Álgebra Enero I.-Resolver las ecuaciones dadas por factorización y si no es posible, hacerlo usado formula general.

Transcripción

1 Laboratorio # 1 Ecuaciones Cuadráticas I I.-Resolver las ecuaciones dadas por factorización y si no es posible, hacerlo usado formula general. 1) x 2 3x + 2 = 0 2) x 2 x 12 = 0 3) 3y 2 + 2y 1 = 0 4) 6z 2 + z 2 = 0 II.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método completando un trinomio cuadrado perfecto. 1) 3x 2 5x + 3 = 0 2) z 2 3z 1 = 0 3) 2x 2 3x + 2 = 0 4) m 2 4m + 8 = 0 III.- Resolver las ecuaciones siguientes usando cualquier método. 1) x 2 + 4x + 2 = 0 2) 3 = t 2 + 7t 3) 1 3 x = 10 x 2 4) 2x x 8 = 0 5) 2x(x 1) = 3(x + 1) 6) x 2 2x + 9 = 2x 4 7) = m 10 m 8) x 2 3x 1 = 0 9) 1 x + 1 x+3 = ) x x 2 = 0 Página 1 de 19

2 Laboratorio # 2 Ecuaciones Cuadráticas II I.-Calcular el discriminante y determinar la naturaleza, suma y producto de las raíces, sin resolver la ecuación dada. 1) x 2 2x + 3 = 0 2) (x + 1) 2 = x 1 3) x + 1 x = 4 4) x 2 + 4x + 4 = 0 5) x+1 = 3x 1 x 1 x+1 6) x 2 + x 6 = 0 II.- Determinar el valor(s) de K de modo que la ecuación dada tenga raíces iguales. 1) x 2 + 3k + 1 = (k + 2)x 2) x 2 + kx + 8 = k 3) (k + 4)x 2 1 = (2k + 2)x k 4) x 2 3kx + 9 = 0 5) kx 2 + 8x + 4 = 0 6) (k 1)x 2 2kx + k 2 = 0 III.- Hallar la ecuación que tenga las raíces indicadas. 1) 3, 4 2) 1 + i, 1 i 3) 5 6, 3 2 4) 1 + 5,1 5 5) 2, 2 6) 2 + 3i, 2 3i IV.- Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación (k 2)x 2 5x + 2k = 0 sea 6. V.- Si una de las raíces de la ecuación 2x 2 4x + k 2 2k 3 = 0 es cero, Cuánto vale k? Página 2 de 19

3 Laboratorio # 3 Formas Cuadráticas I.-Resolver las ecuaciones dadas como ecuación de forma cuadrática. 1) x 4 17x = 0 2) x + x = 0 3) 2x x = 0 4) (x + 1 x )2 + 4 (x + 1 x ) = 12 5) 2 x2 2 x x x 2 2 = 1 6) x+3 x 3 2 x 3 x+3 = 1 7) x 2 + 2x + x 2 + 2x = 0 8) 2x 2 + 2x 3 x 2 + x = 0 9) 1+ 1+x2 x + x 2 2 = 0 10) 2x x 2 9 = x 2 11) x 1 2 3x = 0 12) x x = 0 13) 3 ( x 1 x )2 4 ( x 1 ) = 4 14) x 2 5x + 1 = 3 x 15) x 2 1 a 2 = a2 1 x 2 16) 2x2 2x + x 2 x = 3 II.- Resolver la ecuación con radicales y comprobar si aparecen raíces extrañas. 1) x x + 7 = 5 2) x 2 3x + 4 = 2 3) x = 2 4) 2x 1 3x x 1 = 0 5) x x x + 8 = 0 Página 3 de 19

4 Laboratorio # 4 Sistema de ecuaciones cuadráticas I.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. 1) 2x y = 6, y 2 = x 2) x + y = 2, x 2 + y 2 = 4 3) x 2 + y 2 = 4, 4y 2 x 2 = 4 4) x 2 y 2 = 5, 9x y 2 = 145 5) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 6) x 2 + y 2 = 5, xy = 2 7) x 2 y 2 = 8, xy = 3 8) x 2 + y 2 = 8, x 2 xy + 2y 2 = 16 9) xy + 4y 2 = 8, x 2 + 3xy = 28 II.- Encontrar los valores que debe tomar k para que la recta y = x + k sea tangente a la circunferencia x 2 + y 2 10x + 2y + 18 = 0. III.- Calcular el valor que debe tomar k para que la recta x + y = k sea tangente a la parábola y 2 = 8x. Página 4 de 19

5 Laboratorio # 5 Inducción Matemática I.- Usar inducción matemática para demostrar las relaciones siguientes (n es un entero positivo). 1) (2n 1) 2 = n 3 (4n2 1). 2) n 3 = n2 4 (n + 1)2. 3) ( n) 2 = n2 4 (n + 1)2. 4) (2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1). 5) 6) = n n(n+1) n = (2n 1)(2n+1) n 2n+1. 7) n(2n 1) 2 = n (n + 6 1)(6n2 2n 1). 8) (2n 1)3 n = (n 1)3 n ) 2 4n 1 es divisible entre ) 2 2n + 5 es divisible entre 3. Página 5 de 19

6 Laboratorio # 6 Teorema del Binomio I.- Usar el teorema del Binomio para efectuar el desarrollo indicado y simplificar cada resultado. 1) (3a b) 4 2) (x 2 + x 1 2) 4 3) (x 2 y 2 ) 4 4) ( a a 2)6 5) (a b + b a) 6 6) (a + b c) 3 II.- Escribir y simplificar los 4 primeros términos del desarrollo dada. 1) (2a b) 7 2) (1 + x) 1 3) (1 x 2 ) 1/2 4) (a b 3 )9 III.- Obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo correspondiente. 1) Cuarto término de (a 2b) 9 2) Quinto término de (x + y 2 )7 3) Término central de ( x y + y x )8 4) Los dos términos centrales de ( x2 2 y)9 5) Término en a 7 de ( a 3 + 9b)10 6) Termino independiente de x de ( 2x 3 3 2x )6 Página 6 de 19

7 Laboratorio # 7 Introducción a la trigonometría I.- Halle la coordenada que falta o el radio vector del punto P. 1) ( 7,24) 2)(2, y), r = 13, P en C. IV 3)(x, 3), r = 3 2 II.- Trace los puntos siguientes y junto a cada punto escriba sus coordenadas. Indique cual es el valor de la abscisa, de la ordenada y del radio vector y anote el cuadrante en el que esta cada punto. 1) (3,4) 2) ( 5,12) 3) ( 7, 24) 4) ( 8,6) 5) (1, 1) 6)(2 3, 2) III.- Trace, en posición normal, los ángulos cuyos lados terminales pasan por el punto dado. Designe por θ uno de los ángulos positivos y por φ uno de los negativos así formados. Además determine un par de ángulos coterminales para θ y φ. 1) (4,4 3) 2)(1, 3) 2) ( 1, 1) IV.- Hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto dado. 1) ( 1,2) 2) (0, 3) 3) ( 2, 2) 4) (1,0) 5)( 4, 4 3) 6)(3 3, 3) Página 7 de 19

8 Laboratorio # 8 Funciones Trigonométricas I I.- Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas: 1)tan(θ) = 3 5, θ en CI. 2)cos( θ) = )csc( θ) = π, θ en CIII 4)sec( θ) = π 2, θ en CI. 5)sen( θ) = 3 5 6)cos( θ) = 3 5, θ en CIV. II.- Compruebe que las siguientes proposiciones son verdaderas. 1) 1 + cot 2 ( π 3 ) = csc2 ( π 3 ) 2) cos 2 ( π 4 ) (1 + tan2 ( π 4 ))=1 3) 2 sen (60 ) cos(60 ) = sen(120 ) 4) sen ( 2π ) = 1 cos(4π 3 ) 3 2 5)sen(x + 60 ) = sen(x)+ 3 cos(x) 2 III.- Halle los valores exactos de las expresiones siguientes. 1)csc ( π 2 ) sen2 ( π 2 ) cos2 ( π 3 ) 2)cot(60 ) sen ( π 6 ) sec (π 3 ) IV.- Reduzca cada expresión a una sola función trigonométrica 1) sen(5 θ) cos(2 θ) + cos(5 θ) sen (2 θ) 2) sen(a B) cos(b) + cos(a B)sen(B) 3) 4) tan (3 θ) 1 tan 2 (3 θ) 1 cos (4θ) sen(4θ), 1 tan 2 (3 θ) 0, sen(4θ) 0 Página 8 de 19

9 I.- Verificar las identidades siguientes. 1) cos(4θ) 1 tan(2θ) 1+sen(4θ) 1+tan(2θ) 2) tan ( θ ) csc(θ) cot(θ) 2 Laboratorio # 9 Identidades Trigonométricas 3) sen(8x) sen(2x) 2cos(5x)sen(3x) 4) sen(u)+sen(v) tan cos(u)+cos(v) (1 (u + v)) 2 5) cos 2 (u) (1 + tan 2 (u)) 1 6) sec 2 (A) (1 sen 2 (A)) 1 7) sen 2 (x)(1 csc 2 (x)) cos 2 (x) 8) sen(θ) 9) 2+csc(θ) sec(θ) 1+sen(θ) 2sec2 (θ) 2 cos(θ) cot(θ) 10)sen 2 (θ) + 2cos 2 (θ) + cos 2 (θ) cot 2 (θ) csc 2 (θ) Página 9 de 19

10 Laboratorio # 10 Identidades Trigonométricas I.- Resolver las ecuaciones siguientes para 0 θ 360, 0 u 2π. 1) 2cos (θ) + 3 = 0 2) tan 2 (u) tan(u) = 0 3) 4 sen(u) cos 2 (u) sen(u) = 0 4) sen 2 (θ) 2 sen θ 1 = 0 5) 21 sen 2 (u) 5 sen(u) + 6 = 0 6) 6 tan 4 (θ) + 13 tan 2 (θ) + 5 = 0 7) tan 4 (θ) 2 tan 2 (θ) 1 = 0 8) 3 sen(u) 2 cos 2 (u) = 0 9) sec 2 (θ) + 4 tan(θ) = 0 10) 3 sen(θ) + cos(θ) = 1 11) 5 sen(θ) 12 cos(θ) = 13 II.- Construya la gráfica para un ciclo, e indique la amplitud, el periodo y el desfasamiento. 1) y = 3 sen(x + π ) 3 2) y = 2 cos(x + π) 3) y = 2 sen(3x π ) 3 4) y = 2 cos(2x π 2 ) Página 10 de 19

11 Laboratorio # 11 Números Complejos I I.- Calcular los valores reales de x y y que cumplen con la relación dada. 1) x + yi = 2 3i 2) 3x 2yi = 6 + 4i 3) (x yi) 2 = 8 6i 4) x 2 4y + (2y x)i = 2 i ll.- Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma canónica. 1) (1 + i) + (3 2i) 2) (2 + 4) (3 9) 3) ) a a a2 5) (3 + 2i)(3 2i) 6) (1 + i)(1 2i)(1 + 3i) 7) ( )( ) 8) ( )( ) 9) ( i)3 10) 1 1 2i 11) 2 i 1+2i 12) (1 2i) 2 lll.- Por factorización, obtener las cuatro raíces de la ecuación x 4 16 = 0 y demostrar que suma es igual a cero. IV.-Demostrar que la suma de cualquier número complejo con su negativo es igual a cero. Página 11 de 19

12 Laboratorio # 12 Números Complejos II I.- Efectuar las operaciones indicadas 1) (1 i) + (2 + 3i) 2) (3 + 2i) + ( 2 i) 3) (6 + 9 ) (3 4) 4) (8 + i) + (1 3i) (6 2i) II.- Calcular el modulo, el argumento y hallar la forma polar del número complejo dado. 1) 3 i 2) 2 + 2i 3) 7 4) 3i III.- Usar el Teorema de De Moivre para calcular la potencia indicada. 1) [2(cos 15 + i sen 15 )] 3. 2) [2 1 4 (cos 30 + i sen 150 )]8 3) ( i ) ) ( i) IV.- Usar el teorema de De Moivre para obtener las raíces indicadas y representarlas gráficamente. 1) Las tres raíces cúbicas de 8(cos 60 + i sen 60 ) 2) Las tres raíces cúbicas de 2 + 2i 3) Las cuatro raíces cuartas de 4 4 3i 4) Las seis raíces sextas de 27i 5) Las ocho raíces octavas de i 6) Las nueves raíces novenas de i Página 12 de 19

13 Laboratorio # 13 Progresión Aritmética I.- Hallar a n y s n en la progresión aritmética dada para el número indicado de términos. 1) 2, 6, 10,. Hasta 11 términos. 2) 9, 7, 5, hasta 14 términos. 3) -8, - 13, -5, hasta 16 términos. 2 4) 3, 8, 7, hasta 24 términos. 3 3 II.- Se dan tres de los cinco elementos de una progresión aritmética. Calcular los otros dos elementos. 1) a 1 = 5, d = 3, n = 8 2) a 1 = 11, d = 2, S n = 28 3) a 1 = 30, a n = 10, s n = 90 4) a 1 = 45, d = 3, s n = 357. III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Hallar la suma de todos los múltiplos positivos de 3 que son menores que 20. 2) Calcular la suma de todos los múltiplos positivos de 5 que son menores que ) Obtener la media aritmética de 7 y ) Interpolar cinco medios aritméticos entre -4 y 8. 5) El tercer término de una progresión aritmética es -3 y el octavo término es 2. Hallar la diferencia y el sexto término. 6) El cuarto término de una profesión aritmética es 11 y el undécimo término es 21. Calcular el primer término y la suma de los primeros quince términos. Página 13 de 19

14 Laboratorio # 14 Progresión Geométrica I.- Hallar a n y s n en la progresión geométrica dada para el número indicado de términos. 1) 2, 4, 8, hasta 10 términos. 2) 1, 4, 16, hasta 7 términos. 3) 48, 24, 12, hasta 6 términos. II.- Se dan tres de los cinco elementos de una progresión geométrica. Calcular los otros dos elementos. 1) a 1 =1, a n = , r= ) a 1 = 2, a 6 = 64, n = 6 3) r = 2, s 7 = 635, n = 7 III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Interpolar tres medios geométricos entre 16 y ) La media geométrica de dos números positivos es 4. Hallar los números si uno de ellos es el cuádruplo del otro. 3) El tercer término de una progresión geométrica es 3, y el séptimo término es 3. Calcular la razón 16 y el primer término. 4) El segundo término de una progresión geométrica es -18, y el quinto término es 16. Calcular el sexto término y la suma de los cinco primeros términos. 5) Una bomba para extracción de aire expulsa en cada movimiento la décima parte del aire de un tanque. Calcular la fracción del volumen original de aire que queda en el tanque, al final de ocho movimientos. 6) Un recipiente contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan seis litros y se reemplazan con agua. Si esta operación se efectúa seis veces, calcular la cantidad de alcohol puro que queda en el recipiente. 3 Página 14 de 19

15 Laboratorio # 15 Progresión Geométrica Infinita I.- Calcular la suma de la progresión geométrica infinita dada. 1) 12, 6, 3, 2) 3, 3, 1, 5) 5, 1, 5, 5 II.- Escribir la fracción común (simplificada) equivalente al decimal periódico infinito dado. 1) ) ) ) III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Una pelota de hule cae de una altura de 9 metros y cada vez rebota hasta una tercera parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta teóricamente quede en reposos. 2) Una pelota de hule cae de una altura de 10 metros y cada vez rebota hasta una quinta parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta teóricamente quede en reposos. 3) La suma de una progresión geométrica infinita es Si el primer término es 16, hallar el quinto término. 4) La suma de una progresión geométrica infinita es 81. Si la razón es 2 3, hallar el séptimo término. Página 15 de 19

16 Laboratorio # 16 Teoría de ecuaciones I I.- Hallar los valores que se piden del polinomio dado usando la división sintética y el teorema de residuo 1) f(x) = 2x 3 3 x 2 + 5x 7; f(2), f( 1) 2) f(x) = 3x 4 5x 3 + 2x 2 7x + 8 ; f(1), f( 2) 3) f(x) = x 5 2x 4 3x 2 2x 8; f(3), f( 1) II.- Obtener el cociente y el residuo usando la división sintética. 1) (x 3 + 4x 2 + 7x 2) (x + 2) 2) (x 4 + 2x 3 10x 2 11x 7) (x 3) 3) x 6 x 4 + x 2 2) (x 1) III.- Averiguar, usando el teorema del factor y la división sintética, si el binomio dado es factor del polinomio dado. 1) x 1; f(x) = x 3 + 2x 2 4x + 1 2) x + 2; f(x) = x 4 3x 3 2x 2 + 5x 9 3) x + 3; f(x) = x 5 + 4x 4 7x 2 + 5x 3 IV.- Averiguar, usando el teorema del factor y la división sintética si la ecuación dada tiene la raíz que se indica 1) x 3 9x x 24 = 0 ; x = 2. 2) x 4 + 5x 3 + 4x 2 7x 3 = 0 ; x = 3. 3) 2x x x 2 2x + 5 = 0 ; x = 2. Página 16 de 19

17 Laboratorio # 17 Teoría de Ecuaciones II I.- Utilizar el teorema del factor y la división sintética para obtener el resultado que se pide. 1) Demostrar que x 3 es un factor de x 3 2x 2 23x Hallar los factores restantes. 2) Demostrar que x 1 y x + 2 son factores de x 4 + 2x 3 7x 2 8x + 12, y hallar los factores restantes. II.-Construir la gráfica del polinomio dado y hallar las raíces reales de la ecuación f(x) = 0. 1) f(x) = x 3 6x x 6. 2) f(x) = x 3 + 2x 2 5x 6. 3) f(x) = x 4 3x 3 11x x 12. 4) f(x) = x 4 3x 3 17x x 34. 5) f(x) = x 5 + x 4 5x 3 x 2 + 8x 4. 5) f(x) = x 5 x 4 8x 3 + 8x x 16. III.-Tazar la gráfica de f(x) sin efectuar los productos indicados. 1) f(x) = (x 1) 2 (x + 2) 3. 2) f(x) = x(x + 3) 3 (x 4) 2. Página 17 de 19

18 Laboratorio # 18 Teoría de Ecuaciones III I. -Comprobar que la ecuación dada tiene como raíces los valores de r, y hallar las raíces restantes. 1) x 3 7x 6 = 0, r = 3. 2) 6x 4 41x x x 12 = 0, r = 4, ) x 4 4x 3 + x x 20 = 0, r = 1, 5. 4) 3x 4 11x x x 12 = 0, r = 1 3, 6. II.-Se dan unas raíces de la ecuación. Hallar las raíces restantes. 1) x 3 + x 2 4x + 6 = 0, 1 i. 2) x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0, ) x 5 8x x 3 40x x = 0, 2 + 2, 2 + 2i 5) x 6 2x 5 4x 4 8x 3 77x x = 0, 5, 3i III.-Hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de la ecuación dada, por medio de la regla de Descartes 1) 2x 4 + x 2 + 2x 3 = 0. 2) 3x 3 + 9x 2 7x + 4 = 0. 3) x 5 + 3x 3 + 5x = 0. 4) x 8 1 = 0 5)x 5 2x 4 + 5x 3 7x 2 = 0. 6)x 9 + 4x 7 6x 6 + 4x 4 8 = 0. Página 18 de 19

19 IV.-Hallar todas las raíces de la ecuación dada. 1) 2x 3 9x x 4 = 0. 2) 9x x 3 143x x + 30 = 0. 3) 3x 5 + 5x 4 + x 3 + 5x 2 2x = 0. 4) 8x 4 28x x 2 175x 100 = 0. Página 19 de 19