Ejemplo DII.1 Resolver el sistema formado por dx x y dt = + y dy. dx =, para. Transformando ambas ecuaciones (1) (2)

Transcripción

1 traformada de Laplace 5 Apéndice DII_UIV Má Ejercicio de Solución de un itema de ecuacione diferenciale lineale con condicione iniciale por medio de la traformada de Laplace. (ecc. 4.) [4] Ejemplo DII. Reolver el itema formado por dx x dt = + d x dx =, para x (0) = 0, (0) =. Tranformando amba ecuacione X () x(0) = X () + Y () () Y () (0) = X () () Sutituendo condicione iniciale en () () obtenemo X () 0 = X () + Y () Y () = X () Reacomodando factorizando + X( ) = 0 () X( ) + = (4) Reolviendo el itema de ecuacione lineale formado por () (4) + X( ) 0 = + =Det = ( + ), o bien = +, factorizando = ( )( + ) Obteniendo el determinante para X ( ) Y( )

2 traformada de Laplace 54 0 X( ) = = = + 0 = + Por regla de Cramer, X( ) = =, quedando ( )( + ) + ( )( + ) (5) (6) Tranformando inveramente (5) (6) para encontrar x( t) ( t ) { } L = L ( )( + ) Decomponiendo en fraccione parciale A B = + ( )( + ) ( ) ( + ) (7) A B O bien { } L = L + (8) ( ) ( + ) Multiplicando ambo lado de la igualdad por ( )( + ) Queda = A ( + ) + B ( ), haciendo = B ( ) B = (9) Haciendo = A( + ) A = (0)

3 traformada de Laplace 55 Sutituendo (9) (0) en (8) xt () = L L, por lo tanto ( ) ( + ) x() t e e t t = () Para calcular t podemo depejar de la ecuación diferencial original, d x = x + dt Donde dx = + x () dt Entonce utituendo () en () d = dt + t t e e x () t d d d t () = + e ) reultando dx dx dx t Como x t ( e ) ( d t t x() t = ( e ) ( e ) de tal manera que dx t () = ( e) ( e ) + e+ e t t t t t t, quedando t () = ( e) ( e ) Ejemplo DII. Determinar la olución del itema de ecuacione formado por dx x dt =, d = 5 x, para la condicione iniciale (0) dt x = (0) = Recribiendo x = x, quedando x x+ = 0 ()

4 traformada de Laplace 56 Recribiendo = 5x, reultando 5x+ = 0 (4) Tranformando () (4) X () x(0) X () + Y () 0 (5) Y () (0) 5 X () + Y () 0 (6) Sutituendo condicione iniciale en (5) (6) X () X () + Y () Y () 5 X () + Y () Factorizando X, no queda Factorizando Y, no queda X( ) + = + ( + ) = 5 ( ) + 5 X( ) = Reolviendo el itema de ecuacione lineale = ( + )( ) + 0, dearrollando implificando = + + 0, = + 9 X( ) = = 4= 5 ( + ) ( ) = = 5= 7 5 Por regla de Cramer tenemo que X( ) = 5 Por lo que

5 traformada de Laplace 57 Tranformando inveramente para x( t ) t L { } = L 5 5, o bien x() t = ( + 9) L + 9 L Por lo que x() t = co( t) en( t ) Por otro lado { } 7 L = L, o bien + 9 L 7 { ()} Y = L + 9 L + 9 Antitranformando t () = co( t) en( t) 7 Ejemplo DII. Reolver el iguiente itema de ecuacione d dt x 0 dx dt + x = 0 + =, para la condicione iniciale x (0) = 0, x (0) =, (0) = 0 (0) = Recribiendo tenemo x + x = 0 (7) x + x= 0 (8) Tranformando (7) (8) término a término, obtenemo ( 0 ) ( 0) X x x X Y + =0 ( 0 ) ( 0) Y Y X + = 0

6 traformada de Laplace 58 Sutituendo condicione iniciale X X Y () + + () () = 0 Y Y X () + () () = 0 Factorizando + X( ) = + + Reolviendo el itema de ecuacione + X( ) = + Cuo determinante e 4 = ( + ) = + + = ( + ) X( ) = +, o bien = + + = X( ) Reolviendo para ( + ) ( + ) Tranformando inveramente para encontrar x( t ) t xt () = L ( + ) t () = L ( + ) Reolviendo con Mathcad la decompoición en fraccione parciale....

7 traformada de Laplace xt () = L ( + ) t () = L + ( + ) Reolviendo con MathCad la tranformada invera de Laplace xt t. t.. in. t 4. t.. in. t 4 Ejemplo DII.4 Reolver el itema formado por dx dx d = dt dt dt d d dx + 4 = 0 dt dt dt Bajo condicione iniciale Recribiendo x + x + = 0, 4 x + + = 0 Tranformando x (0) =, x (0) = 0, (0) = (0) = 5 ( 0 ) ( 0) ( 0) ( 0) X x x X x Y + + = 0 (9) 4X + 4x 0 + Y Y 0 = 0 (0) Sutituendo condicione iniciale implificando + X + Y () 4X + + Y ()

8 traformada de Laplace 540 Reolviendo el itema de ecuacione lineale 4 ( ) + X () = + Lo determinante on = ( + ) + 4, dearrollando implificando = ( + + 5) = ( ) X = + + = + + ( + ) = = ( + ) + = ), o bien ( + ) + = ( + + 5) ( 5 + ( 5 ( ) ( ) ( + + 5) ( + + 5) ), o bien = Tranformando Inveramente para x( t) ( t ) + = ( + + 5) L { } L, o bien x() t + = t () L, x() t e L x t + = Separando término + ( + 4) ( + 4) ( + 4) ( + ) + = L ( + ) + 4

9 traformada de Laplace 54 t xt () = e L + L ( + 4) ( + 4) t, finalmente x() t = e co( t) + en( t) ( ) { } = L L ( + + 5) 4 t 4 L { } = L e = L Separando término ( + 4) t t () = e L L ( + 4) ( + 4) Finalmente t t () = e co t en t