COMPLEMENTO DIDÁCTICO CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

Transcripción

1 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 COMLEMENTO DIDÁCTICO CAÍTULO. CINEMÁTICA DEL CUERO RÍGIDO EJEMLO RESUELTO ALICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Z ω î Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONES CONCURRENTES î î ψ(t)= î A ω î î Y X JULIO 5

2 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 CINEMÁTICA DEL CUERO RÍGIDO EJEMLO RESUELTO MEDIANTE LA ALICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO. Objetivo: Determinar la configuración y lo etado de velocidad y aceleración de un cuerpo utilizando para el análii lo método aboluto y relativo vito en el Capítulo. racticar con itema coordenado fijo y móvile, expreando lo vectore en una terna fija al marco de referencia aboluto y en otra móvil con repecto a éte. Concluir acerca de la conveniencia de uno y otro método. roblema: Sea la rueda B de la Figura ometida a la rotación alrededor del eje vertical y obligada a rodar in delizar obre el plano horizontal. Lo parámetro geométrico y cinemático del problema on: A= cm, = cm, ψ(t)= t y = / Etablecer el marco de referencia aboluto y determinar para un itema coordenado fijo a dicho marco y para otro móvil con repecto a él, lo iguiente: ) Configuración del itema ) Invariante vectorial, ecalar y tipo de movimiento 3) Aceleración angular de la rueda 4) Velocidad del punto uando como centro de reducción un punto fijo al marco de referencia y otro en el centro de la rueda 5) Graficar lo vectore velocidad hallado en ambo itema coordenado 6) Aceleración del punto utilizando diferente centro de reducción ω A ω ψ(t) = t B C Figura : Equema del ejemplo de aplicación.

3 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 I. MÉTODO DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Marco de referencia y itema coordenado: ara el ejemplo propueto, el obervador aboluto ubicado en el marco de referencia repreentado por lo eje {, X, Y, Z} puede ver do rotacione, la aplicada obre el eje vertical que hace mover al brazo A ( ) y la propia de la rueda producto del rodamiento in delizamiento ( ). Bajo ete equema e ubican una terna aboluta {, î, î, î 3 } fija al marco de referencia y una terna móvil {, î, î, î 3 } unida olidariamente al brazo A cuyo eje î 3 e mueve paralelo a í mimo con la rotación, como puede obervare en la Figura. Z ω î 3 A î 3 ω î î î Y î ψ(t)= t Ángulo de preceión X Figura : Marco de referencia y itema coordenado eleccionado. - Configuración: Según el apartado.5., lo ei grado de libertad de un cuerpo quedan etablecido a travé de lo ei parámetro libre dado por lo tre ángulo de Euler y la tre coordenada del origen del itema móvil. En ete cao, e tiene: X (t) = A co ω t Y (t) = A en ω t Z (t) = ψ(t) = ω t (receión) θ(t) = π/ (Nutación) 3

4 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 φ(t) = ω t (Spin) - Invariante vectorial, ecalar y tipo de movimiento... Invariante Vectorial. Según la ecuación (.) e tiene T N i i Expreado en el itema coordenado fijo: T i3 en i co i ω Expreado en el itema coordenado móvil: T i 3 i î 3 ψ ψ î ω ω î Reulta encillo demotrar que iendo coi eni e 3 i3la forma vectoriale de lo verore de la terna móvil expreado en la fija, enda expreione para repreentan al mimo vector. T î ara calcular, abiendo que el punto de contacto entre la rueda y el plano horizontal poee velocidad nula repecto del obervador, e tiene: y por lo tanto reulta: A Ri 4 i. Invariante Ecalar. Según la expreión (.), e tiene: V î 4

5 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 Expreado en el itema coordenado fijo a) Tomando como Centro de Reducción al punto En ete cao el centro de reducción e encuentra fuera de la región del epacio comprendida por el cuerpo. or lo tanto, egún lo eñalado durante la deducción de la expreión (.4) para la forma impropia de la ley de ditribución de velocidade, e deberá calcular la velocidad que tendría dicho punto i el cuerpo le impuiera u movimiento, como puede vere en la Figura 3 donde e incorporó al punto en una extenión idealizada de la rueda. î 3 î ω î Figura 3: Repreentación idealizada del Centro de Reducción como parte del cuerpo. V V r 3 co en Aco Aen V en co A co en A co en 3 3

6 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 en co i V en co co en co en i 3 en i co i Tratándoe de do rotacione concurrente, el movimiento reultante e una rotación intantánea. b) Tomando como Centro de Reducción al punto V r V 3 3 Aco Aen V Aen Aco ( co i en i i ) Aen i Aco i Aen co Aco en 3 Expreado en el itema coordenado móvil a) Tomando como Centro de Reducción al punto 3

7 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 V r 3 4 V V i i A 3i i V T m b) Tomando como Centro de Reducción al punto V r V A i i A m 3i A i V T Etando ometido a do rotacione concurrente, el movimiento reultante del dico e una rotación intantánea. Aí, el obervador percibe en cada intante que todo lo punto del dico inician un movimiento de rotación alrededor del eje el cual, por encontrare en el plano coordenado (, i ), viaja repecto de él con velocidad angular. 3- Aceleración Angular: E: d dt 3 Expreada en el itema coordenado fijo: 4

8 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 d i 3 en co dt d di3 d den di i 3 en i i en dt dt dt dt dt d d co co di i i co dt dt dt den d co i i dt dt en i co i Expreada en el itema coordenado móvil: d i 3 i dt d di 3 d di i 3 i dt dt dt dt d dt Aplicando la Fórmula de oion, ecuacione (.8): d i 3 i i dt i 8 i En la que ahora e: eni coi 4- Velocidad del punto : ara conocer la velocidad del punto e empleará la forma impropia de la ley de ditribución de velocidade (.4) tomando como centro de reducción a lo punto y V V r CR CR 5

9 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado fijo V V (Terna fija); CR i3 V en co co en 3 3 Aco Aen V en co en A en co A co A co en A co en V en co A en A co co co V A en en i A co V A en i i V 8 en co 4.- Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado fijo (Terna móvil); V Vcr i i 3 V m V A V A A V A 8 m 6

10 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado móvil (Terna fija); Vcr V i3 V A en A co co en V A en A co en co co 8 co V A en i i en i i 4.4- Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado móvil (Terna móvil); VCR V i i 3 V A V A V A 8 m m Se oberva que cuando e exprea el vector velocidad del punto en el itema coordenado fijo, u variación en el tiempo etá dada en forma explícita por el ángulo ψ(t), mientra que cuando e lo exprea en el itema coordenado móvil etá dada en forma implícita por el mimo ángulo, a travé de la rotación del veror i. 7

11 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 5. Graficar lo vectore en la terna móvil y en la terna fija a) Terna fija: Z V T T î 3 V -î en -î co î Y V î X b) Terna Móvil: Z V î 3 î 3 T T V î î î Y V î X 8

12 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 6. Aceleración del punto Como e demotró, el movimiento que realiza el cuerpo e una rotación intantánea. El eje intantáneo de rotación paa por lo único do punto fijo del itema para el obervador: el de concurrencia de amba rotacione y el punto de contacto de la rueda con el plano horizontal. La línea de trazo en la Figura 4 repreenta la dirección del vector rotación intantánea, repecto del cual todo lo punto de la rueda realizan en cada intante trayectoria circulare obre un plano perpendicular a él. El punto permanece inmóvil durante el movimiento del cuerpo, iendo por ello un polo de velocidad y aceleración nula. El punto de contacto cambia de poición tanto en el plano como en la rueda, teniendo velocidad intantánea nula repecto del obervador, pero no aí la aceleración. Z ω î 3 î 3 ω î î î Y î X Figura 4: Repreentación del eje de rotación intantánea La aceleración del punto e obtendrá coniderando la forma impropia de la ley de ditribución de aceleracione (.4) a a r r CR CR CR 9

13 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 Expreada en el itema coordenado fijo 6.. Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado fijo : donde: a a r r a a r r a i3 r en co co en i3 r co en en co r 3 co en co i en i co i3 en i3 en co a en en en co co co 3 3 luego: r Aco Aen 3 co i en i en co A en i3 A co i3 3 en A en i co i r co en A coi A co en A co en Aco Aen 3 3

14 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 3 r co en r en A en A co co co co co co A i en A en A en A en 3 co a i en co en co en 3 3 co en A en A co co A co 3 3 co en i A en i i A co en A en co co co a A en A en en 3 m a 4 (co i en i) 6 i3 6..Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado móvil : a a r r donde: a a r r a 3 co 3 co 3 r en A en i A i Aco Aen

15 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 r co en co 3 Aco Aen r co en A en i A co i A en i A co en A co i A en i A co co 3 A en i3 A en A a A en A A A en A A en 3 co 3 co co 3 3 luego: i3 r en co co en i3 r co en en co 3 co en r co en i en i en co co 3 3 a A en A A A en A 3 co 3 co co 3 A en en en 3 co co en co 3 3 co co co co co co a A A en en en A en A A A en en co co co a A en A en en 3 a 4 (co en ) 6 m 3

16 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 Expreada en el itema coordenado móvil 6.3.Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado fijo : a a r r a a r r a i i 3 r i i 3 r 3 r i i 3 a 3 luego: i i 3 r A 3 A i i 3 r A A 3

17 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne r i A i i A i A a A A A a A 3 a 4 i 6 m 3 Y iendo co eni, el reultado anterior reulta coincidente con el de lo apartado precedente Tomando como centro de reducción al origen del itema coordenado móvil : a a r r 3 3 r A i A i A a A A A 3 3 luego: a a r r a i i 3 r A A 4

18 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 i i 3 r A 3 A i i 3 r i i 3 r 3 3 a A A A r i i a A Tomando como centro de reducción el punto de concurrencia : a a r r a i i 3 r A 3 A i i 3 r A A i i 3 r A A A a A A A

19 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 a A 3 II. MÉTODO DEL MOVIMIENTO RELATIVO A diferencia del método anterior, iguiendo lo concepto del apartado.5., e introduce un nuevo marco de referencia que e mueve repecto del marco aboluto. Z ω î 3 A î 3 ω î î î Y î ψ(t)= t X En ete ejemplo, e toma como marco de referencia relativo al repreentado por la terna móvil {, î, î, î 3 }, la cual e mueve con rotación y velocidad V. ara conocer el movimiento aboluto, un obervador ituado en ete nuevo marco deberá componer en todo intante el movimiento del cuerpo repecto de él (movimiento relativo) con el movimiento con el cual u marco arratra al cuerpo como i éte etuviee olidariamente unido a aquél (movimiento de arratre)...velocidad del punto utilizando el itema coordenado fijo: Según la expreión (. 6 ), e tiene V V V rel arr 6

20 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 V rel i3 V co en en co rel r V V r arr i3 V A en A co Aco Aen 3 r V A en A co arr V r co A co V en A en i i co V A en i i V 8 en co..velocidad del punto calculada en el itema coordenado móvil: m V V V rel arr i i 3 V r rel arr V V r 7

21 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 i i 3 V r A A 3 r V A V 8 i.3 Aceleración del punto calculada en el itema coordenado fijo: a a a a rel arr comp a rel r i3 r co en en co 3 r co en co i3 en i3 m en co 3 arel co en i 8

22 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 a a r r arr a a r r a 3 r en co Aco Aen A en A 3 co 3 i3 r co en A en A co Aco Aen 3 A co A en i r co en A co i A en A en A co a arr d r porque dt r A A en a V comp co 3 3 i3 V co en en co a co en comp rel rel a en A A en en co 3 co co a ( A )(co en ) 3.4 Aceleración del punto calculada en el itema coordenado móvil: a a a a rel arr comp a rel r 9

23 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 i i 3 r 3 r i 3 a a rel 3 a a r r arr a r r a i i 3 r A 3 A 3 3 i i 3 r A A A r A i A i r d porque dt r a arr A i

24 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 a V i i 3 V rel comp a comp a A rel 3 a A 3 III. CONCLUSIONES FINALES ) La expreione algebraica y cálculo matemático e reducen en forma apreciable con el uo de una terna móvil elegida convenientemente. ) Lo gráfico de lo vectore reultan mucho má encillo cuando e utiliza la terna móvil. 3) La utilización de un marco de referencia relativo implifica utancialmente lo cálculo 4) Se verifica que lo vectore expreado en una y otra terna on lo mimo, con componente diferente.

25 Mecánica Racional, Ercoli Azurmendi, edutecne 4 Complemento didáctico CAÍTULO. CINEMÁTICA DEL CUERO RÍGIDO EJEMLO RESUELTO ALICACIÓN DE LOS MÉTODOS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Y DEL MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONES CONCURRENTES 3/7/5