Tema 5: Recursión. de la siguiente forma: Recursión (Sustantivo) Ver recursión. n Qué es la recursión? Cierto diccionario malévolo la define

Transcripción

1 Tema 5: Recursión n Qué es la recursión? Cierto diccionario malévolo la define de la siguiente forma: Recursión (Sustantivo) Ver recursión. n En efecto, usamos la recursión para definir algo en términos de sí mismo. Pero, cómo es posible lograrlo sin caer en un círculo vicioso? La salida es definir algo en términos de otra cosa que sea un poco más simple, pero que se parezca bastante a la original. n Ejemplo: la función factorial de un número natural definida por f(0)=0!=1 y f(n)=n!=n(n-1)!=nf(n-1) f(4)=4!=4 3!=4 3 2!= != !=

2 Motivación n Se quiere calcular el número a n de cadenas de n bits sin dos ceros consecutivos: Cadenas de 1 bit (2): (1), (0) Cadenas de dos bits (3): (10),(01),(11) De 3 bits (5): (101),(011),(110),(111),(010) n Podemos continuar del siguiente modo: -Las que terminan en 1: cualquier cadena de 3 bits sin dos ceros consecutivos: hay 5 -Las que terminan en 10: cualquier cadena de 2 bits sin dos ceros consecutivos: hay 3

3 Motivación n Entonces, el nº de cadenas de n bits sin dos ceros consecutivos que terminan en 1 es igual al nº de cadenas de n-1 bits con la misma condición y el nº de cadenas que terminan en 10 es igual al de cadenas de n-2 bits verificando lo mismo, es decir, a n =a n-1 +a n-2, a 1 =2,a 2 =3 n Hemos visto que podemos probar por inducción que una determinada fórmula representa el termino general de una sucesión. El problema que nos ocupa en este tema es encontrarla.

4 Recurrencias Lineales Homogéneas Relación de recurrencia lineal de primer orden con coeficientes constantes Serie geométrica, es una sucesión infinita de números, a 0, a 1, a 2,... donde el cociente de cualquier término entre su predecesor es una constante, r, denominada razón. a n+1 /a n = r para n 0 Para que la relación de recurrencia a n+1 =r a n defina una única serie se necesita conocer una condición inicial, a 0 = A La solución general de la relación de recurrencia a n+1 - r a n =0 para n 0, con r constante y a 0 = A es única y está dada por a n = Ar n para n 0

5 Relación de recurrencia lineal de primer orden con coeficientes constantes n Ejemplo: Sea la relación de recurrencia a n+1 =3 a n, a 0 =5 Los primeros términos son: a 0 =5, a 1 =3 5, n 0 a 2 =3 a 1 =3(3 a 0 )=3 2 5, a 3 =3 a 2 =3(32 5)=33 5 En consecuencia a n =3 n 5 para todo n 0

6 Relación de recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes Son de la forma: c n a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = 0 con y con condiciones iniciales a 0 = A, a 1 = B. Buscamos una solución de la forma a n = c r n, donde Sustituyendo: c n c r n + c n-1 c r n-1 + c n-2 c r n-2 =0 c 0, r 0 como c r n-2 c n r 2 + c n-1 r n-2 r+ c n-2 c r n -2 =0 n 2 0, resulta que c n r 2 + c n-1 r + c n-2 =0 (Ecuación característica) Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones r1, r2 que pueden ser: Reales y distintas Reales e iguales Complejas conjugadas. c

7 Raíces reales distintas r n 1 y r n 2 son soluciones linealmente independientes, por lo tanto, existen dos constantes k 1 y k 2 tales que la solución general de la recurrencia viene dada por a n = k 1 r n 1 + k 2 r n 2 para n 0 donde las condiciones iniciales a 0 = A, a 1 = B son las que determinan el valor de las constantes k 1 y k 2.

8 Raíces reales distintas n Ejemplo: Encontremos el término general de la relación de recurrencia: a n +a n-1-6a n-2 =0 n 2, a 0 =1, a 1 =2 Si a n =cr n con c,r 0,se obtiene cr n +cr n-1-6cr n -2=0, de donde resulta la ecuación característica r 2 +r-6=0=(r+3)(r-2) La solución general es a n =k 1 2 n +k 2 (-3) n donde k 1 y k 2 son constantes arbitrarias. Como a 0 =1 y a 1 =3 determinamos k 1 =1 y k 2 =0. Por tanto a n =2 n es la solución única de la relación de recurrencia dada.

9 Raíces complejas conjugadas Sean z = x + iy, w = x - iy las raíces de la ec. característica. z n y w n son soluciones linealmente independientes, por lo tanto, existen dos constantes k 1 y k 2 tales que la solución general de la recurrencia viene dada por a n = k 1 z n + k2 w n para n 0 donde las condiciones iniciales a 0 = A, a 1 = B son las que determinan las constantes k 1 y k 2. Nota: Podemos escribir z = r (cos g+ isen g), de modo que haciendo uso de la fórmula de Moivre z n = r n (cos g + isen g ) n = r n (cos ng + isen ng ).

10 Raíces complejas conjugadas n Ejemplo: Resolver la relación de recurrencia a n =2(a n-1 -a n-2 ), n 2, a 0 =1, a 1 =2 Sol: a n =( ) n [cos(n /4)+sen(n /4] 2 Π Π

11 Raíces reales iguales La raíz doble r n sólo proporciona una solución. Por lo que necesitamos otra solución independiente. nr n es solución porque verifica la relación de recurrencia nr n es independiente de r n, ya que es imposible que nr n =r n para todo n 0 y una constante k dada. En consecuencia, la solución general de la recurrencia viene dada por : a n = k 1 r n + k 2 n r n para n 0 donde las condiciones iniciales a 0 = A, a 1 = B determinan las constantes k 1 y k 2. son las que

12 Raíces reales repetidas n Ejemplo: Resolver la relación de recurrencia a n+2 =4a n+1-4a n, n 0, a 0 =1, a 1 =3 Sol: a n =2 n +n2 n-1, n 0

13 Relación de recurrencia lineal homogénea de orden k con coeficientes constantes En general, si c n a n + c n-1 a n c n-k a n-k = 0, con c n 0 c n-1,.., c n-k ( 0 ) y r es una raíz de la ecuación característica de multiplicidad m, con 2 m k, entonces la parte de la solución general que incluye la raíz r tiene la forma (k 0 + k 1 n + k 2 n 2 +.+k m-1 n m-1 ) r n donde k 0, k 1, k 2,., k m-1 son constantes.

14 Ejemplo n Ejemplo: Resolver la relación de recurrencia a n =3a n-1-4a n-3, n 3, con a 0 =5, a 1 =3, a 2 =19 Sol: a n =3(-1) n +2 n+1 +n2 n, n 0

15 Recurrencias Lineales no Homogéneas n c n a n + c n-1 a n c n-k a n-k = f(n) con c n,c n-1,.., c n-k ( 0 ) y f(n) 0 Si f(n)=b n, buscamos soluciones del tipo k b n Si f(n)= polinomio de grado d en n, buscamos soluciones polinómicas de grado d Sea c n a n + c n-1 a n c n-k a n-k = b n q(n), n k Resolución: Si P(r) es el polinomio característico de la ecuación de recurrencia homogénea asociada, sea Q(r)=P(r) (r-b) d+1 y se procede con este polinomio igual que en el caso homogéneo.

16 Ejemplos n Ejemplo: Resolver la relación de recurrencia a n -3a n-1 =5 (7 n ), n 1, con a 0 =2 Sol: a n =5/4(7) n+1-1/4(3) n+3, n 0 Ejemplo: Resolver la relación de recurrencia a n -3a n-1 =5 (3 n ), n 1, con a 0 =2 Sol: a n =(2+5n) (3) n, n 0

17 Recurrencias Lineales no Homogéneas c n a n + c n-1 a n c n-k a n-k = b 1n q 1 (n)+ +b rn q r (n), n k, siendo q i (n) polinomios en n de grado d i Resolución: Si P(r) es el polinomio característico de la ecuación de recurrencia homogénea asociada, sea Q(r)=P(r) (r-b 1 ) d1+1 (r-b r ) dr+1 y se procede con este polinomio igual que en el caso homogéneo. Ejemplo: Resolver a n+1-2a n =5, n 0, con a 0 =1 Sol: a n =6 2 n -5, n 0