Transformada de Laplace

Transcripción

1 Tranformada de Laplace 1. Introducción Puede decire que lo método cláico para la reolución de problema de valore en la frontera en la Fíica Matemática e derivan del trabajo precuror de Fourier. Una nueva técnica, la de la tranformada integrale, cuyo origen e encuentra en lo trabajo de Heaviide (electrotécnico inglé de fine del iglo paado), ha ido dearrollada durante lo último año, y tiene cierta ventaja obre el método cláico. Heaviide (aproximadamente 1.89) e intereó originalmente en la reolución de E.D.O. con coeficiente contante que aparecen en la teoría de circuito eléctrico. Má tarde, él mimo extendió u método a la E.D.P. que aparecen en electromagnetimo y conducción de calor. Fue tal el poder de u método, que reolvió mucho problema hata entonce irreoluble y obtuvo olucione a problema ya reuelto en una forma má adaptable al Cálculo Numérico. Poteriore invetigacione efectuada por Bronwich, Caron y Van der Pool, fundamentaron el cálculo de Heaviide obre una bae má ólida. En un trabajo reciente, efectuado por Doetch y otro, obre la tranformación de Laplace, e unifica la teoría dearrollada por Heaviide, Bronwich y Caron. General mente, el empleo de una tranformada integral reducirá una E.D.P. en n variable independiente a una con n 1 variable, reduciendo por lo tanto, la dificultad del problema en etudio. En alguno cao, operacione uceiva de ete tipo pueden reducir el problema a la reolución de una E.D.O. cuya teoría ha ido ampliamente dearrollada. De hecho, operacione uceiva podían reducir el problema a la reolución de una ecuación algebraica, pero ólo alguna vece merece la pena hacerlo. Aún cuando la tranformada de Laplace e de empleo má común y e particular (conveniente para problema regido por E.D.O. y para problema obre la conducción de calor), otra tranformacione integrale pueden er de gran utilidad en la reolución de problema de valore en la frontera en la Fíica Matemática. En la reolución de ete tipo de problema e han empleado con éxito diferente tranformacione integrale y no exite razón alguna para que el método no pueda extendere mediante el uo de otro núcleo Tranformada integrale Una tranformada integral e una aplicación T : X Y entre epacio de funcione y e definida mediante T [f(x)]() = A K(, x)f(x)dx. La función K e denomina núcleo de la tranformación T y A viene hacer el rango de integración. Como e ha indicado anteriormente, la tranformada integrale e utilizan ampliamente en la matemática pura y aplicada, y on epecialmente útile en la reolución de cierto

2 Tranformada de Laplace 2 problema de contorno y de cierto tipo de ecuacione integrable. Alguna de la tranformada que on uada y adaptada para la reolución de divero problema on: 1. Tranformada exponencial de Fourier: F[f(x)]() = 2. Tranformada eno de Fourier: F [f(x)]() = 3. Tranformada coeno de Fourier: F c [f(x)]() = 4. Tranformada de Hankel: H[f(x)]() = 5. Tranformada de Mellin: 6. Tranformada de Laplace: e ix f(x)dx. en(x)f(x)dx. co(x)f(x)dx. xj n (x)f(x)dx, J n función Beel orden n. M[f(x)]() = L[f(x)]() = x 1 f(x)dx. e x f(x)dx. Se trata de etudiar ahora la tranformación de Laplace epecialmente indicada para implificar el proceo de reolver problema de valor inicial, cuya ecuacione diferenciale ean lineale, y primordialmente cuando e incluyen funcione dicontinua. E muy utilizada en teoría de circuito. Ante de entrar en u aplicacione, e va a comenzar introduciendo eta tranformada de Laplace aí como u propiedade fundamentale y má útile. 2. La tranformada integral de Laplace Definición 2.1. Sea f : [, + ) R. Se define la tranformada de Laplace de f(t) como la función F () ó L[f(t)](), definida por la integral L[f(t)]() = e t f(t)dt. (2.1) Note que la integral que aparece e una integral impropia, la cual etá definida por e t f(t)dt = b + e t f(t)dt. El conjunto de valore de para lo cuale la integral impropia converge e llamado dominio de la tranformada y e denota por dom(f ).

3 Tranformada de Laplace 3 Obervación 2.1. El parámetro e coniderará aquí real. E eto uficiente para la aplicacione con ecuacione diferenciale lineale de coeficiente contante y alguna de coeficiente variable. En otro cao e neceario trabajar en el campo complejo, coniderando a como complejo. Definición 2.2. Se llama abcia de convergencia de F al número real c definido por: c = ínf(dom(f )) = ínf(dom(l(f))). Propiedad (Linealidad): El operador L e lineal, e decir, dado f, g : [, + ) R tale que L(f) y L(g) exiten, e tiene que: L(f + λg)() = L(f)() + λl(g)(), λ R. Veamo ahora alguna tranformada de funcione conocida. Ejemplo 2.1. Sea f(t) = 1, t. Calculemo u tranformada de Laplace, uando u definición: L(f)() = e t dt = b + = 1 b + (e b 1). e t dt = 1 b + (e t ) t=b t= Como deeamo la convergencia de la integral impropia, entonce debemo uar el hecho que b + e b = i >, cao contrario el ite no exite. Por lo tanto, L(f)() = 1, >. E claro que dom(l(f)) = (, + ) y c =. Ejemplo 2.2. Sea f(t) = e at, t con a C. Calculemo u tranformada de Laplace, uando u definición: L(f)() = = e t e at dt = b + 1 a b + (e(a )b 1). e (a )t dt = 1 a b + (e(a )t ) t=b t= Para ver a que e igual el ite en la igualdad anterior, conideremo un z C de la forma z = x + iy con x, y R. Luego, b + ezb = b + exb e iyb = b + exb (co(yb) + ien(yb)). Uando el hecho que la funcione eno y coeno on acotada por arriba, vemo que el ite exite (y e ) iempre que Re(z) = x <. Por tanto, teniendo en cuenta eto vemo que

4 Tranformada de Laplace 4 L[e at ]() = 1 a, > Re(a). E claro que dom(l(f)) =(Re(a), + ) y c =Re(a). Ejemplo 2.3. Tomemo a = iw en el ejemplo anterior, entonce L[e iwt ] = 1 iw = + iw 2 + w 2 = 2 + w 2 + i w 2, para >. + w2 Por otro lado, debido a que e iwt = co(wt) + ien(wt) (Formula de Euler) y la linealidad de la Tranformada de Laplace, e tiene que L[e iwt ] = L[co(wt)]() + il[en(wt)](). Por tanto, de amba expreione deducimo que: L[co(wt)]() = 2 + w 2, L[en(wt)]() = w 2 + w 2, >. Otra manera de deducir eta formula e del iguiente modo. De la formula de Euler deducimo que Para el cao del coeno, vemo que co(wt) = 1 2 (eiwt + e iwt ), en(wt) = 1 2i (eiwt e iwt ). L[co(wt)]() = 1 2 (L[eiwt ]() + L[e iwt ]()) = 1 2 = 2 + w 2. De forma análoga e deduce la Tranformada de la función eno. ( 1 iw + 1 ) + iw Ejercicio 2.1. Sean f(t) = coh(at) y g(t) = enh(at). Calcule u repectiva Tranformada de Laplace. Ejercicio 2.2. Sean f(t) = e αt co(wt) y g(t) = e αt en(wt). Calcule u repectiva Tranformada de Laplace Condicione uficiente para la exitencia de la tranformada de Laplace En lo ejemplo anteriore e ha vito por cálculo directo que la integral (2.1) exite realmente para la funcione coniderada, en algún intervalo de valore de. Pero eo no ocurre aí iempre. Por ejemplo, la integral impropia de (2.1) no converge para ningún valor de i f(t) = t 1 ó f(t) = e t2, por crecer eta funcione demaiado rápido cuando t + o

5 Tranformada de Laplace 5 t +, repectivamente. Afortunadamente exite la tranformada para la mayor parte de la funcione que aparecen en aplicacione donde intervienen ecuacione diferenciale lineale. Se trata ahora de etablecer un conjunto razonable de condicione que garantizen la exitencia de la tranformada para la funcione que la cumplen. Definición 2.3. Se dice que una función f : (a, b) R tiene una dicontinuidad de alto en t (a, b) i f e dicontinua en t y lo ite laterale por la derecha e izquiera de f exiten y on ditinto. Ejemplo 2.4. Conidere la función f(t) = { t, < t < 1, t 2 5 2, t 1. Eta función tiene una dicontinuidad de alto en t = 1, pué lo limite laterale f(t) = 1, t 1 t 1 + f(t) = 9 5 exiten y on ditinto. Definición 2.4. Se dice que una función f : [, + ) R e continua a trozo o eccionalmente continua, i f e continua en todo punto de [, + ), excepto en un número finito de punto en lo que f tiene una dicontinuidad de alto. Obervación 2.2. Toda función continua e eccionalmente continua. Si f e eccionalmente continua en [, + ), entonce e integrable en [, + ). Una función continua a trozo en [, b] tiene la iguiente forma: f 1 (t), t < t < t 1 f(t) =.,. f n (t), t n 1 < t < t n donde a = t < t 1 <... < t n = b e una partición del intervalo [, b] y la funcione f i on continua en (t i 1, t i ), para i = 1,..., n. Ejemplo 2.5. Conidere la función f definida por t 3, t < 3, f(t) = t 2, 3 t 2, (t + 3), t > 2. Eta función e continua a trozo, pué tiene dicontinuidad de alto en t = 3 y t = 2.

6 Tranformada de Laplace 6 Ejemplo 2.6. La función f(t) = t [ t ], donde [ ] denota la función mayor entero, e continua a trozo. Ejemplo 2.7. Conidere la función f definida por { 1/t, t, f(t) =, t =. Eta función no e continua a trozo, pué lo limite laterale t 1 t = y t + 1 t = + no exiten. Definición 2.5. Decimo que una función f e de orden exponencial i exiten contante α R, M, t > tale que f(t) Me αt, para todo t > t. Al menor de tale α e le llama orden exponencial de f. Me αt. La definición anterior no dice que f no crece má rápido que una función de la forma Ejemplo 2.8. La iguiente funcione on de orden exponencial: 1, e at, t n, en(bt), co(bt), t n e at, e at co(t). Ejemplo 2.9. La función f(t) = e t2 má rápido que e αt, cualquiera que ea α: no e de orden exponencial, pué eta función crece e t2 t + e αt = t + et(t α) = +. En bae a la anterior definicione, paamo a denotar mediante C α al conjunto de la funcione f : [, + ) R tal que on eccionalmente continua y de orden exponencial α. Se puede demotrar que ete conjunto C α e un epacio vectorial. Paamo ahora a dar condicione uficiente que garantizan la exitencia de la Tranformada de Laplace de una cierta función f. Teorema 2.1. Sea f : [, + ) R. Si f C α, entonce L[f(t)] exite para todo > α. Demotración. Probaremo que la integral impropia e t f(t)dt e finita (converge) para > α. Por hipótei, f e de orden exponencial, entonce exiten contante α R, M, t > tale que f(t) Me αt, para todo t > t. Luego, t e t f(t)dt = e t f(t)dt + } {{ } I 1 t e t f(t)dt. } {{ } I 2 La integral I 1 exite, porque e puede exprear como una uma de integrale obre intervalo en que e t y(t) e continua, para cualquier valor fijo. Para probar que la egunda integral

7 Tranformada de Laplace 7 I 2 e convergente, utilizaremo el criterio de comparación de Weiertra para integrale impropia. Ahora bien, para > α tenemo: I 2 t = M b + = e t f(t) M M α e ( α)t. t e ( α)t dt t e ( α)t dt = M α t=b b + e ( α)t t=t Como la integral M t e ( α)t dt converge para > α, deducimo que la integral I 2 converge en forma aboluta, y por lo tanto converge para > α. Finalmente, como la do integrale I 1 e I 2 on convergente, la tranformada de Laplace exite para > α. Obervación 2.3. En general, el recíproco del teorema no e cumple, e decir que la condicione decrita para f no on necearia. Por ejemplo, f(t) = 1 t / C α, pue tiene dicontinuidad infinita en t = y por tanto no e eccionalmente continua en [, ). Pero tiene tranformada y e dada por L[f(t)]() = π, para >. El iguiente reultado probará que hay funcione que no pueden er tranformada de ninguna función continua por tramo y de orden exponencial. Teorema 2.2. Sea f : [, + ) R. Si f C α, entonce + L[f(t)]() =. Demotración. Debido a que f e de orden exponencial α, entonce exiten contante M, t > tale que f(t) Me αt, para todo t > t. Por otra parte, como f e continua a trozo, en particular, en el intervalo [, t ) entonce e acotada en el intervalo, e decir, exite un M 1 > tal que f(t) M 1 = M 1 e t, para todo t [, t ). Si tomamo M 2 = máx{m, M 1 } y ˆα = máx{, α}, entonce f(t) M 2 eˆα, para todo t. Luego, L[f(t)]() M 2 e ( ˆα)t dt = M b + = M ˆα e ( ˆα)t t=b = M b + t= ˆα, e ( ˆα)t dt para > ˆα. Si hacemo +, de la expreion anterior deducimo que L[f(t)](), y por tanto L[f(t)]() cuando +. Obervación 2.4. De acuerdo con el teorema anterior podemo decir que F 1 () = 1 y F 2 () = +1 no on tranformada de Laplace de funcione continua por tramo y de orden exponencial en virtud de que F 1 () y F 2 () cuando +. Ejercicio 2.3. (Propiedade de valor inicial y final) Sea f : [, + ) R. Si f C α y F () = L[f(t)](), demotrar que: 1. F () =. 2. F () = t + f(t). 3. F () = t f(t).