MATEMÁTICAS ESPECIALES II PRÁCTICA 7 La transformada de Laplace.

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1 MATEMÁTICAS ESPECIALES II - 28 PRÁCTICA 7 La tranformada de Laplace. Se dice que una función f(t) e de orden exponencial α cuando t i exiten contante M > y T > tale que f(t) < Me αt para todo t > T. Sea f(t) e una función eccionalmente continua en cada intervalo [, t ]; t >, y de orden exponencial α cuando t. Entonce, para Re > α, la iguiente integral exite y converge abolutamente L[f(t)] = e t f(t)dt tranformada de Laplace de f(t). Obervación: cuando la integral converge, el reultado e una función de la variable ; e indicará ete hecho uando la iguiente notación F () = L[f(t)]. Definición: Una función f : [, ) R e dirá admiible i e continua por tramo y de orden exponencial α cuando t. La tranformada de Laplace e una operación lineal: i F () = L[f(t)] y G() = L[g(t)], para cualequier par de contante a y b, L[af(t) + bg(t)] = al[f(t)] + bl[g(t)] = af () + bg(). Ejemplo. Hallar L[]. Por definición, L[] = e t dt = lim b b e t e b + dt = lim = b Re > Hallar L[t]. Por definición, L[t] = Hallar L[e at ]; a >. t e t dt = lim b b ( t e t dt = lim be b + e b + ) b 2 = 2 Re >

2 Por definición, L[e at ] = e at e t dt = lim b b e ( a)t e b( a) + dt = lim = b a a Re > a Hallar L[co at] y L[in at]; a >. La tranformada de Laplace e pueden determinar directamente como en lo otro ejemplo, pero e má cómodo utilizar la propiedad de linealidad y la fórmula de Euler. En efecto, L[co at] + il[in at] = e t co at dt + i Igualando la parte reale e imaginaria, ia = + ia 2 + a 2 e t in at dt = L[co at] = L[in at] = e iat e t dt = ia 2 + a 2 a 2 + a 2 Re ( ia) >. Hallar L[f(t)]. f(t) = { t t t > Por definición, L[f(t)] = f(t)e t dt = lim b b ( be te t b + e dt = lim + e b + e ) b 2 = e + e 2 Re >.. Utilizando la definición, encontrar la tranformada de Laplace de la iguiente funcione. En aquello problema donde aparecen, a y b repreentan contante reale. {, < t < (a) f(t) =, t { at + b, < t < (b) f(t) =, t (c) f(t) = e at+b (d) f(t) = te at (e) f(t) = e t co t (f) f(t) = t inh t 2. Utilizando propiedade de linealidad, calcular la tranformada de Laplace para la iguiente funcione: (a) f(t) = t 2 + 6t 3 (b) f(t) = + e 4t

3 (c) f(t) = 4t 3 5 in 3t (d) f(t) = co 5t + in 2t (e) f(t) = 5 co(t π 6 ) (f) f(t) = co 2 t 3. Evaluar la iguiente integrale: (a) (b) te 2t in t dt e 3t ( in 3t)dt (Teorema de utitución.) Sea f(t) e una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, L[e at f(t)] = F ( a). La prueba de eta propiedad e inmediata a partir de la definición; en efecto, L[e at f(t)] = e at f(t)e t dt = f(t)e ( a)t dt = F ( a). (Cambio de ecala.) Sea f(t) e una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, a > L[f(at)] = a F ( a ). A partir de la definición y, con el cambio de variable u = at, e tiene L[f(at)] = f(at)e t dt = a f(u)e a u du = a F ( a ). Ejemplo. Hallar la tranformada de Laplace de g(t) = e t in 2 t. Uando una identidad trigonométrica, e tiene g(t) = e t in 2 t co 2t t = e 2 L[g(t)] = 2 L[e t ] + 2 L[e t co 2t] linealidad A partir de la tranformada de la funcione conocida (ver tabla) L[e t ] = L[e t f(t)] = + f(t)= Teorema de uutitución con a = L[e t co 2t] = L[e t + f(t)] = ( + ) f(t)=co 2t Teorema de uutitución con a =

4 4. Aplicando el Teorema de utitución, calcular la tranformada de Laplace de la iguiente funcione: (a) f(t) = t 3 e 2t (b) f(t) = t(e t + e 2t ) 2 (c) f(t) = e 3t co 3t (d) f(t) = ( 3t + 5 in t)e 3t {, t < a La función ecalón unitario (o función de Heaviide) e define como U(t a) =, t a. {, t < a Para f(t) con dominio en [, ), e define la función f a (t) =: f(t a) U(t a) = f(t a), t a. (Teorema de tralación.) Sea f(t) e una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, L[f a (t)] = e a F (). Por definición, L[f a (t)] = f(t a) U(t a)e t dt = f(t a)e t dt = f(u)e (u+a) du = e a F (). a u=t a Ejemplo. Hallar la tranformada de Laplace de g(t) = (3t ) U(t 2). Obervemo primero que 3t = 3(t 2) + 5 } {{} g(t) = f(t 2) U(t 2) = f 2 (t). f(t)=3t+5 Luego, aplicando el Teorema de tralación, ( ) L[g(t)] = L[f 2 (t)] = e 2 L[f(t)] = e 2 L[3t + 5] = 3L[t] + 5L[] e 2 = } {{ } linealidad ( ) e 2.

5 Sea f(t) la función cuya gráfica e muetra en la figura de la derecha. Conidere la funcione definida por (a) f(t) f(t)u(t b) (b) f(t b)u(t b) 5. (c) f(t)u(t a) (d) f(t)u(t a) f(t)u(t b) (e) f(t a)u(t a) f(t a)u(t b) Cómo e correponden eta funcione con la gráfica que e muetran a continuación? 6. Aplicando el Teorema de tranlación, calcular la tranformada de Laplace de la iguiente funcione: { {, < t < 2, < t < 3π/2 (a) g(t) = (t 2) 2 (c) g(t) =, t 2 in t, t 3π/2 (b) g(t) = e t U(t 2) (d) g(t) = co 2t U(t π) (Comportamiento de F () cuando.) Sea f(t) una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, lim F () =. Por hipótei, exiten contante M >, α, M 2 > y T > tale que f(t) < M, i t [, T ] (f(t) e continua por tramo), y f(t) M 2 e αt, para todo t > T (f(t) e de orden exponencial α cuando t ). Luego, para Re > α, F () T f(t) e t dt + T T f(t) e t dt M e t dt +M 2 e ( α)t dt T e T e ( α)t α i.

6 7. Conidere la función F () =. E la tranformada de Laplace de una función continua? + (Tranformada de una integral.) F (). Si a >, entonce, Sea f(t) e una función admiible con tranformada de Laplace [ ] L f(x) dx = F (). Integrando por parte, e tiene [ ] L f(x) dx = ( ) f(x) dx e t dt = e t Ahora, i f(t) e de orden exponencial cuando t, t (comprobarlo!). Luego, para Re uficentemente grande, e t f(x) dx f(x) dx + f(t)e t dt. F () f(x) dx también e de orden exponencial cuando cuando t. (Derivada de la tranformada de Laplace). Sea f(t) e una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, L[t n f(t)] = ( ) n dn d n F (). Se tiene (ver Teorema. en Comentario finale.) d d F () = d d f(t)e t dt = f(t)e t dt = t f(t)e t dt = L[t f(t)]. El reultado anterior puede uare para encontrar la tranformada de Laplace de t 2 f(t); en efecto, L[t 2 f(t)] = L[t(tf(t))] = d d L[tf(t)] = d d De ete modo, el reultado general e obtiene por iteración. ( d d F () ) = d2 d 2 F (). Ejemplo. Hallar la tranformada de Laplace de g(t) = xe x in x dx. Aplicando la propiedade de la tranformada de Laplace, e tiene L[g(t)] = L[t e t in t] = d d L[e t in t] = f(t) d d F ( + ) = d d ( + ) 2 + = 2( + ) (( + ) 2 + ) 2.

7 8. Calcular la tranformada de Laplace de: (a) f(t) = te 3t (b) f(t) = t 2 in kt (c) f(t) = te t co t (d) f(t) = e 3t x co 4x dx [ in at ] 9. Probar que L t ( a ) = arctan. Sean f(t) y g(t) funcione continua por tramo en [, ). Se define (f g)(t) = f(t τ)g(τ) dτ producto de convolución entre f y g. El producto de convolución tiene mucha de la propiedade de la multiplicación ordinaria; en efecto, puede probare que - f g = g f, - f (g h) = (f g) h, - f (g + h) = f g + f h, - f = f =. (Teorema de convolución.) Sean f(t) y g(t) funcione admiible (amba de orden exponencial α cuando t ) con tranformada de Laplace de F () y G(), repectivamente. Entonce, la tranformada de Laplace de (f g)(t) exite para Re > α y e verifica L[f(t) g(t)] = F ()G(). Ejemplo. Hallar la tranformada de Laplace de g(t) = t τ τe 2τ dτ. Aplicando propiedade de la tranformada de Laplace, e tiene [ τ ] L t τe 2τ dτ = dd [ τ ] L τe 2τ dτ = d d L[ te2t ] = d d L[] L[te2t ] = d d ( 2) 2 = ( 2) 3.. Evaluar (a)

8 (b) e at e bt (c) in at co bt (d) f(t) U(t a). Aplique el Teorema de convolución para calcular la tranformada de Laplace de la iguiente funcione. (a) f(t) = (b) f(t) = (c) f(t) = in µ co(t µ) dµ e µ co µ dµ µe t µ dµ (d) f(t) = e 2t in t La pregunta que urge naturalmente e la iguiente: e puede determinar unívocamente a f(t) i e conoce u tranformada de Laplace? Eto e equivalente a preguntare i L[f(t)] = L[g(t)] f(t) = g(t)? El iguiente teorema e uno de lo reultado má importante en la teoría de la tranformada de Laplace. (Teorema de Lerch.) Sean f(t) y g(t) do funcione admiible con tranfromada de Laplace F () y G(), repectivamente. Auma que exite un número real tal que F () = G() para todo >. Entonce, excepto por poible punto de dicontinuidad, f(t) = g(t) para todo t >. Ahora bien, do funcione admiible que difieren únicamente en punto de dicontinuidad on coniderada eencialmente iguale. En ete contexto, la ecuación L[f(t)] = F () tiene una única olución f(t). Si L[f(t)] = F () e dice que f(t) repreenta a la tranformada de Laplace invera (o antitranformada) de F () y e ecribe L [F ()] = f(t). La tranformada de Laplace invera e también una operación lineal; e decir, para cualquier par de contante c y c 2, L [c F () + c 2 G()] = c L [F ()] + c 2 L [G()]. Ejemplo. Hallar f(t) i L[f(t)] = Re-ecribiendo la función de, e tiene = + ( 4) = por fraccione imple = 4 L[] L[e4t ] = L [ ] e4t f(t) = e4t. Hallar f(t) i L[f(t)] =

9 Re-ecribiendo la función de, e tiene = ( 2) + 7 ( 2) 2 = + 6 Luego, f(t) = 2 e 2t co 4t e2t in 4t. Hallar f(t) i L[f(t)] = Obérvee primero que ( 2) = 2 2 ( 2) L[e 2t co 4t] e [ 4 ( 2) 2 = L 2 e 2t co 4t + 7 ] e2t in 4t. L[e 2t in 4t] Ahora bien, i L[g(t)] = L[g(t)] = e = L[g 3(t)] = L[g(t 3)U(t 3)] = ( + 3) 2 + = L[e 3t in t] g(t) = e 3t in t. En conecuencia, f(t) = e 3(t 3) in(t 3)U(t 3). Hallar f(t) i L[f(t)] = 8 ( 2 + ) 2. Derivando con repecto a, e tiene 8 ( 2 + ) 2 = 4 d d 2 = 4L[t in t] + f(t) = 4 t in t. L[in t] 2. Antitranformar (a) F () = (b) F () = (c) F () = (d) F () = ( 2 4)( + 5) (e) F () = 2 ( 2 + ) (f) F () = (g) F () = e 3 ( ) 2 e ( + ) (h) F () = e π/ Encontrar L [ ln ( 3 + )].

10 4. Utilice el Teorema de convolución para calcular la antitranformada de: (a) F () = ( + ) (b) F () = 3 ( 2 + ) e 2 (c) F () = ) (d) F () = ( 2 + 4) 2 (Tranformada de la derivada primera de una función.) Sea f(t) continua en (, ) y upóngae que f (t) e una función admiible. Entonce, Integrando por parte, e tiene L[f (t)] = L[f (t)] = L[f(t)] lim t + f(t). f (t) e t dt = f(t)e t + Ahora, como f(t) e de orden exponencial cuando t, f(t)e t f(t) e t dt. = lim t f(t)e t lim t + f(t)e t = lim t + f(t). En general, e tiene el iguiente reultado (e puede probar de la mima manera que el teorema anterior, repitiendo la integración por parte n vece): (Teorema de la tranformada de la derivada n éima de una función.) Si f(t), f (t),, f (n ) (t) on continua para t > y f (n) (t) e una función admiible L[f (n) (t)] = n L[f(t)] n lim f(t) n 2 lim f (t) lim f (n ) (t). + t + t + t Ejemplo. Hallar la olución del PVI y + 4y + 3y = 2t + 3e 2t co 3t; y() =, y () =. Supongamo que la olución que bucamo e una función y(t) que atiface la condicione del teorema anterior. Sea Y () la tranformada de Laplace de y(t). Tomando la tranformada de Laplace a ambo lado de la ED, e tiene 2 Y () y() y 3( + 2) () +4(Y () y() +. 2 } {{ } L[y (t)] } {{ } L[y (t)] Aplicando la condicione iniciale, Y () puede expreare como que e equivalente a ) + 3Y () = 2 ( + 2) L[2t+3e 2t co 3t] Y () = ( + 2) ( + 2) 2 ( + 2) ( + 2) ( + 2) Y () = 3(( + 2) ( + 2) 3 + 9) 3 2 ( + 2) ( + 2) ( + 2) L[e 2t 2 in 3t] 3 L[t] L[e 2t in 3t] L[e 2t co 3t] L[e 2t in 3t]

11 Uando el Teorema de convolución y la propiedad de linealidad de la tranformada de Laplace, e tiene Luego, la olución del PVI e [ Y () = L 3 e 2t in 3t + 2 ] 3 t e 2t in 3t + e 2t co 3t e 2t in 3t. y(t) = 3 e 2t in 3t (t τ)e 2τ in 3τ dτ + = t + 2 te 2t in 3t e 2t co 3t e 2t in 3t. e 2(t τ) co 3(t τ)e 2τ in 3τ dτ. 5. (Teorema de lo valore inicial y final.) Supóngae que f(t) e una función admiible, que u derivada también e una función admiible y que exiten lo límite de f(t) cuando t + y t. Si F () e la tranformada de Laplace de f(t), probar que (a) (b) lim f(t) = lim F () t + lim f(t) = lim F () t (Sugerencia: comenzar coniderando la tranformada de Laplace de y (t)). 6. Reolver lo iguiente PVI: {, t < (a) y + y =, t ; y() = { (b) y + 4y, t 2 + 4y = e (t 2), t > 2 ; y() =, y () = (c) y 2y = te t in t; y() =, y () = (d) y 5y + 6y = U(t ); y() =, y () = (e) y ty + 2y = ; y() =, y () = (f) y + 3ty 6y = ; y() =, y () = (g) ty y = t 2 ; y() = 7. Reolver { y (a) + z = t y z = e t ; y() =, y () = 2, z() =

12 (b) { y z 2y = y + z = t ; y() =, z() = Sea I = [, T ]; con T >, un intervalo y conideremo el triángulo S = {(t, τ) : τ t T }. La ecuación integral lineal de Volterra e de la forma y(t) = g(t) + y(τ)k(t τ) dτ; la funcione g(t) : I R y K(t, τ) : S R on dato del problema. A la función K e la denomina núcleo de la ecuación. (Teorema.) Si K y g on continua en S e I, repectivamente; entonce la ecuación integral de Volterra poee una única olución continua en I. Una de la herramienta para reolver ecuacione integrale lineale de tipo convolución e la Tranformada de Laplace. Ejemplo. Hallar la olución de la ecuación y(t) = 3t 2 e t + y(τ)e (t τ) dτ. Obervemo primero que la ecuación tendrá olución única en [, ). Supongamo que la olución y(t) ea una función admiible (por el teorema anterior abemo que erá continua en [, )) con tranformada de Laplace Y (). Entonce, tranformando ambo lado de la ecuación integral, e tiene Y () = Y () Luego, por la propiedad de linealidad, Y () = ( + ) = L[t 2 ] L[t 3 ] Y () = L[3t 2 t 3 + 2e t ] y(t) = 3t 2 t 3 + 2e t. + L[] 2 + 2L[e t ]

13 8. Reolver (a) t 2y(t) = (b) y(t) = + t 8 3 (c) y (t) + 6y(t) + 9 (d) y (t) (e µ e µ )y(t µ)dµ (µ t) 3 y(µ)dµ y(µ)dµ = + t; y() = y(µ) co(t µ)dµ = co t; y() = Comentario finale. Lo iguiente reultado permiten probar varia propiedade de la Tranformada de Laplace.. (Teorema.) Sea F () = f(, t) dt. Supóngae que, para cada t, f(, t) e continua a trozo en el intervalo a b y que tanto F () como f(, t) dt convergen uniformemente en a b. Entonce, F () = f(, t) dt a < < b. 2. (Teorema 2.) Sea f(t) una función admiible con tranformada de Laplace F (). Entonce, F () e continua para todo tal que Re > α.

14 Tranformada de Laplace - Tabla

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