SISTEMAS LINEALES. Tema 3. Análisis y caracterización de sistemas continuos empleando la transformada de Laplace

Transcripción

1 SISTEMAS LINEALES Tema. Análisis y caracterización de sistemas continuos empleando la transformada de Laplace de octubre de 00 F. JAVIER ACEVEDO javier.acevedo@uah.es

2 TEMA Contenidos. Autofunciones de los sistemas LTI. Transformada de Laplace de una Señal. Región de convergencia Diagrama polos y ceros. Propiedades de la ROC. Propiedades de la Transformada de Laplace. Transformada inversa. Descomposición en fracciones simples. Caracterización de los sistemas con T. de Laplace. Función de transferencia. Propiedades de los sistemas a partir de la función de transferencia. Interconeión de sistemas. Transformada unilateral. Resolución de ecuaciones diferenciales.

3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En un sistema LTI en tiempo continuo la salida puede epresarse mediante: y(t) =(t) h(t) Por tanto, si hacemos la transformada y aprovechando la propiedad de la convolución: Y (s) =X(s)H(s) ROC: al menos ROC{X(s)} T ROC{H(s)} En el dominio de Laplace la salida es el producto de la transformada de la entrada por la transformada de la respuesta al impulso. Esta última se denomina función de transferencia. Nótese que se puede epresar como: H(s) = Y (s) X(s)

4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Ejemplo: Calcular la salida del sistema LTI ante la entrada (t) (t) =e t u(t)+u(t) h(t) =e t u(t) Podríamos hacer la convolución, pero vamos a ver cómo se resolvería el problema en el dominio de Laplace: X(s) = s+ + s R e{s} > 0 H(s) = s+ R e{s} > - - s+ Y (s) =X(s)H(s) =s(s+)(s+) R e {s} > 0 - -

5 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Ahora vamos a hallar la transformada inversa. Para ello, descomponemos en fracciones simples la epresión obtenida: s+ Y (s) =s(s+)(s+) = A s + B s+ + C s+ A =lim s 0 sy (s) =0.5 B = lim (s +)Y (s) = C s Y (s) = 0.5 s + s+.5 s+ R e{s} > 0 = lim (s +)Y (s) =.5 s Teniendo en cuenta la ROC hacemos la transformada inversa de cada una de las fracciones simples: L { s R e{s} > 0} = u(t) L { s+ R e{s} > 0} = e t u(t) L { s+ R e{s} > 0} = e t u(t) y(t) = 0.5+e t.5e t u(t)

6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En la figura se representa el diagrama de polos y ceros de la función de transferencia de un sistema LTI. Obtenga las posibles respuestas al impulso del sistema Antes de empezar el ejercicio, tenemos que hacer una serie de suposiciones. En primer lugar, como se vio anteriormente, el hecho de multiplicar por una constante no cambia el diagrama de polos y ceros, por lo que supondremos que está multiplicado por una constante K. Además, hay que tener en cuenta que cualquier desplazamiento en el tiempo no queda reflejado en el diagrama de polos y ceros. Para evitar ambigüedades supondremos que H(s) es racional (no está multiplicada por ningún término e t 0s ) H(s) =K (s+)(s ) (s+)(s )((s+) + ) Ahora, en función de la ROC, tendremos cada una de las posibles respuestas al impulso.

7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Independientemente de la ROC, podemos descomponer en fracciones simples : H(s) =K (s+)(s ) A = lim (s +) s (s+)(s ) B = lim (s ) s + lim s 0 ³ (s+)(s ) (s+)(s )((s+) + ) = K A s+ + B s + (s+)(s ) (s+)(s )((s+) + ) =lim s 0 (s+)(s )((s+) + ) = (s+)(s )((s+) + ) = 0 ³ A s+ + B s + ³ (+)( ) (+)( )((+) + ) = D (+) + lim s 0= (s+)(s ) (s+)(s )((s+) + ) =lim s ³ C+ 6 5 (+) + ³ A s+ + B s + C = 5 ³ (s+)(s ) H(s) =K (s+)(s )((s+) + ) = K Cs+D (s+) + D = 6 5 Cs+D (s+) + Cs+D (s+) + s+ + 0 s + 5 s+ 6 5 (s+) +

8 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para buscar más fácilmente en las tablas: H(s) =K H(s) =K ³ s+ + 0 s + 5 s+ 6 5 (s+) + ³ s+ + 0 s + 5 Vamos a ver las posibles ROC = K ³ ³ (s+) (s+) + + (s+) + s+ + 0 s + 5 (s+) (s+) + j ω R e {s} > < R e {s} < < R e {s} < R e {s} < Tenemos posibles respuestas al impulso.

9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA H(s) =K ³ R e {s} > s+ + 0 s + 5 ³ (s+) (s+) + + (s+) + L { L { 0 s+ } e t u(t) Si R e {s} > e t u( t) Si R e {s} < s } 0 et u(t) Si R e {s} > 0 et u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) (s+) + } 5 e t cos(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t cos(t)u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) + } 5 e t sin(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t sin(t)u( t) Si R e {s} < h (t) =K e t + 0 et + 5 e t cos(t)+ 5 e t sin(t) u(t)

10 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA H(s) =K ³ < R e {s} < s+ + 0 s + 5 ³ (s+) (s+) + + (s+) + L { L { 0 s+ } e t u(t) Si R e {s} > e t u( t) Si R e {s} < s } 0 et u(t) Si R e {s} > 0 et u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) (s+) + } 5 e t cos(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t cos(t)u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) + } 5 e t sin(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t sin(t)u( t) Si R e {s} < h (t) =K e t + 5 e t cos(t)+ 5 e t sin(t) u(t)+ + 0 et u( t)

11 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA H(s) =K ³ < R e {s} < s+ + 0 s + 5 ³ (s+) (s+) + + (s+) + L { L { 0 s+ } e t u(t) Si R e {s} > e t u( t) Si R e {s} < s } 0 et u(t) Si R e {s} > 0 et u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) (s+) + } 5 e t cos(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t cos(t)u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) + } 5 e t sin(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t sin(t)u( t) Si R e {s} < h (t) =K e t u(t)+ + 0 et 5 e t cos(t) 5 e t sin(t) u( t)

12 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA H(s) =K ³ < R e {s} < s+ + 0 s + 5 ³ (s+) (s+) + + (s+) + L { L { 0 s+ } e t u(t) Si R e {s} > e t u( t) Si R e {s} < s } 0 et u(t) Si R e {s} > 0 et u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) (s+) + } 5 e t cos(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t cos(t)u( t) Si R e {s} < L { 5 (s+) + } 5 e t sin(t)u(t) Si R e {s} > 5 e t sin(t)u( t) Si R e {s} < h (t) =K + e t et 5 e t cos(t) 5 e t sin(t) u( t)

13 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC A partir de la ROC de la función de transferencia podemos deducir las propiedades del sistema: a) Causalidad: Recordamos que para que un sistema sea causal se debe cumplir: h(t) =0 t 6= 0 Lo que implica que la señal debe ser lado derecho. Por tanto, si eisten polos en la función de transferencia, la ROC debe estar a la derecha del polo más a la derecha. En el ejemplo que hemos visto: Es una condición necesaria pero no suficiente. h(t) =u(t +) h(t) =u(t) h(t) =u(t )

14 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC b) Memoria: Si eisten polos (por tanto la ROC no es todo el plano s) el sistema tiene memoria. Recordemos que para que un sistema no tenga memoria su respuesta al impulso debe ser: h(t) =Kδ(t) H(s) =K s La afirmación contraria, si la ROC de la función de transferencia es todo el plano s el sistema no tiene memoria, no es cierta. Basta pensar en cualquier señal finita en el tiempo. h(t) Ejemplo: t t

15 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC c) Estable: Para que el sistema sea estable la ROC de la función de transferencia debe contener el eje R h(t) dt < R e{s} =0 ROC Causal y estable: Un sistema causal y estable tiene todos sus polos en el semiplano izquierdo. Al desarrollar en fracciones simples y hacer la transformada inversa de cada uno de ellos queda multiplicada por un término e at a>0

16 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC Qué sucede si el sistema es causal y tenemos polos en el semiplano derecho o en el eje? H(s) =K La transformada inversa asociada a este polo dará como resultado una eponencial creciente en el tiempo. ³ (s+)(s ) = K 0.5 s s R e {s} > 0 5 h(t) = 0.5e t +0.5e t u(t)

17 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC d) Invertibilidad. Se estudio que para que un sistema inverso de un sistema LTI debe cumplir: h(t) h I (t) = H(s)H I (s) = H I (s) = H(s) Debe cumplirse que la intersección de las dos ROC (la del sistema y la del sistema inverso) no sea el conjunto vacío. Pueden darse varios casos: a) Que no eista tal intersección. No eiste el sistema inverso. b) Que eista una única posibilidad de intersección. En ese caso el sistema inverso es único. c) Que eistan varias posibilidades de intersección. El sistema tiene varios posibles sistemas invertibles.

18 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC Ejemplo: Dado un sistema LTI del que conocemos su respuesta al impulso calcule, si es posible, su sistema inverso. h(t) = e t u(t) H(s) = (s+ ) s(s+) R e {s} > 0 H I (s) = s(s+) s+ R e {s} > h I (t) =L {H I (s)} = δ0 (t)+ 9 δ(t) 8 7 e t

19 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A PARTIR DE ROC Sistema causal y estable con sistema inverso también causal y estable. Supongamos que tenemos los siguientes sistemas causales y estables. H(s) H (s) Si hacemos los diagramas de polos y ceros de sus sistemas inversos: H I (s) H I (s) Para que un sistema sea causal y estable y su inverso también lo sea, debe tener todos los ceros y los polos en el semiplano izquierdo. A estos sistemas se los denomina de fase mínima.

20 INTERCONEXIÓN DE SISTEMAS a) Serie o cascada. Sistema LTI Sistema LTI h (t) h (t) h t (t) =h (t) h (t) H t (s) =H (s)h (s) b) Paralelo. c) Realimentación. Sistema LTI h (t) Sistema LTI h (t) + + Sistema LTI h (t) Sistema LTI h (t) Y (s) =(X(s)+H (s)y (s))h (s) ( H (s)h (s))y (s) =X(s)H (s) h t (t) =h (t)+h (t) H t (s) =H (s)+h (s) H T (s) = Y (s) X(s) = H (s) H (s)h (s)

21 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Dado un sistema LTI descrito por su ecuación diferencial: d y(t) dt dy(t) dt + y(t) =(t)+ d(t) dt Si hacemos la transformada de Laplace de la epresión: s Y (s) sy (s)+y (s) =X(s)+sX(s) s s + Y (s) =(s +)X(s) H(s) = Y (s) X(s) = s+ s s+ Podemos obtener la epresión de la función de transferencia fácilmente. Sin embargo, para poder tener definido completamente el sistema, debemos conocer su ROC. Esto solo es posible si nos dan algún dato adicional (ie: causalidad del sistema, estabilidad)

22 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo: Calcular la respuesta al impulso del sistema LTI estable descrito por su ecuación en diferencias: d y(t) dt y(t) =(t) Pasamos al dominio transformado: s Y (s) Y (s) =X(s) H(s) = (s+)(s ) H(s) h(t) = et u( t) e t u(t) Qué ROC es la única posible para cumplir los requisitos?

23 TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL Se define como: X(s) = R 0 (t)e st dt Sería igual que la transformada bilateral si suponemos que la señal es nula para t<0. Por tanto, si realizamos la transformada unilateral, es como si supusiéramos que la señal es lado derecho, por lo que la ROC siempre es lado derecho. La mayoría de las propiedades son iguales a la transformada bilateral, con la ecepción de la derivada y la integral Derivada: (t) X (s) 0 (t) sx (s) (0) Integral: (t) X (s) R t (τ)dτ R 0 (τ)dτ s + s X (s)