivada egunda L f@0d + 2 LaplaceTranform@f@tD, t, D H 5 LD@LaplaceTranform@f@tD, t, D, DH derivada primera de una tranformada L LaplaceTranform@t f@td, t, D H 6 LD@LaplaceTranform@f@tD, t, D, 8, 2<D H derivada egunda de una tranformada L LaplaceTranformAt 2 f@td, t, E H 7 LLaplaceTranformA a t f@td, t, EH Teorema del deplazamiento L LaplaceTranform@f@tD, t, a + D Vamo a comprobar el teorema del valor inicial y el teorema del valor final para la función f (t) = t - 2 Limit@ LaplaceTranform@t 2, t, D, InfinityD Limit@t 2, t 0D H El Teorema del valor inicial no dice que eto límite on iguale L 2 2

3 Pr7MatII.nb 3 Limit@ LaplaceTranform@t 2, t, D, 0D Limit@t 2, t InfinityD H El teorema del valor final no dice que eto límite on iguale L Por ejemplo : LaplaceTranform@3 t +2 t^2, t, D LaplaceTranform@t, t, D 2 LaplaceTranform@t^2, t, D 2 3 Se puede obtener la tranformada de Laplace de funcione dicontinua, con dicontinuidade de alto, ya que ete tipo de funcione e pueden exprear en término de la función pao de Heaviide: H(t)= i t 0, H(t)=0 i t<0, que en Mathematica e llama la función UnitStep[t] y también HeaviideTheta[t]. Plot@UnitStep@tD, 8t, 4, 4<, AxeOrigin 80, <, Axe 8Fale, True<D

4 4 Pr7MatII.nb t, D Si queremo obtener la tranformada de Laplace de g (t) = - i t < 4, f (t) = i t >= 4, podemo exprear la función como: g(t)=-(-h(t-4))+h(t-4)=-+2h(t-4). Ahora definimo: g@t_d := +2 UnitStep@t 4D Plot@g@tD, 8t,, 8<D Su tranformada de Laplace e : LaplaceTranform@f@tD, t, D Tranformada invera de Laplace La tranformada invera de Laplace de una función, F HL, e L HLD = f HtL, tal que L@f HtLD = F HL La tranformada invera de Laplace en Mathematica e calcula mediante el comando : InvereLaplaceTranform[F[],, t] Por ejemplo, InvereLaplaceTranform@6êH +2L^4,, td 2t t 3

5 Pr7MatII.nb 5 LaplaceTranformA 2t t 3, t, E 6 H2 +L 4 A vece Mathematica no da una olución en término de exponenciale compleja. En eto cao con el comando ExpToTrig[expreión]//Simplify, podemo coneguir una expreión in número complejo. inv = InvereLaplaceTranform@êH^ L,, td 4 H 2 Lt IH2 L + H2+ L 4 t M ExpToTrig@invD êê Simplify H2Co@2tD Sin@2tDL HCoh@tD Sinh@tDL 2 3. Tranformada de Laplace de alguna funcione elementale H L LaplaceTranform@, t, D H 2 L LaplaceTranform@t, t, D 2 H 2 L LaplaceTranform@t^n, t, D n Gamma@ +ndh La función Gamma en el entero n+ e igual a n! L H 3 L LaplaceTranformA a t, t, E a +

6 6 Pr7MatII.nb H 4 L LaplaceTranformA a I t, t, E a+ ComplexExpand B a+ F a a a H 5 L LaplaceTranformA a I t, t, E a+ ComplexExpand B a+ F a a a H 6 L LaplaceTranform@Co@a td, t, D a H 7 L LaplaceTranform@Sin@a td, t, D a a H 8 L LaplaceTranform@Coh@a td, t, D a H 9 L LaplaceTranform@Sinh@a td, t, D a a 2 2

7 Pr7MatII.nb 7 4. Reolución de ecuacione diferenciale Conideremo el problema y' - 4 y = 4 t, y H0L = 0, utilizando la tranformada de Laplace. Realizaremo lo mimo pao que eguiríamo i lo reolviéemo a mano. pao = LaplaceTranform@y'@tD 4 y@td Exp@4 td, t, D 4LaplaceTranform@y@tD, t, D +LaplaceTranform@y@tD, t, D y@0d 4 + pao2 = pao ê. y@0d 0 4LaplaceTranform@y@tD, t, D +LaplaceTranform@y@tD, t, D 4 + pao3 = Solve@pao2, LaplaceTranform@y@tD, t, DD ::LaplaceTranform@y@tD, t, D H 4 +L 2>> pao3@@,, 2DD H 4 +L 2 ol = InvereLaplaceTranform@%,, td 4t t Ahora vamo a reolver una ecuación en la que interviene una función dicontinua : Conideremo la ecuación y'' + 9 y = f (t) con la condicione iniciale y (0) = y' (0) = 0, donde f(t)=0 i t<, f(t)= i t 2 y f(t)=0 i t>2. La función f (t) e exprea como f (t) = H (t - ) - H (t - 2) p = LaplaceTranform@y''@tD 9 y@td UnitStep@t D UnitStep@t 2D, t, D 9 LaplaceTranform@y@tD, t, D + 2 LaplaceTranform@y@tD, t, D y@0d 2 +

8 8 Pr7MatII.nb p2 = p ê. 8y@0D > 0, y'@0d 0< 9LaplaceTranform@y@tD, t, D + 2 LaplaceTranform@y@tD, t, D 2 + p3 = Solve@p2, t, DD ::LaplaceTranform@y@tD, t, D 2 H + L >> I M p3@@,, 2DD 2 H + L I M InvereLaplaceTranform@%,, td 8 3H2+tL J I 6 3t M 2 HeaviideTheta@ 2 +td + 3 I 3 3t M 2 HeaviideTheta@ +tdn FullSimplify@%D H H +Coh@6 3tDLHeaviideTheta@ 2 +td +H +Coh@3 3tDLHeaviideTheta@ +tdl 9 5. Teorema de exitencia de la tranformada de Laplace Diremo que una función f e de orden exponencial a cuando t tiende a infinito, i exiten una contante a, k,t poitiva, tale que: f( t) < k at, para todo t> T Si una función verifica la condición para un cierto a, también la verificará b > a. Al valor a má pequeño que verifica eta expreión, e le llama abcia de convergencia de f. Teorema: Dada una función f (t), 0 t <, i atiface : ) La retricción de f a cada intervalo finito e continua a trozo, 2) f e de orden exponencial a 0, entonce la tranformada de Laplace F() exite para todo, = a + bi, tal que a> a 0. A la funcione que cumplen ) y 2) del teorema anterior e le llama funcione admiible. A continuación vamo a analizar alguno ejemplo en lo que la funcione no cumplen con ) o 2) del teorema. al Conideremo la función f HtL = t5

9 Pr7MatII.nb 9 f@t_d := Exp@t^5D Limit@Exp@ a td f@td, t InfinityD ComplexInfinity La función no e de orden exponencial, ya que el ímite etudiado no reulta finito para ningún valor de a. Eta función verifica ) Plot@f@tD, 8t, 0, 2.5<D 3.5 µ µ µ µ µ 0 6. µ µ b) Conideremo la función f (t) = co (/t) f@t_d := Co@êtD Limit@Exp@ a td f@td, t +InfinityD LimitB at CoB F, t F t Vamo a motrar el reultado del límite a modo de tabla, en un entorno del punto t = 0 con el fin de determinar la cota inferior del límite : Table@Limit@Exp@ a td f@td, t +InfinityD, 8a, 5, 5<D 8,,,,,, 0, 0, 0, 0, 0< Laabciadeconvergenciae α 0 =0, peronocumplel, ya que en cero hay una dicontinuidad.

10 0 Pr7MatII.nb 8t, 0, 0.<D Ejercicio. Buca qué e una función eccionalmente regular. E f (t) = co (/t) eccionalmente regular? 2. Buca un teorema que relacione la condicione de eccionalmente regular y de orden exponencial con la exitencia de la tranformada de Laplace. 3. Reuelve la ecuación diferencial y'' - 2 y' + y = t 3 + t, con la condicione iniciale : y H0L = 0, y' H0L = 0, utilizando la tranformada de Laplace 4. Reuelve la ecuación diferencial y'' - 3 y' - y = - t + t 2, con la condicione iniciale : y H0L = 0, y' H0L = 0 5. Reuelve la ecuación diferencial y''' - 3 y'' + 3 y' - y = t 2 t, con la condicione iniciale : y H0L = 0, y' H0L = 0, y'' H0L = 0 6. Encuentra la tranformada de Laplace de la iguiente funcione : al t t 2 + 2, bm t 3 at + en HbtL, cm t 2 co HtL, dm coh H3 tl + 2 t 6. Encuentra la tranformada invera de Laplace de la iguiente funcione : al 5 6, b 3 I 2 + M 4, c 2 I 2 + M I 2 + M 4 7. Buca para qué irve el comando Apart[]. 8. Mediante un comando de Mathematica decompón la fracción H - 5L H + 2L en

11 Pr7MatII.nb fraccione imple. Utiliza la decompoición para hallar la tranformada de Laplace. Bibliografía è Práctica de Ampliación de Matemática para la ingeniería aeronáutica. B. García, D. Ginetar y C. Santamaría. UPV. è Práctica de ecuaione diferenciale con Mathematica. Aplicacione. Ángel Balaguer Beer. UPV. è Ecuacione diferenciale con el Mathematica. C. Coll, D. Ginetar, A. Herrero, P. Jiménez, J. Peña, A. Ramírez, E. Sánchez. UPV.