Módulo de Revisión para la Evaluación de Febrero

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1 Módulo de Revisión para la Evaluación de Febrero Matemática to año B Profesora Fátima R. Urquieta Año 07: Nombre del Alumno:

2 CONTENIDOS: Geometría y Álgebra Semejanza de figuras planas. Teorema de Thales. Lugar geométrico. Circunferencia. Secciones cónicas. Distancias en el plano cartesiano. La circunferencia. Concepto y elementos de la circunferencia. Ecuación general de la circunferencia. Determinación del radio y de las coordenadas del centro de la circunferencia. Sistemas Mixtos entre circunferencia y recta Número y Operaciones Números Reales. Concepto y representación. Completitud. Representación geométrica de Reales. Propiedades estructurales y relaciones de inclusión entre conjuntos numéricos (N 0, Z, Q y R). Operatoria. Uso de calculadoras. Exponente fraccionario. Radicales: simplificación, extracción de factores fuera de la raíz, adición, sustracción, multiplicación y división de radicales. Racionalización de denominadores. Álgebra y Funciones Ecuaciones e inecuaciones. Intervalos como resolución de inecuaciones. Concepto de funciones. Lectura de gráficos. Dominio e imagen de una función. Función cuadrática. Función cuadrática en su forma polinómica, canónica y factorizada, pasaje de una forma a otra. Representación gráfica de la parábola a partir de sus raíces, eje, vértice y ordenada al origen Problemas donde interviene la función cuadrática. Ecuaciones de segundo grado: resolución de las mismas. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces. Función polinómica. Operaciones con polinomios. Factorización de polinomios. Regla de Ruffini y Teorema del Resto. BIBLIOGRAFÍA: Los alumnos podrán consultar cualquier texto que se adapte a los temas a tratar. Se han sugerido algunos, entre los que figuran: Matemática : Kapeluz, Aique, Santillana, A.Z.,Puerto de Palos. Criterios: - Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas integradas - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las respuestas Página:

3 Ejercitación Circunferencia ) En cada caso escribir la ecuación principal y general de la circunferencia y graficar a) Centro (, ) y radio 5 b)centro (-, 0) y radio c)centro (-, - ) y pasa por el punto (0, 0) d)centro (,- ) y pasa por el punto (-, ) ) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( 7, -6) y pasa por el punto (, ) ) Escribir la ecuación principal y general de la circunferencia a) de centro ( -5, 7) y radio 6 b) de centro (, -) y radio -/9 ) Determinar la ecuación principal y general de la circunferencia de centro ( -, 5) y radio igual a 5 5) Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (, -) que pasa por el (, ) 6) Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto (, 0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: x y x 8y 0 7) Determinar el centro y el radio de las siguientes circunferencias. Graficar a) x y 6 b) x y c) 6 8 x y x y 0 d) x 8x y 6y 8 0 8) Encontrar la ecuación principal de la circunferencia x y x 0y 0 0) Hallar el centro y el radio de la circunferencia que viene dada por x y x y 0 ) Obtener el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x y x y 6 0 ) Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9x 9y x 6y 0 0. Trazar la circunferencia ) Hallar el valor de k para que la ecuación x y 8x 0y k 0, represente una circunferencia de radio 7 Parciales tomados Evaluación Circunferencia. Tema : - Dado el C(-; ), escribe su ecuación canónica y determina si la circunferencia pasa por el origen de coordenadas. Determina si la siguiente ecuación pertenece o no a una circunferencia, para ello busca su centro y radio si es que existen: 0 = x + y x y. Dado el centro de una circunferencia C (7; -). a) Hallar su ecuación canónica sabiendo que pasa por el punto (-, -) b) Determinar si el punto (; -) pertenece a ella. c) Encuentra la intercesión con la recta de ecuación y = x + Hallar la ecuación desarrollada de una circunferencia de C (-,-5) y cuyo radio es el doble de la coordenada a del centro. Página:

4 Evaluación Circunferencia. Tema : - Hallar la ecuación desarrollada de una circunferencia de C (-,-5) y cuyo radio es el doble de la coordenada a del centro. Determina si la siguiente ecuación pertenece o no a una circunferencia, para ello busca su centro y radio si es que existen: 0 = x + y x y 8. Dado el centro de una circunferencia C (-; -). a) Hallar su ecuación canónica sabiendo que pasa por el punto (, -) b) Determinar si el punto (-; 5) pertenece a ella. c) Encuentra la intercesión con la recta de ecuación y = x Dado el C(-5; ), escribe su ecuación canónica y determina si la circunferencia pasa por la intersección de los ejes. Evaluación Circunferencia. Tema : - Dado el C(; -5), escribe su ecuación canónica y determina si la circunferencia pasa por el origen de coordenadas. Determina si la siguiente ecuación pertenece o no a una circunferencia, para ello busca su centro y radio si es que existen: 0 = x + y + 7x y + 5. Dado el C(-5; ), escribe su ecuación canónica y determina si la circunferencia pasa por la intersección de los ejes. Dado el centro de una circunferencia C (7; -). a) Hallar su ecuación canónica sabiendo que pasa por el punto (-, ) b) Determinar si el punto (-6; 0) pertenece a ella. c) Encuentra la intercesión con la recta de ecuación y = x Evaluación Circunferencia. Tema : - Dado el C(-7; ), escribe su ecuación canónica y determina si la circunferencia pasa por el origen de coordenadas. Determina si la siguiente ecuación pertenece o no a una circunferencia, para ello busca su centro y radio si es que existen: 0 = 5x + 5y 5x 5y 5. Dado el centro de una circunferencia C (7; -). a) Hallar su ecuación canónica sabiendo que pasa por el punto (-, -) b) Determinar si el punto (; -) pertenece a ella. c) Encuentra la intercesión con la recta de ecuación y = x + Hallar la ecuación desarrollada de una circunferencia de C (-7,) y cuyo radio es el doble de la coordenada b del centro. Números reales ) Indicar cuales de los siguientes números es racional y cuál irracional. Justificar la respuesta: a) b) 0, c),75 d) 6 5 ) Indicar V o F. Justificar a) 69 es un número racional Página:

5 b) 5 es un número irracional c) Los números cuya expresión decimal es periódica, son irracionales d) Todo número se puede escribir como el cociente de dos números enteros e) Entre dos números irracionales siempre hay otro número irracional ) Representar los siguientes números sobre la recta numérica: a) b) c) ) Expresar mediante inecuaciones e intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R a) los valores de x mayores que - y menores que b) los valores de x mayores o iguales que,5 c) los valores de x menores que 5/ d) los valores de x que no superan a la raíz cuadrada del menor número positivo 5) Representar en la recta real cada uno de los subconjuntos de la actividad anterior. 6) Dados los intervalos A = (-, 7), B = (-, 0] y C = [0, + ), calcular: a) A B b) B C c) A C d) A B e) B C 7) Resolver las siguientes inecuaciones y dar el resultado como intervalos: a) x x c) x x 5 b) x 7 5 x 8 d) 7x 8 8) La tirada de una revista mensual tiene como costo de edición de $ 00000, a los que hay que sumar $ 5 de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a $ 5 y se obtienen unos ingresos de $ 0000 por publicidad, cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios? 9) Expresar como una única raíz a) b) c) 8 0) Extraer todos los factores posibles de las raíces: a) 98a 7. b. z = b) 675. p. m 7 = c) 5. m 7. w. r 5 = ) Efectuar las siguientes operaciones y simplificar si es posible: a) b) c) d) e) f) ) Resolver y cuando sea posible simplificar: a) ( 8 + 5). 7 = b). ( 76 7 ) = c) ( ). 7 = d) ( 8 8): 5 = e) (. 8 8): 5 = f) ( ): (. ) = ) Aplicar las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones: a) (a5. a. a ) (a ) 5. a = b) 8. r 8. s 0 = c) (b. m ) 5. m 0 (m. b. m 8 ). b 8 = d). d. t d. t 7 = Página: 5

6 5) Calcular el área y el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide: a) 7 cm. 8) Expresar mediante un solo radical a) 9) Realizar las siguientes operaciones: a) 7 8 b) 5. 5 c) 0) Racionalizar las siguientes expresiones: a) + = 5 b) 0 = 6 c) 5 b). 6 c) x. x d) ( ) = d) = e) 8 a. b. a. b 75x 5. 6 y xy. = f) = 8 ) Hallar el valor de la base de un triangulo, sin radicales en el denominador, sabiendo que la altura es 5 y su área es ) Resolver las siguientes sumas y restas: a) 8 7 b) c) ) Realizar las siguientes operaciones con radicales a) a x : a x x c) e) 5 5 x x b) 5 5y 5y 08 f) 5 5 d) 7 : ) Hallar el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es cm. Expresar el resultado con radicales. Parciales Tomados: Matemática b Profesora Fátima R. Urquieta. Tema Nombre: Fecha: Números Reales: x ) Resuelve, escribir el intervalo y representar en la recta numérica a) b) x 8 ) Resuelve de la manera más conveniente: a) b) ) Resolver y simplificar: a) ) Racionalizar: a) = = 6 + b) 8 c) Resolver las siguientes operaciones combinadas: a)( + ). = Matemática b Profesora Fátima R. Urquieta Tema Nombre: Fecha: Números Reales: x ) Resuelve, escribir el intervalo y representar en la recta numérica a) b) x 8 8 ) Resuelve de la manera más conveniente: a) b) ) Resolver y simplificar: a) 5 80 : 5 Página: 6

7 ) Racionalizar: a) 9 = b) = c) = 5- Resolver las siguientes operaciones combinadas: a) ( ). ( + ) + Matemática b Profesora Fátima R. Urquieta. Tema Nombre: Fecha: Números Reales: ) Resuelve, escribir el intervalo y representar en la recta: ( x) x a) b) 0 x ) Resuelve de la manera más conveniente a) b) ) Resolver y simplificar: a). 0 :. 0 8 b) 9 = ) Racionalizar: a) c) = 5- Resolver las siguientes operaciones combinadas: a) ( 6 ). ( 6 + ). 5 = Parcial de Matemática b Profesora Fátima R. Urquieta. Tema Nombre: Fecha: Números Reales: ( x) x ) Resuelve, escribir el intervalo y representar en la recta a) 8 b) 0 x 5 ) Resuelve de la manera más conveniente; a) b) ) Resolver y simplificar: a) 8 : ) Racionalizar: a) + = 9 b) = c) = 5- Resolver las siguientes operaciones combinada: a) ( ). ( + ) + Ecuaciones de Segundo Grado: 5 0 = 8 Página: 7

8 Cuadrática ) Determinar las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la ordenada al origen para cada una de las siguientes funciones y luego graficarlas a) y x x 8 b) y x c) y x 6x 9 d) y x x e) x 5 y f) y x x ) Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el área es 8 ) Calcular el perímetro de un rectángulo cuya área es 68, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es ) Dadas las siguientes funciones cuadráticas determinar las raíces reales, las coordenadas del vértice, la imagen, la ecuación del eje de simetría y la ordenada al origen, para luego graficarlas a) f ( x) x x 5 b) f ( x) x Página: 8

9 5) Determinar el punto mínimo de: y x 7x 6) Determinar las coordenadas de intersección con el eje X de la parábola de función y 8 x x 7) El área de un triángulo es 5 m y su altura mide 5 m menos que la base. Cuánto mide la altura? 8) La trayectoria de un proyectil está dada por la función y( t) 00t 5t segundos y la altura y(t) se mide en metros. Determinar: a) En qué momento alcanza su altura máxima, y cuál es esa altura? b) Después de cuanto tiempo vuelve a tocar el piso? c) En qué momento alcanza una altura de 0 m sobre el nivel del suelo?, donde t se mide en 9) La suma del área de un cuadrado más su perímetro es 60. Cuánto mide el lado del cuadrado? 0) Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x kx + 6 = 0 sean iguales. ) Determinar las raíces, el vértice, el eje de simetría, la imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la ordenada al origen, de las siguientes parábolas para luego graficar: a) f ( x) x x b) f ( x) x ) En una isla se introdujeron iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por la función: I ( t) t t. a) Graficar b) Calcular la cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó y hasta que número llegó. c) En qué momento la población de iguanas se extingue? Parciales Tomados Profesora: Fátima R. Urquieta Matemática to B Nombre: Tema Función Cuadrática - En la siguiente función encuentra; raíces, el vértice, ordenada al origen y eje de simetría y x 6x. Luego, Escríbela en forma canónica y factorizada. Graficar. - Dado el siguiente grafico determina: Vértice, raíces, ordenada al origen y eje de simetría. Y -X - - X -Y - Del grafico anterior toma los datos y calcula su ecuación polinómica, canónica y factorizada. - De la siguiente función calcula el discriminante y determina el tipo de raíces según su resultado. Grafícar. f(x) = x x Página: 9

10 Profesora: Fátima R. Urquieta Matemática to B Nombre: Tema Función Cuadrática - En la siguiente función encuentra; raíces, el vértice, ordenada al origen y eje de simetría y x 6x. Luego, Escríbela en forma canónica y factorizada. Graficar. - Dado el siguiente grafico determina: Vértice, raíces, ordenada al origen y eje de simetría. Y -X - - X -Y - Del grafico anterior toma los datos y calcula su ecuación polinómica, canónica y factorizada. - De la siguiente función calcula el discriminante y determina el tipo de raíces según su resultado. Grafícar. f(x) = x x Polinomios ) Multiplicar: x x. x a) x b) 5. x x x x x ) Utilizando la regla de Ruffini, hallar el cociente y el resto de estas divisiones. x x 5 x x x 7 x a) b) x x x x c) x x x x ) Indicar cuáles de estas divisiones son exactas: x 5 x x 6 x x x a) b) d) e) x x x 5 f) x x c) x x x x c) 5 6. x x x x 0 d) x 0 x ) Calcular k para que el resto de la siguiente división: 5 x x kx x 5) Hallar m para que el resto de la división: x x mx x sea sea -. 6) Sabiendo que, y - son raíces de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente principal es 5, escribir el polinomio. 7) Factorizar los siguientes polinomios: a) x x e) x x x b) 5 x 0x 80 f) x x 6 c) x x 8x g) x 5x d) x x x h) x 6 8) Aplicar la regla de Ruffini para calcular las siguientes divisiones y verificar el resto por el teorema de resto. 5x x x : x a) b) x x 6x x : x Página: 0

11 9) Calcular el valor de k para que P ( x) x x kx sea divisible por Q ( x) x. Luego efectuar la división y hallar el cociente 0) Factorizar los siguientes polinomios: a) P ( x) x 8x x b) R ( x) x x Parciales Tomados Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 7 + 7x 7 + R(x) = - x - 7x + 6x C(x) = - x + x - Dados los polinomios: a) M(x) = -x + x b)t(x) = x ) c) L(x) = x + x - x + d) K(x) = x + Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x) + T(x) - L(x) ]: T(x) b) T(x). K(x) + [.M(x) +.K(x)] c) L(x) + [.T(x) M(x)] d) M(x).T(x): T(x) 5 - Hallar a R de forma tal que la especialización de F( x) x x a x x en x sea igual al término independiente del polinomio 5 Dados : M(x) = -5x + x + b) T(x) = x. Calcular: a) M() = 0 b) T(0) = M(0) Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 5 + x 5 + R(x) = -6x - 8x - x 0 + C(x) = -x 5 + 7x - Dados los polinomios: a) M(x) = -8x + x b)t(x) = x + c) L(x) = x - x + x + d) K(x) = x + Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x)+T(x) + M(x)]:T(x) b) T(x).K(x) +[.M(x) +.K(x)] c) T(x)+ [.L(x) M(x)] d)m(x).k(x): K(x) ) Hallar a R de forma tal que la especialización de E( x) x x 5 ax sea igual a 6 cuando x es igual al coeficiente principal del polinomio 5 Dados : M(x) = -5x + x b) T(x) = x. Calcular: a) M() = 0 b) T(-) = M(-) Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 7 + 5x 7 + x R(x) = 6x - 6x + 6x C(x) = - 7x -5x - Dados los polinomios: a) M(x) = -x 5 + x b)t(x) = x + c) L(x) = -x 5 + x + 7x -- d) K(x) = x - Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x) + T(x) - L(x)] : T(x) b) T(x). K(x) + [.M(x) +.K(x)] c) L(x) + [.T(x) M(x)] d) M(x).K(x): K(x) 5 - Hallar a R de forma tal que la especialización de F( x) x x a ax x en x sea igual al término independiente del polinomio 5 Dados : M(x) = -5x + x b) T(x) = x. Calcular: a) M() = 0 b) T(0) = M(0) Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 6 + x 5 + x - R(x) = -x - 6x - x 0 + C(x) = -x 5 + 7x - Dados los polinomios: a) M(x) = -8x + x b)t(x) = x + c) L(x) = x - x + x + d) K(x) = x - Página:

12 Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x)+T(x)] M(x):T(x) b) T(x).K(x) +[.M(x) +.K(x)] c) T(x)+ [.L(x) M(x)] d)m(x).k(x): K(x) - Sabiendo que, y - son raíces de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente principal es 5, escribir el polinomio en forma polinómica y factorizada. - Factorizar:a) T(x) = x + x x 5 con x =-5, x= - y x = b) T(x) = x + x + 5 para x = - y x = c) T(x) = x 5x + 5 Dados : M(x) = -x - x 5 b) T(x) = -x x. Calcular: a) M(-) = b) T() = M() Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 7 + 7x 7 + R(x) = - x - 7x + 6x C(x) = - x + x - Dados los polinomios: a) M(x) = -8x + x b)t(x) = x - c) L(x) = x - x + x + d) K(x) = x - Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x)+T(x)] M(x):T(x) b) T(x).K(x) +[.M(x) +.K(x)] c) T(x)+ [.L(x) M(x)] d)m(x).k(x): K(x) 5 - Hallar a R de forma tal que la especialización de F( x) x x a ax x en x sea igual al término independiente del polinomio - Factorizar:a) T(x) = x + x x 5 con x =-5, x= - y x = b) T(x) = x + x + 5 para x = - y x = c) T(x) = x 5x + 5 Dados : M(x) = -5x + x b) T(x) = x. Calcular: a) M(-) = b) T(0) = M(0) Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. - Dados los polinomios: a) M(x) = -x + x b) T(x) = x c) L(x) = x + x - x + d) K(x) = x + Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x) + T(x)] - L(x) : T(x) b) T(x). K(x) + [.M(x) +.K(x)] c) L(x) + [.T(x) M(x)] d) M(x).T(x): K(x) - Sabiendo que, y - son raíces de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente principal es 5, escribir el polinomio en forma polinómica y factorizada. - Factorizar:a) T(x) = x + x x 5 con x =-5, x= - y x = b) T(x) = x + x + 5 para x = - y x = c) T(x) = x 5x + 5 Dados : M(x) = -5x + x b) T(x) = x. Calcular: a) M(-) = b) T(0) = M(0) Evaluación Polinomios: - a) Indica en los siguientes polinomios, el grado, el coeficiente principal y el término independiente. M(x) = -x 7 + 7x 7 + R(x) = - x - 7x + 6x C(x) = - x + x - Dados los polinomios: a) M(x) = -8x + x b)t(x) = x -- c) L(x) = x - x + x + d) K(x) = x - Resuelve las siguientes operaciones: a) [M(x)+T(x)] M(x):T(x) b) T(x).K(x) +[.M(x) +.K(x)] c) T(x)+ [.L(x) M(x)] d)m(x).k(x): K(x) - Factorizar:a) T(x) = x + x x 5 con x =-5, x= - y x = b) T(x) = x + x + 5 para x = - y x = c) T(x) = x 5x + Dados : M(x) = -x - x 5 b) T(x) = -x x. Calcular: a) M(-) = b) T() = M() 5 - Sabiendo que, y - son raíces de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente principal es 5, escribir el polinomio en forma polinómica y factorizada. Página:

13 Evaluación tomada en Diciembre 06 EVALUACIÓN MATEMÁTICA to B. ES Diciembre 06 - Regulares Apellido y Nombre(s): DNI: Fecha:..../.... /.... Criterios de Evaluación - Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas. - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las respuestas - Traducir situaciones problemáticas a lenguaje simbólico - Operar correctamente con radicales - Relacionar la ecuación de circunferencia con su gráfica - Aplicar Teorema de Thales para cálculo de segmentos - Aplicar función cuadrática en la resolución de problemas - Factorizar polinomios Ejercicio : a) Encuentra el valor de x y el de los lados señalados: ( P) A B 8cm + x cm M N cm X + cm C b) Encuentra el valor de x y de los segmentos dados: (0,75P) A C D Ejercicio : Dado el centro de una circunferencia C (; -). a) Hallar su ecuación canónica sabiendo que pasa por el punto (-, -) (0,50P) b) Determinar si el punto (; -) pertenece a ella. (0,50P) c) Encuentra la intercesión con la recta de ecuación y = x + (,5P) Ejercicio : Resolver, expresando el resultado sin radicales en el denominador y aplicando propiedades: a) B g c e a b d f h (0,50P) b) a) Da tos: A B C D ce= x + cm cg = x - cm df = cm fh = 6 cm : (P) c) 6. (0,50P) 5 Ejercicio : a) Hallar a R de forma tal que la especialización de F( x) x x a x x en x sea igual al término independiente del polinomio (0,50P) b) Factoriza según los divisores dados, (respeta el signo para dividir y expresa el polinomio factorizado): (P) T(x) = x x x + con x = -, x = y x = M(x) = x + x + x 6x con x = - y x = - c) Con los polinomios del inciso a realiza la siguiente operación, (Realizar la división con el método de Ruffini: * [M(x) T(x) ]. ( X ) = (0,75P) Ejercicio 5: Resuelve las siguientes inecuaciones y encuentra el conjunto solución: a). (x 5) (x + ) b) 5 0x 5 < (0,50P) x+ Página: NOTA

14 Ejercicio 6: Dada la función de segundo grado y x 6x (,5P) a) Encontrar su ecuación canónica y su ecuación factorizada. b) Usar todo lo que creas necesario (por lo menos cuatro datos) para graficar. Página: