ÁLGEBRA (Ciencias) año 2017 PRÁCTICA N 3 Números Naturales

Transcripción

1 ÁLGEBRA (Ciencias) año 07 PRÁCTICA N 3 Números Naturales. Escribir los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = n 4 5n n =,, b n = ( ) n+ 3 n n = 0,,, b j = x j y (j+) j =,, x, y fijos. d) a =, a =, a m = ( ) a m + a m m = 3, 4,. Para los siguientes casos determinar una fórmula general para a n e indicar a partir de qué valor de n tiene validez., 4, 8, 6,, 3, 9, 7,,,,,,,,, d), 4, 6, 8, 0, e) 4, 3 5, 4 6, 5 7, f ) 3, 5, 9, 7, 33, 65, 3. Dada la siguiente sucesión: 7, 0, 3, 6, 9, Cómo es la diferencia de dos términos consecutivos? A estas sucesiones se las llama ARITMETICAS, porque la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. En general si { a n } n N, n, es aritmética, dado el primer término a resulta que a n = a n + d, n, donde d es la diferencia. Encuentra una definición explícita para la sucesión aritmética dada. Encuentra una definición explícita para una sucesión aritmética cualquiera. 4. Dada la siguiente sucesión: 3, 6,, 4, 48, 96, Cómo es el cociente entre dos términos consecutivos? A estas sucesiones se las llama GEOMETRICAS, porque el cociente entre dos términos consecutivos es constante. En general si { a n } n N, n, es geométrica, dado el primer término a resulta que a n = a n r, n, donde r es la razón. Encuentra una definición explícita para la sucesión geométrica dada. Encuentra una definición explícita para una sucesión geométrica cualquiera. 5. El séptimo término de una sucesión aritmética es 79 y el decimotercero es 50. Encontrar el primer término y la diferencia.

2 6. Una pelota de ping pong se lanza desde una altura de 5 mts. En cada rebote se eleva verticalmente de la altura alcanzada por el rebote previo. A que altura se elevará en el octavo? Y en el 4 n-ésimo? 7. Si a s = s + 3s + para s =,, 0,,, Definir h i para i =, 0,,,, de modo que: h = a, h 0 = a, h = a 0, etc. Cómo definiría c k para k =,, 3, de modo que: c = a, c = a, c 3 = a 0,? 8. Desarrollar las siguientes sumatorias: 7 ( (j) j j=4 5 k= 5 k= (j ) j+ a k b k 8 ) 9. Expresar usando el símbolo de sumatoria a 4 b 0 + a 3 b + a b + a b 3 + a 0 b 4 0. Desarrolar los siguientes productos. 5 ( ) j (j + ) j= 4 a j (b + j) j= 4 k=. Expresar usando el símbolo de productoria b b b 3 b 4 b h h factores n factores.. Expresar cambiando la variación de los subíndices y consecuentemente el término general para que valgan las siguientes igualdades. 6 i [3 (i + ) 7i] = j=

3 m a i = j=6 = 3. Desarrollar: ( 3 ) a i b j j= 4 ( ) i j,i=0 0 i+j 4. Calcular: ( ) 3 j 5 i [j + ] s= = h=r R constante. ( 7! 4!! ( 4! +! (d) ( )! (e) (!) Notar que a! + b! (a +! y que (a b )! a! b. ï Es (a! igual a a! b!? 5. Calcular y/o simplificar: ( n! (n )! (n ) ( 8(n )! n! (n ) ( n! (n 3)! n (n 3) (d) (n )! (n )! n!(n 3)! 6. Expresar utilizando los factoriales convenientes (m, n, k N r k ) (n ) ( ( (r + )(r + )r(r ) ( k (k ) (d) m(m )(m 4)(m 6) Hallar n, si es que existe, que verifique: ( n! (n )! = ( n! n! (n )! = 5 ( = 49 (n )! (n )! 8. Demostrar aplicando el principio de inducción: n = n n [ ] n(n + ) n 3 = n i i = + (n ) n n d) i=0 4i = n + n + n 0 3

4 n(n + ) e) n = n f ) Probar que si a n es una sucesión geométrica definida recursivamente por: a y a n = a n.r, n entonces el término explícito es a n = a.r n n g) Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica: a R i = a (Rn ) R n R h) Probar que si a n es una sucesión aritmética definida recursivamente por: a y a n = a n + d, n entonces el término explícito es a n = a + (n )d n i) Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética: j ) k) n i= ( ) = i n i i! = (n + )! n n l) x n y n = (x y) m) Ejercicio optativo: k=0 n (a + (i )d) = n [a + (n )d] x n k y k n ( ) n + i i 3 = n ( n) n n 9. Calcular utilizando propiedades de la suma y los resultados del ejercicio anterior: d) 48 i=8 78 j=40 40 k=0 i j j 8 + 7k h 9 4 t+ t=0 e) La suma de los 70 primeros impares f ) La suma de los 90 primeros pares g) Un mendigo le propuso a un avaro : Durante este mes le daré a usted peso el primer día, pesos el segundo, 3 pesos el tercero y así sucesivamente. A cambio usted me dará 000 el primer día, 000 el segundo, el tercero, el cuarto, y así sucesivamente. El avaro aceptó entusiasmado y convinieron en hacer el pago a fin de mes. Quién de los dos se quedó con más dinero? 4

5 0. Probar las siguientes desigualdades utilizando el principio de inducción. (m + )! m! m 6 n + 4 n n 3 n 3n n d) 8 n + 5 n n e) n < n! n 4 f ) Ejercicio optativo: 3n n + n g) Ejercicio optativo: n > n + n 3. Probar por Inducción Completa Sea a n una sucesión de números naturales tales que a = 8, a = 70 y se verifica la siguiente relación : a n = 8a n 77a n n 3 Probar que a n = 7 n + n n Sea a n una sucesión de números naturales tales que a = 0, a = 3 y se verifica la siguiente relación : a n = 9a n n 3 Probar que a n = 3n +( 3) n 6 n Dada la sucesión de Fibonacci, definida recursivamente por a =, a = y a n = a n +a n n 3 Probar que a n = 5 ( + 5 ) n 5 ( 5 ) n n. Dado el siguiente esquema, P (n) : n + 5n + es par. Probar que si P (k) es verdadera para algún k natural, entonces P (k + ) también lo es. Considerando el principio de Inducción Completa, puede decirse que P (n) es verdadera para todo natural? Probar que P (n) es falsa para todo n natural. 5