ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE Departamento De Ciencias Naturales y Exactas Universidad De La Costa 20 de Abril del 2018 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 1 / 21

2 Contenido 1 Ecuaciones de Cauchy-Euler Definición Método de solución para el caso homogéneo Método de solución para el caso no homogéneo 2 Transformada de Laplace Definición Propiedades Transformada de Laplace inversa ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 2 / 21

3 Ecuaciones de Cauchy-Euler Definition Son de la forma a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 1 xy + a 0 y = g(x), donde a 0, a 1,..., a n son constantes. Example Las siguientes ecuaciones son de Cauchy-Euler: 1 x 2 y 2xy 4y = 0 2 4x 2 y + 8xy + y = 0 3 x 2 y + 3xy + 3y = 0 4 x 2 y 3xy + 3y = 2x 4 e x ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 3 / 21

4 Método de solución para el caso homogéneo Si tenemos una ecuación de Cauchy-Euler homogénea a 2 x 2 y + a 1 xy + a 0 y = 0, para resolverla seguimos los siguientes pasos: 1 suponemos que tiene una solución de la forma donde m R. y = x m, 2 Derivamos y = x m según el número de derivadas que aparezcan en la ecuación. 3 Reemplazamos en la ecuación los resultados obtenidos en el inciso anterior. 4 Se resuelve la ecuación polinomica obtenida para la cual tenemos tres casos: ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 4 / 21

5 Método de solución para el caso homogéneo CASO 1 [Raíces reales distintas] Si al resolver la ecuación polinomica se obtienen dos raíces reales distintas m 1 m 2, entonces la solución general de la ecuación de Cuachy-Euler homogénea es y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2. CASO 2 [Raíces reales iguales] Si al resolver la ecuación polinomica se obtienen dos raíces reales iguales m 1 = m 2, entonces la solución general de la ecuación de Cuachy-Euler homogénea es y = c 1 x m 1 + c 2 x m 1 ln x. CASO 2 [Raíces complejas] Si al resolver la ecuación polinomica se obtienen dos raíces complejas m 1 = α + βi y m 2 = α βi, entonces la solución general de la ecuación de Cuachy-Euler homogénea es y = c 1 x α cos (β ln x) + c 2 x α sin (β ln x). ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 5 / 21

6 Método de solución Example Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler: 1 x 2 y 2xy 4y = 0 2 4x 2 y + 8xy + y = 0 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 6 / 21

7 Método de solución para el caso no homogéneo Para este caso se debe resolver la ecuación homogénea asociada y luego usar el método de variación de parámetros para hallar la solución particular. Example Resolver la siguiente ecuación diferencial x 2 y 3xy + 3y = 2x 4 e x ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 7 / 21

8 Transformada de Laplace Definition Sea f una función definida para t 0. Entonces la integral L{f (t)} := 0 e st f (t)dt, se denomina la Transformada de Laplace de f, en caso de que la integral converja. Usualmente se denota a la transformada de Laplace de f por F (s). Example Calcular las siguientes transformadas: 1 L{1}. 2 L{t}. 3 L{e 5t }. 4 L{sin 2t}. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 8 / 21

9 Propiedades de la transformada de Laplace Theorem Sea f una función definida para t 0 y sea L{f (t)} su transformada de Laplace. Si g es otra función definida para t 0 y α R, entonces se cumple L{f (t) + αg(t)} = L{f (t)} + αl{g(t)}. Example Calcular la siguiente transformada de Laplace: L{4e 5t 10 sin 2t} ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES 20 VARIABLES de Abril del Y 2018 TRANSFORMADA 9 / 21

10 Algunas transformadas 1 L{a} = a s, con a R 2 L{t n } = n! s n+1 3 L{e at } = 1 s a k 4 L{sin kt} = s 2 + k 2 s 5 L{cos kt} = s 2 + k 2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 10 / 21

11 Algunos ejemplos Example Haga uso de las propiedades para calcular las siguientes transformadas: 1 L{te 2t } 2 L{t 2 + 6t 3} 3 L{e 4t 3 sin 3t} ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 11 / 21

12 Actividad 1 Resuelva las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler: 1 x 2 y + xy + 4y = 0 2 x 2 y 3xy 2y = 0 3 x 2 y xy + y = 2x 4 x 2 y + xy y = ln x 2 Calcular las siguientes transformadas: 1 L{2t 4 } 2 L{7t + 3} 3 L{t 2 e 9t + 5} 4 L{4t 2 5 sin 3t} ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 12 / 21

13 Transformada de Laplace inversa Definition Si F (s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir, L{f (t)} = F (s), decimos entonces que f (t) es la Transformada de Laplace inversa de F (s) y la escribiremos f (t) = L 1 {F (s)}. Example 1 L 1 { 1 s } = 1. 2 L 1 { 1 s 2 } = t. 3 L 1 { 1 s+3 } = e 3t. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 13 / 21

14 Algunas transformadas inversas 1 L 1 { 1 s } = 1. 2 L 1 { n! s n+1 } = t n. 3 L 1 { 1 s a } = eat. 4 L 1 { k s 2 +k 2 } = sin kt. 5 L 1 { s s 2 +k 2 } = cos kt. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 14 / 21

15 Ejemplos Example Evaluar 1 L 1 { } 1 s { 5 } 2 L 1 1 s 2 +7 { } 3 L 1 2s+6 s 2 +4 { 4 L 1 s 2 +6s+9 (s 1)(s 2)(s+4) } ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 15 / 21

16 Transformada de una derivada Theorem Sea y = f (t) una función cuyas derivadas existen y son continuas para t 0, entonces { d n } y L dt n = s n F (s) s n 1 y(0) s n 2 y (0) y n 1 (0), donde F (s) = L{f (t)}. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 16 / 21

17 Ejemplos Example Resolver los siguientes problemas de valor inicial 1 2 { dy dt + 3y = 13 sin 2t y(0) = 6 { y 3y + 2y = e 4t y(0) = 1, y (0) = 5 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 17 / 21

18 Actividad 1 Encontrar las siguientes transformadas inversas a) L { } 1 1 s 3 b) L { } 1 1 { s 48 2 s} 5 c) L 1 (s+1) 3 s { 4 } d) L 1 1 s 2 +3s { } e) L 1 s (s 2)(s 3)(s 6) 2 Utilice la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial { y y = 1 a) y(0) = 0 { 2y + y = 0 b) y(0) = 3 { y + 5y + 4y = 0 c) y(0) = 1, y (0) = 0 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 18 / 21

19 Teorema de traslación Theorem Si L{f (t)} = F (s) y a es un número real, entonces L{e at f (t)} = F (s a). Example Calcular las siguientes transformadas 1 L{e 5t t 3 } 2 L{e 2t cos 4t} { } 2s L 1 (s 3) 2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 19 / 21

20 Actividad Calcule las siguientes transformadas 1 L{e 10t t} 2 L{e 7t t 10 } 3 L{e 2t (t 1) 2 } { } 4 L 1 1 (s + 2) { 3 } 5s 5 L 1 (s 2) { 2 } 6 L 1 1 s 2 + 2s + 5 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 20 / 21

21 Referencias I Dennis G. Zill Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Editores, 6ta ed, ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES20VARIABLES de Abril dely2018 TRANSFORMADA 21 / 21