MA26A, Auxiliar 5, 26 de Abril, 2007

Transcripción

1 MA26A, Auxiliar 5, 26 de Abril, 27 Profeor Cátedra: Raúl Manaevich Profeor Auxiliar : Alfredo Núnez. Tranformada de Laplace... Sea f : [, ) R función continua a trozo y de orden exponencial. Demuetre que i F () denota la tranformada de Laplace de f, entonce: Solución: f(t) e de orden exponencial lím F () f(x) Me cx e x f(x) Me ( c)x Notar que la integral de la función de la derecha converge para > c, entonce la tranformada de Laplace de f(x) converge abolutamente para > c. F () Luego o e x f(x)dx e x f(x)dx M e ( c)x dx M c ; > c lím F ().2. Sea f : (, ) R continua en (, ) y de orden exponencial y tal que lím t + f(t) +

2 2 (a) Si lím t + t α f(t), α (, ), demuetre que la tranformada de laplace de la función exite. (b) La tranformada de Laplace de la función t 2 coh(t) tiene la forma I h() + ( 2 ) Encuentre h() y de aquí la expreión final de la tranformada. Solución: ea: Lf(t) I f(t)e t dt T f(t)e t dt + T f(t)e t dt I T f(t)e t dt I 2 T f(t)e t dt I 2 exite pueto que f(t) e de orden exponecial en (, ) I T T f(t)e t dt lím f(t)e t dt ε ε Sea t (, ε ). Ocupando el dato e tiene que t α f(t) µ entonce: µ t α f(t) µ µ + t α f(t) µ + t α f(t) µ + f(t) µ + t α Ocupando eta cota: T ε f(t)e t dt ε ε f(t)e t dt + T ε f(t)e t dt

3 de eta última expreión e debe analizar el primer término pueto que el egundo exite. 3 ε ε f(t)e t + µ ε dt ε ε t α e t dt ( + µ) t α dt + µ ε α (ε α ε α ) luego lím ε ( + µ)(ε α ε α ) α ( + µ)ε α α I I < y luego Lf(t) exite. Parte b: L t 2 coth(t) 2 ( L t et 2 + L t e t 2 ) Para obtener la tranformada de la función t 2 e aplica la definición de tranformada de laplace y e hace el cambio de variable t y 2, dt 2ydy L t 2 e t t 2 dt e y2 ( y2 ) 2 2y dy 2 2 Ocupando eta tranformada, e aplica la propiedad: Lf(t)e at F ( a) e y2 dy π π 2 Sea L t 2 coh(t) ( ) π π A + + π 2 ( ) A A

4 4 L t 2 coh(t) finalmente π h() I π 2( 2 ).3. Encuentre f(t) i F () π 2( 2 ) + 2 π F () 2 + ( 2 2 8) 2 + ( 4)( + 2) A + B 4 + C 2 () 8A (2) A + B + 2C (3) A + B + C F () A(2 2 8) + B( 2 2) + C( 2 4) ( 4)( 2) 2 (A + B + C) + ( 2A 2B 4C) 8A 2 + A 8 ; B 8 ; C F () 8 + 8( 4) + 2 f(t) 8 L + 8 L + L 4 2

5 5 f(t) e4t + e 2t.4. Encuentre f(t) i F () ( 2 +a 2 )( 2 +b 2 ) Solución: F () A + B ( 2 + a 2 ) + C + D ( 2 + b 2 ) (A + B)(2 + b 2 ) + (C + D)( 2 + a 2 ) ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) () A + C (2) Ab 2 + Ca 2 Ab 2 + Ca 2 (3) B 2 + D 2 (4) Bb 2 + Da 2 A (b 2 a 2 ) ; B ; C (a 2 b 2 ) ; D L L + L ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) (b 2 a 2 )( 2 + a 2 ) (a 2 b 2 )( 2 + b 2 ) L ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) (b 2 a 2 ) L ( 2 + a 2 ) + (a 2 b 2 ) L ( 2 + b 2 ) finalmente L ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) (b 2 a 2 ) co(at) + (a 2 b 2 ) co(bt)

6 6.5. Sea H(t) una función igual a t cuando < t < 4 e igual a 5 cuando t > 4. Obtenga L H(t) por definición y uando ecalón unitario Solución : Aplicando la definición de tranformada de Laplace: L H(t) H(t)e t dt 4 te t dt + 4 4e t dt te t dt te t + e t dt te t e t 2 u t du dt; dv e t dt v e t L H(t) ( te t ) 4 e t ) ( e t 2 4 LH(t) 2 + e 4 e 4 2 Solución 2: (uando ecalón unitario) H(t) tu(t) [t 5]U(t 4) + U(t 4) H(S) L H(t) L tu(t) L [t 4]U(t 4) + L U(t 4) L H(t) 2 + e 4 e Ocupando tranformada de Laplace reuelva la iguiente ecuación diferencial x + k 2 x f(t) ; x() x ()

7 7 f(t) U(t i) i Solución Se aume que la tranformada de Laplace de la Serie e la Serie de la tranformada de Laplace: Lf(t) L U(t i) i i e i ( ) e i i Recordando la uma geométrica: S T a + a + a a n as T a + a 2 + a a n+ luego S T an+ a i (e ) i lím (e ) n+ n e Lf(t) ( e ) Ahora e aplica tranformada de Laplace a la ecuación diferencial ea X() Lx(t) luego Lx + k 2 Lx Lf(t) 2 X() x() x () + k 2 X() X() ( e ) ( 2 + k 2 )( e ) k k ( 2 + k 2 )( e )

8 8 Se conocen la tranformada de Laplace: L ( e f(t) U(t i) ) L k 2 + k in(kt) 2 Ahora e aplica el teorema de Convolución: L F ()G() t f(τ)g(t τ)dτ x(t) k t U(τ i) in(k(t τ))dτ k i t i U(τ i) in(k(t τ))dτ x(t) k ( t i i in(k(t τ))dτ)u(t i) k 2 i ( + co(k(t i)))u(t i) finalmente x(t) k 2 i ( + co(k(t i)))u(t i).7. (a) Conidere el problema con valore iniciale: x + 2x + x δ nπ (t) ; x() x () n Determine la olución uando tranformada de Laplace, para eto uponga que la tranformada de la erie e la erie de la tranformada y imilarmente para la tranformada invera. (b) Si t [jπ, (j + )π] demuetre que x(t) e t (tα j + β j ), para cierta contante α j y β j. Solución:

9 9 parte (a): x + 2x + x δ nπ (t) n 2 X() + 2X() + X() n e nπ X() n e nπ ( + ) 2 F () ( + ) 2 f(t) L F () te t e L nπ f(t nπ)u(t nπ) [t nπ]e (t nπ) U(t nπ) ( + ) 2 luego x(t) L X() U(t nπ)[t nπ]e (t nπ) n parte (b): i t [jπ, (j + )π] entonce j j x(t) U(t nπ)[t nπ]e (t nπ) x(t) [t nπ]e (t nπ) n n

10 ] j j x(t) e [t t e nπ nπe nπ n n denotando j j α j e nπ ; β j nπe nπ n n finalmete x(t) e t (tα j + β j ).8. Uando tranformada de Laplace reuelva el iguiente itema de ecuacione diferenciale ordinaria. Solución: x x x 2 + e t co(t) x 2 x + x 2 + e t en(t) x () x 2 () Se aplica tranformada de Laplace a amba ecuacione. Sea X () Lx (t) y X 2 () Lx 2 (t). Entonce e cumple: X () x () X () X 2 () + X 2 () x 2 () X () + X 2 () + ( ) ( ) 2 + ( ) 2 + Aplicando la condicione iniciale y ecribiendo el problema como un itema de ecuacione algebraica reulta: [ ] [ ] [ ] ( ) X () ( ) 2 + X 2 () ( ) 2 + [ ] [ ] [ ] [ ] X () ( ) ( ) 2 X 2 () (( ) 2 + ) 2 (( ) 2 + ) 2 2( )

11 Entonce: X () ( )2 (( ) 2 + ) 2, X 2() Ahora e calculan la tranformada invera: 2( ) (( ) 2 + ) 2 x (t) L ( )2 (( ) 2 + ) et L 2 2 ( 2 + ) et L d( 2 d x (t) e t t L ( 2 + ) et t co(t) Lo mimo para x 2 (t) x 2 (t) L 2( ) (( ) 2 + ) et L 2 2 ( 2 + ) et L d( 2 d x 2 (t) e t t L ( 2 + ) et t in(t) Finalmente la olución del itema de ecuacione diferenciale e: [ ] [ ] x (t) e x(t) t t co(t) x 2 (t) e t t in(t) ( 2 +) ) ( 2 +) )