CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 511

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1 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 5 Apéndice CI_UIII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace Ejemplo de la Sección.6, propiedade de la traformada de aplace (linealidad, teorema de tralación) 5t Ejemplo CI. { te } = { t}, entonce 5 F () = = ( 5) 5 t Ejemplo CI. { te } = { t} entonce F( ) +! 6 = = ( + ) 4 4 = + Ejemplo CI. t { } t ( t t t t e e t e e e 4 + = + + ) { } entonce {} t + {} t + {} t = ( + ) ( + ) ( + 4) t Ejemplo CI.4 F { e en t } = { en( t )} entonce = = ( ) + Ejemplo de la ección.4, tranformada invera Ejemplo CI.5 Determinar f () t iendo F () = + 9 De tal manera que de acuerdo a la tabla. podemo utilizar la fórmula

2 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 5 k en( kt) + k = Siendo k = 9, entonce k =, obervamo que no tenemo ee valor en el numerador, por lo que podemo multiplicar y dividir entre, recordemo que una tranformada e una integral, de tal manera que podemo multiplicar y dividir entre una contante, y no e altera. Aí = Por lo que antitranformando f () t = en( t ) Ejemplo CI.6 Determinar + 7 Obervando que k = 7 por lo que k = 7, debemo multiplicar y dividir por ea contante, para completar la función y aí aplicar la fórmula directa. 7 = Al antitranformar aplicamo k = en( kt), por lo que f () t = en( 7t ) + k 7 Ejemplo de la ección.6, propiedade de la traformada invera (linealidad, tralación) t 4t Ejemplo CI.7 Encontrar la tranformada invera de aplace ( e + e ) co( t ) t {( 4 t t ) co( t) } { co( t) } { co( t) } { 4 t e + e = e + e co( t) }

3 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 5 F = t + t F { co } { co( )} ( ) ( ) + 4 = Ejemplo CI.8 Determinar la tranformada invera de ( + ) = = entonce ( + ) + + = t e F t Ejemplo CI.9 Determinar 4+ 0 Haciendo = entonce 4+ 0 ( ) t = e, o ea f () t = en() t e t Ejemplo CI.0 Determinar la tranformada invera de Reacomodando el denominador = ( )

4 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 54 Completando el numerador + = ( + ) + ( + ) + Separando término ( ) ( ) ( ) + = t t Aplicando el teorema de tralación f () t = e e + + Tranformando inveramente () = co t f t t e en t e t Ejemplo de la ección.6., determinación de la traformada invera mediante el uo de la fraccione parciale Ejemplo CI. Determinar la tranformada invera de F( ) Decomponiendo en fraccione parciale = ( + ) A = + B ( + ) ( + ) ( + ) () Multiplicando por el denominador del lado derecho del igual reulta = A+ B+ B Factorizando = A+ B + B, Aociando coeficiente de potencia iguale obtenemo B = () A+ B = 0 () Entonce utituyendo () en () reulta A = (4)

5 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 55 Sutituyendo () y (4) en (), obtenemo - = + (5) ( + ) ( + ) + Aplicando a (5) el teorema de tralación en - - = + ( + ) t - e = + Reultando ( + ) + f () t = te + e t t Ejemplo CI. Reolver la tranformada invera de F( ) = ( + ) Decomponiendo en fraccione parciale A B C D = E + ( + ) ( + ) ( + ) (6) Multiplicando por ( +) = A + + B + + C + D + + E + (7) Haciendo, utituyendo en (7) -4 = C = C = -4 (8) Haciendo = 0 y utituyendo en (7), obtenemo - = A, o bien A = - (9) Dearrollando lo binomio al cubo y al cuadrado

6 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace = + B + B + B + B + + D + D + E + E + E Agrupando 4 = ( B+ E) + ( + B+ D+ E) + ( 6+ B + D+ E) + ( 6 + B) Reduciendo término Para : B + E = 4 ( B+ E) (0) Para : + B + D + E = ( + B+ D+ E) () Para : + B + D + E = ( 9+ B+ D+ E) () Para : + B = ( 6+ B) () De () 6+ B =, por lo que B = 8 (4) De (0) B+ E = 0 por lo tanto E = B entonce E = 8 (5) De () + B+ D+ E = 0, o bien B+ D+ E = (6) De () 9+ B+ D+ E = 0 o bien B+ D+ E = 9 (7) De tal manera que utituyendo (4) y (5) en (6) D = obtenemo D = 6 (8)

7 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 57 Sutituyendo lo valore encontrado( (8), (9),(4), (5), (8)) en (6), obtenemo = ( + ) ( + ) ( + ) (9) Aplicando la invera a (9) tenemo = Reultando f () t 8 t 8e 6te t t t t = e El reultado en MathCad ería..( ). t 8 t.. exp( t) 6t.. exp( t) 8. exp( t) O ea ft t. 8 t.. exp( t) 6t.. exp( t) 8. exp( t) F 6 + = Ejemplo CI. Encontrar la tranformada invera de 4 Factorizando el denominador = Separando lo término = + ( ) ( ) ( ) { } Aplicando fórmula ten( kt) = y { en( kt) kt co( kt) } Completando k ( + k ) = 6 k ( + k ) = + Por lo que ( + 4) ( + 4) 4 ( + 4) 6 ( + 4)

8 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 58 f () t = ten( t ) + en( t ) co t ( t ) Simplificando f () t = tco( t) + ten( t) + en( t ) a olución en MathCad ería t. co (. t). t. in(. t). 6 in (. t ) '' ' t Ejemplo CI.4 Determinar la olución de y 4y + 4y = te con condicione iniciale de y ' (0) = y (0) = 0 Tranformando cada término ' Y( ) y(0) y(0) 4 Y( ) 4 y(0) 4Y + + = ( ) Sutituyendo condicione iniciale en (0) y implificando (0) Y() 4 Y() 4Y + = ( ), factorizando Y() ( 4 4) + = ( ) Depejando Y() = ( ) ( ) Y = ( ) 4 () Antitranformando y() t = 4, aplicando el teorema de tralación ( )

9 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 59! t = e 4, implificando! () y t yt () = te 9 t F Ejemplo CI.5 Determinar la tranformada Invera de aplace de 4 = 9 Decomponiendo el denominador en factore = Dearrollando fraccione parciale A + B C + D = () Multiplicando ambo lado del igual por el denominador obtenemo = ( A + B)( + ) + ( C + D)( ) Dearrollando = A + A + B + B + C C + D D Agrupando = ( A+ C) + ( B+ D) + ( A C) + ( B D) Aociando coeficiente de igual potencia obtenemo A+ C = 0 () B+ D = 0 (4) A C = 0 (5) B D = (6) A C = 0 De () y (5), reolviéndola imultáneamente Obtenemo A = 0, C = 0 A+ C = 0 6 A = 0

10 CI_UII Má ejercicio de Tranformada de aplace y Tranformada invera de aplace 50 De (4) y (6), reolviéndola imultáneamente B D = B+ D = 0 6 B = Obtenemo B = y D = 6 6 Sutituyendo en () obtenemo = Por lo que completando 4 = Tranformando inveramente f () t = enh t en t 6 6 f () t = enh t en t 8 8