ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

Transcripción

1 1 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Poición 1.- Ecribe el vector de poición y calcula u módulo correpondiente para lo iguiente punto: P1 (4,, 1), P ( 3,1,0) y P3 (1,0, 5); La unidade de la coordenada etán en el Sitema Internacional..- Sea r(t) = (3t 4) i + 3 j k, en unidade del SI, el vector de poición de un móvil Calcula r(t) para t = y t = 5 aí como el vector deplazamiento entre ambo intante. 3.- Determinar la ecuacione paramétrica y de la trayectoria del iguiente movimiento expreado por la ecuación: r(t) = [(t 5 t ) i + (3 t +1) j] m. 4.- La ecuacione paramétrica de un móvil on: x = t 1, y = t + t 4, en unidade SI. Obtén la ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva e. 5.- El vector de poición de una partícula e: r(t) = ( t + t 1) i + (t +) j, en unidade Sl. Determina: a) El vector de poición en lo intante t = 1 y t = 3. b) El vector deplazamiento entre lo intante anteriore y u módulo. c) La ecuación de la trayectoria en unidade SI. Dibuja aproximadamente eta trayectoria. Velocidad 6.- Razona i la iguiente afirmacione on verdadera o fala: a) el epacio recorrido e iempre igual al módulo del vector deplazamiento; b) el epacio recorrido e iempre igual al módulo del vector deplazamiento ólo en lo movimiento lineale; c) la velocidad y la rapidez intantánea on magnitude idéntica; d) el módulo de la velocidad intantánea e iempre igual a la rapidez intantánea; e) el módulo de la velocidad media e iempre igual a la rapidez media; f) un móvil cuya rapidez e ditinta de cero puede tener el módulo de u vector velocidad media igual a cero entre do punto de u trayectoria. 7.- Calcular la velocidad media entre lo intante t =,5 y t = 3,5, aí como u módulo en el movimiento: r(t) = [(t + 4 t ) i + (3t 1) j] m. 8.- Un móvil e deplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando la iguiente poicione a cada intante de tiempo: t () x (m) Conteta: a) A partir de lo dato, cuánto movimiento ditinto oberva? b) Cuál erá la ecuación de la poición en función del tiempo en cada tramo? c) Cual e el vector poición en lo intante t = 1 y t = 9? d) Cual e el vector deplazamiento y el vector velocidad media entre lo punto del apartado anterior? 9.- Un movimiento viene determinado por la iguiente ecuacione paramétrica: x(t) = 5 t; y(t) = 3 t t + 7; en unidade del S.I.. Exprea en forma carteiana a) lo vectore de poición para t = 3 y t = 5. b) el vector deplazamiento entre ambo punto. c) Calcula, bien uando derivada, o bien de forma aproximada utilizando t = 0,01 la componente del vector velocidad para t = 3 y u módulo. d) Ecribe la ecuación de la trayectoria Un móvil igue el recorrido A B C indicado en el gráfico (la ditancia e miden en metro). a) Calcular el vector deplazamiento en cada uno de lo do tramo. b) Si el tiempo que tarda en completar el tramo A B e de 5 y el B C de 10, calcula el vector velocidad media de cada tramo aí como

2 la velocidad media total; c) Calcula lo módulo de toda la velocidade obtenida en el apartado anterior Calcular la velocidad intantánea, uando derivada y de manera aproximada utilizando intervalo t = 0,01, en el intante t = 3, aí como u módulo para un móvil cuya ecuación del vector poición e: r(t) = [(t + t ) i + (4t 1) j] m Aceleración 1.- Razona i un motorita que lleve una velocidad contante a lo largo de un circuito cerrado ufrirá aceleración Calcular la expreión del vector aceleración, uando derivada o de manera aproximada utilizando intervalo t = 0,01, del movimiento cuyo vector velocidad era v(t) = [( t 1) i + (3 t + ) j] m/ en el intante t = 5, aí como u módulo Un móvil va por un circuito circular de 50 m de radio. El módulo de la velocidad aumenta egún la ecuación: v(t) = (4 t ) m/. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal; c) el módulo del vector a a lo Un móvil e deplaza por el plano XY egún la ecuacione paramétrica: x = t 3 + 4; y = t t +5, en unidade del SI. Calcula: a) la expreión de la velocidad y de la aceleración del móvil; b) Calcular el módulo de la velocidad y de la aceleración para t = La ecuación de poición de un móvil e: r(t) = ( t + ) i + [(8/3) t 3 1] j + (t + ) k (e exprea la poición en metro al exprear el tiempo en egundo). Calcular: a) el vector velocidad y u módulo en función de t ; b) el vector aceleración y u módulo en función de t ; c) la aceleración tangencial y la normal en función de t ; d) el radio de curvatura para t =.

3 3 SOLUCIONES (Elemento del Movimiento). 1.- P 1 (4,, 1): r 1 = (4 i + j k) m ; r 1 = [4 + + ( 1) ] 1/ m = 4,58 m P ( 3,1,0): r = ( 3 i + j) m ; r = [( 3) + 1 ] 1/ m = 3,16 m P 3 (1,0, 5): r 3 = (i 5 k) m ; r 3 = [1 + ( 5) ] 1/ m = 5,10 m.- r(t= ) = [(3 4) i + 3 j k] m = ( i + 3 j k) m r(t=5 ) = [(3 5 4) i + 3 j k] m = (11 i + 3 j k) m r = r(t=5 ) r(t= ) = (11 i + 3 j k) m ( i + 3 j k) m = = {(11 ) i + (3 3) j +[ ( )] k} m = 9 i m 3.- r(t) = [(t 5 t ) i + (3 t +1) j] m; Ec. Paramétrica: x = (t 5 t ) m ; y = (3 t + 1) m Depejamo t en una de la ecuacione: t = (y 1)/3 y utituimo en la otra: (y 1) (y 1) y y + 1 5y 5 y y y x = 5 = = Ecuación de la trayectoria: y 17 y x = x = t 1, y = t + t 4 Depejamo t en la primera ecuación: t = (x +1)/ y utituyendo en la egunda: Ecuación de la trayectoria: Se trata de una parábola y x x 5.- a) r(t) = [( t + t 1) i + (t +) j] m r(t= 1) = [( ) i + (1 +) j] m = ( i + 3 j) m r(t= 3) = [( ) i + (3 +) j] m = (0 i + 5 j) m b) r = r(t=3) r(t=1) =(0 i + 5 j) m ( i + 3 j) m = (18 i + j) m r = (18 + ) 1/ m = 18,11 m c) x = t + t 1 ; y = t + t = y x = (y ) + y 1 = y 8 y y 1 = y 7 y + 5 Ecuación de la trayectoria: x = y 7 y a) FALSO. En un circuito cerrado, cundo un móvil paa do vece por el mimo punto, al er la poición de ambo momento la mima, el vector deplazamiento y por tanto u módulo on nulo. Sin embargo, el epacio recorrido e la longitud del circuito multiplicado por el número de vuelta b) FALSO. Sería cierto ólo i no e cambiara de entido. Si el móvil cambia de entido no lo e. Por ejemplo, i lanzamo un objeto hacia arriba y éte cae de nuevo al punto de partida, el módulo del vector deplazamiento ería nulo, mientra que el epacio recorrido ería el doble de la altura máxima que ha alcanzado. c) FALSO. La velocidad intantánea e una magnitud vectorial mientra que la rapidez e una magnitud ecalar.

4 4 d) VERDADERO. Al tratare de deplazamiento infiniteimale, la trayectoria viene a coincidir con la dirección del vector deplazamiento de forma que r, por lo que u repectiva derivada con repecto al tiempo coincidirán. e) FALSO. Al hablar de deplazamiento en intervalo no infiniteimale, en general r, por lo que u repectiva derivada con repecto al tiempo tampoco coincidirán. f) VERDADERO. Siempre que el móvil pae do vece por el mimo punto r = 0, y por tanto v m = 0, mientra que 0 ya que la rapidez e ditinta de r(t) = [(t + 4 t ) i + (3t 1) j] m r(t=,5 ) = [(,5 + 4,5 ) i + (3,5 1) j] m = (14,5 i + 6,5 j) m r(t= 3,5 ) = [(3, ,5 ) i + (3 3,5 1) j] m = (4,5 i + 9,5 j) m r = r(t=3,5) r(t=,5) = (10 i + 3 j) m r (10 i + 3 j) m v m = = = (10 i + 3 j) m/ t 3,5,5 v m = ( ) 1/ m/ = 10,44 m/ 8.- a) movimiento. Hata t = 6, cada t = el deplazamiento por el eje x e cada vez mayor. A partir de t = 6, cada e deplaza iempre 40 m. b) Primer movimiento: r(t) = t i m ; Segundo movimiento: r(t) = (t 6) i m = (0 t 48 ) i m c) r(t= 1) = 1 i m = i m r(t= 9) = (0 9 48) i m = 13 i m d) r = r(t=9) r(t=1) = 13 i m i m = 130 i m r 130 i m v m = = = 16,5 i m/ t x(t) =; y(t) = 3 t t + 7 a) r(t= 3) = [(5 3) i + ( ) j] m = ( i + 8 j) m r(t= 5) = [(5 5) i + ( ) j] m = 7 j m b) r = r(t=5) r(t=3) = 7 j m ( i + 8 j)m = ( i + 44 j) m c) dr d [(5 t ) i + (3 t t + 7) j) m v = = = [ i + (6 t ) j] m/ v(t= 3) = [ i + (6 3 ) j] m/ = ( i + 16 j) m/ ; v = [( 1) + 16 ] 1/ m/ = 16,03 m/ r(t= 3) = ( i + 8 j) m r(t= 3,01) = [(5 3,01) i + (3 3,01 3,01 + 7) j] m = (1,99 i + 8,1603 j) m r = r(t=3,01) r(t=3) = ( 0,01 i + 0,1603 j) m r ( 0,01 i + 0,1603 j) m v = = ( i + 16,03 j) m/; v [( 1) + 16,03 ] 1/ m/ = 16,06 m/ t 3,01 3 d) t = 5 x y = 3 (5 x) (5 x) +7 = x + 3 x 10 + x + 7 = 3 x 8 x +7 y =3 x 8 x +7

5 a) r A = j m; r B = (4 i + 4 j) m ; r C = (6 i + j) m r A B = r B r A = (4 i + j) m ; r B C = r C r B = ( i 3 j) m b) r A B (4 i + j) m v m(a B) = = = [(4/5) i + (/5) j] m/ t 5 r B C ( i 3 j) m v m(b C) = = = [(1/5) i (3/10) j)] m/ t 10 r A C (6 i j) m v m(a C) = = = [(6/15) i (1/15) j] m/ t 15 c) v m(a B) = [(4/5) + (/5) ] 1/ m/ = 0,89 m/ v m(b C) = [(1/5) + ( 3/10) ] 1/ m/ = 0,36 m/ v m(a C) = [(6/15) + ( 1/15) ] 1/ m/ = 0,41 m/ 11.- r(t) = [(t + t ) i + (4t 1) j] m dr d [(t + t ) i + (4t 1) j] m v = = = [(t + 1) i + 4 j] m/ v(t= 3) = [( 3 + 1) i + 4 j]m/ = (7 i + 4 j) m/ ; v = [7 + 4 ] 1/ m/ = 8,06 m/ r(t= 3) = [(3 + 3 ) i + (4 3 1) j] m = (10 i + 11 j) m r(t= 3,01) = [(3,01 + 3,01 ) i + (4 3,01 1) j] m = (10,0701 i + 11,04 j) m r = r(t=3,01) r(t=3) = (0,0701 i + 0,04 j) m r (0,0701 i + 0,04 j) m v = = (7,01 i + 4 j) m/ ; v [7, ] 1/ m/ = 8,07 m/ t 3, SÍ. Al llevar una velocidad contante a lo largo de un circuito cerrado, obviamente e refiere a la rapidez, ya que i e tratara del vector velocidad no podría volver al punto de partida. Al no haber cambio en el módulo de la velocidad no exitirá aceleración tangencial. Sin embargo, como en un circuito cerrado exiten curva, en toda ella exitirá aceleración tangencial cuyo valor dependerá del radio de la mima (v /R) v(t) = [( t 1) i + (3 t + ) j] m/ dv d [( t 1) i + (3 t + ) j] m/ a = = = [4t i + 3 j] m/ a(t= 5) = (4 5 i + 3 j)m/ = (0 i + 3 j) m/ ; a = [0 + 3 ] 1/ m/ = 0, m/ v(t= 5) = [( 5 1) i + (3 5 + ) j] m/ = (49 i + 17 j) m/ v(t= 5,01) = [( 5,01 1) i + (3 5,01 + ) j] m/ = (49,00 i + 17,03 j) m/ v = v(t=5,01) v(t=5) = (0,00 i + 0,03 j) m/

6 6 v (0,00 i + 0,03 j) m/ a = = (0,0 i + 3 j) m/ ; a [0,0 + 3 ] 1/ m/ = 0,4 m/ t 5, v(t) = (4 t ) m/ a) dv (4 t ) m/ b) v (4 t ) m / 8 8 m a t = = = 4 m/ ; a n = = = t + t + R 50 m c) a(t= 3) = 8 8 m = 5,60 m/ r(t) = [(t 3 + 4) i + ( t t + 5) j] m a) v(t= 1 ) = [3 1 i + (4 1 1) j]m/ = (43 i + 47 j) m/ ; v(t= 1 ) = = m/ dv [3t i + (4t 1) j] m/ a = = = (6t i + 4 j) m/ b) v(t= 1 ) = [3 1 i + (4 1 1) j]m/ = (43 i + 47 j) m/ ; v(t= 1 ) = m = m/ a(t= 1 ) = [6 1 i + 4 j]m/ = (7 i + 4 j) m/ ; a(t= 1 ) = 7 4 m = 7,11 m/ 16.- r(t) = ( t + ) i + [(8/3) t 3 1] j + (t + ) k a) dr d {( t + ) i + [(8/3) t 3 1)] j + (t + ) k} m v = = = (4 t i + 8 t j + k) m/ v = 64 t t m 1 m = (8 t + 1) m/ b) dv (4 t i + 8 t j + k) m/ a = = = (4 i + 16 t j) m/ a = 56 t 16 m c) d v (8 t + 1) m/ a t = = = 16 t m/ a = a t + a n a a a (56 t 16) (16 t) m = 4 m/ n d) v v(t=) (8 + 1) m / a n = R(t= ) = = = 7,5 m R a n 4 m/ t