Código: 0256 Unidades: 5 Horas semanales: 6 Requisitos: 0250 Álgebra Lineal y Geometría 0253 Cálculo III

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA CICLO BÁSICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA ECUACIONES DIFERENCIALES SEMESTRE 1/2012 INFORMACIÓN GENERAL I. INFORMACIÓN CURRICULAR Código: 0256 Unidades: 5 Horas semanales: 6 Requisitos: 0250 Álgebra Lineal y Geometría 0253 Cálculo III II. REQUISITOS ACADÉMICOS El estudiante deberá tener habilidades en los siguientes aspectos: Cálculo diferencial de funciones de una y varias variables Cálculo integral simple Interpretación de las razones de cambio relacionadas Conocimiento de espacios vectoriales y propiedades Manejo de series infinitas III. PROPÓSITO, LOGROS Y ADQUISICIONES Al finalizar el estudio de esta asignatura el estudiante estará en condiciones de: Modelar problemas geométricos, físicos y químicos usando ecuaciones diferenciales de orden 1 y 2, resolverlos e interpretar los resultados Interpretar como campo de direcciones las ecuaciones diferenciales de primer orden y analizar sus resultados Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden Identificar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior, homogéneas y no homogéneas a coeficientes constantes usando diferentes métodos Hallar la solución en series de potencias de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables Utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, en el cálculo de integrales impropias y en la solución de ecuaciones integro-diferenciales 1

2 Resolver problemas con valores en la frontera (Sturm-Liouville) Representar funciones mediante series de Fourier Modelar y resolver problemas como transferencia de calor, de onda, de Laplace, mediante las ecuaciones en derivadas parciales e interpretar sus resultados IV. PROGRAMA SINÓPTICO Ecuaciones diferenciales de primer orden y sus aplicaciones. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y sus aplicaciones. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables. La transformada de Laplace. Ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden. V. PROGRAMA DETALLADO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES 1.1. Origen de las ecuaciones diferenciales 1.2. Definiciones básicas y terminología Orden y grado de una ecuación Solución de una ecuación. General, particular y singular Problema de valor inicial Ecuación diferencial asociada a una familia de curvas 1.3. Métodos de solución de ecuaciones de primer orden Ecuaciones con variables separables y reducibles a separables Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas Ecuaciones exactas. Factor integrante Ecuaciones lineales y reducibles a ellas. Ecuación de Bernoulli 1.4. Teorema de existencia y unicidad de y ' = f(x,y), y(x 0) = y Campos direccionales 1.6. Aplicaciones: Geométricas Trayectorias ortogonales Crecimiento poblacional Desintegración radioactiva Ley de enfriamiento de Newton Vaciado de tanques

3 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Y SUS APLICACIONES 2.1. Forma general. Ecuación lineal homogénea y ecuación lineal no homogénea de segundo orden 2.2. Dependencia e indepedencia lineal. El Wronskiano 2.3. Conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial homogénea. Principio de superposición 2.4. Construcción de una segunda solución a partir de otra conocida 2.5. Operador diferencial lineal. Propiedades 2.6. Ecuación característica. Solución general 2.7. Métodos para hallar soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas: Coeficientes indeterminados Variación de parámetros 2.8. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos 2.9. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Ecuación de Euler homogénea y no homogénea 2.10.Definición de función analítica real en un punto de su dominio. Puntos ordinarios y puntos singulares de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes variables 2.11.Uso de series de potencias para hallar soluciones de una ecuación lineal con coeficientes variables. Solución en series de potencias en la vecindad de un punto ordinario. Problemas de valor inicial Ecuación de Legendre 2.12.Solución en series de potencias en la vecindad de puntos singulares. Método de Frobenius. Ecuación de Bessel 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.1. Definiciones preliminares. Definición de Transformada de Laplace Condiciones suficientes para su existencia 3.2. Transformada de Laplace de funciones elementales 3.3. Función escalón unitario 3.4. Propiedades de la transformada de Laplace 3.5. La transformada inversa 3.6. Primer y segundo teorema de traslación 3.7. Cambio de escala 3.8. Derivada de la transformada 3.9. Transformada de una derivada 3.10.Transformada de una función periódica 3.11.División por t 3

4 3.12.Teorema de la convolución 3.13.Transformada de una integral 3.14.Función de impulso unitario Delta de Dirac 3.15.Aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias 3.16.Aplicación a la solución de problemas de vibraciones mecánicas y de circuitos eléctricos 4. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 4.1. Conjuntos ortogonales 4.2. Series de Fourier. Series de senos y cosenos 4.3. Problema de Sturm-Liouville 4.4. Generalidades sobre ecuaciones diferenciales parciales 4.5. Modelado de algunas ecuaciones diferenciales parciales 4.6. Ecuación de calor 4.7. Ecuación de onda 4.8. Ecuación de Laplace VI. EVALUACIÓN Exámenes parciales teórico-prácticos. Se realizarán cuatro (4) exámenes parciales teórico-prácticos departamentales, en las semanas indicadas en el cronograma estimado de actividades. La ponderación de cada parcial, el contenido a evaluar y la fecha de aplicación se describen a continuación: Primer Parcial Segundo Parcial Tercer Parcial Cuarto Parcial 20% 25% 20% 35% Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4 Sem. 04 Sem. 08 Sem. 12 Sem. 15 Viernes Viernes Viernes Viernes 04/05/12 01/06/12 29/06/12 20/07/ pm 4 6 pm 4 6 pm 4 6 pm Estos exámenes son diseñados en conjunto por todos los profesores de la Cátedra. La inasistencia a por lo menos (2) parciales traerá como consecuencia la pérdida de la asignatura y se obtendrá una calificación definitiva de 00. Examen de Rezagados. Solo tendrán derecho a presentar el examen de rezagados aquellos estudiantes que hayan faltado a solo un parcial. Este examen se realizará al final del semestre y se evaluará todo el contenido programático del curso. Será elaborado por todos los profesores de la Cátedra. 4

5 Examen de Reparación. Solo tendrán derecho a presentar el examen de reparación los estudiantes que hayan asistido a por lo menos dos (2) exámenes parciales. Será elaborado por todos los profesores de la Cátedra. A la entrada se exigirá el Ticket de Reparación debidamente identificado con los datos del estudiante. Su fecha de aplicación es asignada por la oficina de Control de Estudios. Revisión de exámenes: Al entregar las notas de cada examen el profesor debe fijar dos períodos indicando la fecha, hora y lugar de la revisión. Todo estudiante tiene derecho a revisar su examen. La asistencia a clases es de carácter obligatorio. El estudiante que tenga al menos 25% de inasistencias obtendrá una calificación definitiva de 00 y perderá el derecho a presentar el Examen de Reparación. VII. PROFESORES La coordinación de la asignatura estará a cargo del profesor José Luis Quintero. Los otros profesores que constituyen la Cátedra de Ecuaciones Diferenciales para el presente semestre son Cruz Salazar y Farith Briceño. VIII.INFORMACIÓN ADICIONAL Toda información que el estudiante deba conocer y que no se encuentre en este instructivo, será hecha de su conocimiento: A través de su profesor en el aula de clases. En En los exámenes no se permitirá el uso de calculadoras, ni de tablas. Para presentar cualquier examen el estudiante debe identificarse con su cédula laminada y el carnet universitario. IX. BIBLIOGRAFÍA 1. Edwards,C., Penney, D Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Ed. Pearson Prentice Hall 2. Kreider, Kuller, Ostberg, Perkins Introducción al análisis lineal. Ed Fondo Educativo Interamericano 3. Zill, D., Cullen M. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Ed. Thomson 5

6 X. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades TEMA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES. Definiciones básicas. Métodos de solución para las ecuaciones de primer orden. Ecuaciones de variables separables y reducibles a variables separables. Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas. Ecuaciones exactas y reducibles a exactas. Factor integrante Ecuaciones lineales y reducibles a lineales. Ecuación de Bernoulli. ABRIL Teorema de existencia y unicidad. Campos direccionales. Familias paramétricas. Trayectorias ortogonales e isogonales Crecimiento poblacional. Desintegración radioactiva. Ley de enfriamiento. Vaciado de tanques TEMA 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y SUS APLICACIONES. Generalidades. Forma general. Ecuación lineal homogénea y no homogénea. Wronskiano. PRIMER PARCIAL Dependencia e independencia lineal de soluciones. Principio de superposición. Método de solución para la ecuación lineal homogénea. Ecuación característica. Reducción de orden. Cauchy-Euler. Operadores diferenciales. MAYO Método de solución para ecuaciones no homogéneas: Coeficientes indeterminados. Método de solución para ecuaciones no homogéneas: Variación de parámetros Aplicaciones: vibraciones mecánicas. Introducción al uso de series. Puntos ordinarios y singulares. Soluciones en serie en la vecindad de un punto ordinario. Ecuación de Legendre. Resolución de ejercicios variados. 6

7 Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades Método de Frobenius. Ecuación de Bessel. Ejercicios variados Resolución de ejercicios y problemas variados. MAYO Resolución de ejercicios y problemas variados. TEMA 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Definición. Funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial. Existencia de la transformada de Laplace. Resolución de ejercicios variados. SEGUNDO PARCIAL Transformada de Laplace de funciones elementales. Función escalón unitario. Propiedades de la transformada de Laplace. Primer y segundo teorema de traslación. Derivada de la transformada. Resolución de ejercicios y problemas variados Transformada de una derivada. Transformada de una integral. Integral de una transformada. Transformada de una función periódica. La transformada inversa. Teorema de la convolución. Función de impulso unitario Delta de Dirac. Aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones. Resolución de ejercicios. Resolución de ejercicios y problemas variados JUNIO TEMA 4. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES. Generalidades. Motivación. Definiciones básicas. Clasificación. Series de Fourier. Series de cosenos y series de senos. Separación de variables. Problema de Sturm-Liouville. Ejercicios TERCER PARCIAL Ecuación de calor Ecuación de calor Ecuación de onda 7

8 Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades Ecuación de onda Ecuación de onda Ecuación de Laplace Ecuación de Laplace Resolución de ejercicios Resolución de ejercicios JULIO TERCER PARCIAL AGOSTO EXAMEN DE REPARACIÓN 8