2 + ( ) + ( ) = ( ) (1.242) de otra forma se le llama no lineal. La solución deestetipodeecuacionesestádadopor: = (1.
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- Josefina Vargas Nieto
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1 1.3. Ecuaciones diferenciales de 2do orden Ecuaciones lineales homogéneas Una ED de segundo orden se le llama lineal si se escribe como: + ( ) + ( ) = ( ) (1.242) 2 de otra forma se le llama no lineal. La solución deestetipodeecuacionesestádadopor: = (1.243) donde 1 y 2 son constantes y 1 y 2 son funciones. Para una EDO de segundo orden, un problema de valores iniciales, se debe tener dos condiciones iniciales, ( 0 )= 0 0 ( 0 )= 1 (1.244) Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Una ED de segundo orden homogénea con coeficientes constantes tiene la forma =0 (1.245) donde, y son constantes. La solución de este tipo de ecuaciones está dado por: = (1.246) Los valores de 1 y 2 se determinan resolviendo la ecuación cuadrática que tiene las raíces =0 (1.247) = La ecuación cuadrática definida en la ec. (1.247) puede tener tres tipos de raices (1.248) Caso I. Dos raíces reales si Caso II. Una raíz real doble si 2 4 =0 Caso III. Raíces complejas conjugadas si c Gelacio Juárez, UAM 52
2 Caso I. Dos raíces reales Ejemplo 1 Resuelva la ecuación =0 (1.249) =0 (1.250) con las raíces de la ec. (1.249), 1 =2y 2 =3, se obtiene de la ec.(1.246) la solución de la ecuación diferencial = (1.251) Ejemplo =0 (0) = 8 0 (0) = 10 (1.252) =0 (1.253) con las raíces de la ec. (1.253), 1 =1y 2 = 2, se obtiene de la ec.(1.246) la solución de la ecuación diferencial Solución particular. Derivando la ec. (1.254), ( ) = (1.254) 0 ( ) = (1.255) Sustituyendo las condiciones iniciales de la ec. (1.252) en las ecs. (1.254) y (1.255) (0) = =8 (1.256) 0 (0) = = 10 Resolviendo (1.256) se obtienen los valores de 1 =2y 2 =6, con los que se obtiene la solución particular de la ec. (1.254) ( ) = (1.257) c Gelacio Juárez, UAM 53
3 Caso II. Una raíz real doble Cuando en la ec. (1.248) 2 4 =0, la solución de la ecuación diferencial en la ec. (1.245) es: ( ) =( ) 2 (1.258) Ejemplo 1 Resuelva la ecuación =0 (1.259) =0 (1.260) con las raíces de la ec. (1.259), 1 = 2 =1, se obtiene de la ec.(1.258) la solución de la ecuación diferencial ( ) =( ) (1.261) Ejemplo =0 (0) = 3 0 (0) = 5 (1.262) =0 (1.263) con las raíces de la ec. (1.259), 1 = 2 = 2, se obtiene de la ec.(1.258) la solución general de la ecuación diferencial Solución particular. Derivando la ec. (1.264), ( ) =( ) 2 (1.264) 0 ( ) =( ) 2 (1.265) Sustituyendo las condiciones iniciales de la ec. (1.262) en las ecs. (1.264) y (1.265) (0) = ( 1 ) 0 =3 (1.266) 0 (0) = ( ) 0 = 5 Resolviendo (1.266) se obtienen los valores de 1 =3y 2 =1, con los que se obtiene la solución c Gelacio Juárez, UAM 54
4 particular de la ec. (1.264) ( ) =(3+ ) 2 (1.267) Caso III. Raíces complejas Si 1 y 2 son complejas, e.i., 1 = + y 1 =, donde y 0 son reales e 2 = 1 la solución de la ecuación diferencial en la ec. (1.245) es: Utilizando la forma de Euler ( ) = 1 ( +) + ( ) (1.268) se obtiene las siguientes identidades de la ec. (1.268) =cos + sin (1.269) = cos + sin (1.270) = cos sin (1.271) Considerando que cos ( ) =cos y sin ( ) = sin, note que al sumar y restar las ecs. (1.270) y (1.271) se obtiene + = 2cos (1.272) = 2 sin (1.273) Como la ec. (1.268) es una solución (1.245) para cualquier elección de las constantes 1 y 2, 1 = 2 =1y 1 =1, 2 = 1 se obtienen las siguientes soluciones: 1 = ( +) + ( ) (1.274) 2 = ( +) ( ) (1.275) Utilizando las identidades de las ecs. (1.272) y (1.273) en las ecs. (1.274) y (1.275) 1 = ³ + =2 cos (1.276) 2 = ³ =2 sin (1.277) c Gelacio Juárez, UAM 55
5 Los dos últimos resultados demuestran que la parte real de las funciones 2 cos y 2 sin son soluciones de la ED de segundo orden homogénea con coeficientes constantes (1.245), en consecuencia, la solución general es: ( ) = ( 1 cos + 2 sin ) (1.278) Ejemplo =0 (0) = 5 0 (0) = 5 (1.279) =0 (1.280) con las raíces de la ec. (1.280), 1 = 2+ 5 y 2 = 2 5, se obtiene de la ec.(1.258) la solución general de la ecuación diferencial ³ ( ) = 2 1 cos sin 5 (1.281) Solución particular. Derivando la ec. (1.281), ³ 0 ( ) = cos sin cos sin 5 (1.282) Sustituyendo las condiciones iniciales de la ec. (1.279) en las ecs. (1.281) y (1.282) (0) = 0 ( 1 )= 5 (1.283) 0 (0) = 0 ³ Resolviendo (1.283) se obtienen los valores de 1 = 5 y 2 =3, con los que se obtiene la solución particular de la ec. (1.281) ( ) = 2 ³ 5cos 5 +3sin 5 (1.284) Ejemplo =0 (1.285) =0 (1.286) c Gelacio Juárez, UAM 56
6 con las raíces de la ec. (1.286), 1 =1+ 2 y 2 =1 2, se obtiene de la ec. (1.258) la solución general ³ ( ) = 1 1 cos sin 2 (1.287) Tarea Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique las respuestas por sustitución = = = = = = = 0 (0) = 0, 0 (0) = 4 5 c Gelacio Juárez, UAM 57
Solución por coeficientes indeterminados
1.4.3. Ecuaciones no homogéneas En esta sección se parte de la una ecuación diferencial lineal no homogénea + ( 0 + ( = ( (1.342 donde ( 6= 0. Donde la solución general de la ec. (1.342 es la suma de la
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