MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

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1 MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA SABADO : 0/JULIO/011 Objetivos específicos: 1. Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria.. Determinar la variación del signo, el dominio, el rango y periodicidad de las funciones trigonométricas.. Dibujar las gráficas de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria.. Aplicar las identidades fundamentales. Metodología: Ver carta No. 1 Actividades: 1.1 (8:00-8:0) Definir las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria (Ver material de apoyo, pág. ). Observar que para cualquier número real t, se puede asociar o localizar un punto único P = (x, y) sobre la circunferencia unitaria. Para ello imagine un cordón de longitud t unidades de largo con el que se rodea la circunferencia de radio 1. Se comienza en el punto (1, 0). Si t 0, se rodea el cordón en sentido contrario a las agujas del reloj; si t < 0, se rodea en sentido de las agujas del reloj. El punto P = (x, y) es el punto en el que el cordón termina. Sea θ el ángulo en posición estándar, medido en radianes, cuyo lado terminal es el rayo que parte del origen y pasa por el punto P = (x, y). Considerando la fórmula de la longitud de arco (en una circunferencia de radio r, la longitud de arco s se escribe como s = rθ, donde θ es el ángulo central que describe el arco s, medido en radianes) se obtiene que t = θ radianes. Por lo tanto, se definen las funciones trigonométricas o funciones circulares de la siguiente manera: senθ = y, cosθ = x, tanθ = y x, cscθ = 1 y, secθ = 1 x, cotθ = x y

2 1.1.1 Ejercicio: Encuentre los valores de las funciones trigonométricas si P = ( 1, ). Observación: Dado que los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo θ están determinados por las coordenadas del punto P = (x, y) en la circunferencia unitaria que corresponde a θ, las unidades usadas para medir el ángulo θ son irrelevantes Trabajar parejas o grupos de el siguiente ejercicio: Encuentre los valores de las funciones trigonométricas si θ = 0 = 0, θ = = 90, θ = = 180, θ = = 70 y θ = = Trabajar parejas o grupos de el siguiente ejercicio: Encuentre los valores de las funciones trigonométricas si θ = = 90, θ = = 180, θ = = 70 y θ = = (8:0-8:5) Dialogando con toda la clase, determinar la variación del signo de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria. Completar la tabla siguiente Cuadrante senθ cosθ tanθ cscθ secθ cotθ I II III IV Señalar tanto en grados como en radianes los ángulos que se recorren en cada cuadrante. 1. (8:5-9:00) Dialogando con toda la clase, determinar el dominio y rango de cada una de las seis funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria. 1. (9:00-9:15) Dialogando con toda la clase, establecer la periodicidad de las funciones trigonométricas usando la circunferencia unitaria (Para las funciones seno y coseno, ver material de apoyo, pág. 7). Para la tangente, observe que si P = (x, y) es el punto sobre la circunferencia unitaria que corresponde a θ, entonces P = ( x, y) es el punto que corresponde a θ+.

3 1.5 (9:15-9:50) Dialogando con toda la y usando la circunferencia unitaria, encuentre los valores de las funciones trigonométricas si θ = = 0, θ = = 5, θ = = 0 (Ver material de apoyo, pág. 7-8). Complete la siguiente tabla: Angulo senθ cosθ tanθ cscθ secθ cotθ 1. (9:50-10:0) RECESO 1.7 (10:0-10:5) Dialogando con toda la clase, establecer la paridad de las funciones trigonométricas. Sea si P = (x, y) es el punto sobre la circunferencia unitaria que corresponde a θ. Entonces P = (x, y) es el punto que corresponde a -θ. Por lo tanto, usando la definición de las funciones trigonométricas, se obtiene: sen(θ) = senθ, cos( θ) = cosθ, tan( θ) = tanθ csc(θ) = cscθ, sec( θ) = secθ, cot( θ) = cotθ 1.8 (10:5-11:05) Trabajar parejas o grupos de los siguientes ejercicios: Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes: a) sen 15, b) cos 00, c) cos 17, d) tan ( ) y e) cos Dado cosθ = / y < θ <, encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas restantes. Dado tanθ = y senθ < 0, encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas restantes. Dado los siguientes puntos sobre la circunferencia unitaria, encuentre los valores de las funciones trigonométricas:

4 (, 1 ), (, 1 ), (, ), (, ) 1.9 (11:05-11:0) Dialogando con toda la clase, exponer las identidades básicas de la sección 1..1, páginas 8-9 del material de apoyo (11:0-1:00) Dialogando con toda la clase, visualizar las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria (circunferencia goniométrica de radio 1). Para ello, considere las siguientes construcciones y las razones trigonométricas correspondientes (las cuales dependen sólo del ángulo θ y nunca del triángulo que se considere): Los segmentos mostrados representan las funciones trigonométricas. Ahora, usando esta construcción, mentalmente mueva el punto P(x, y) y determine el signo y rango de las funciones trigonométricas. Asignar la Tarea ex-aula: Elaboración de 7 carteles mostrando la construcción de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente) usando la circunferencia unitaria y trasladando segmentos con lana. Dado un punto P(x, y) sobre la circunferencia, la abscisa será el arco de circunferencia desde el punto (1, 0): se coloca un pedazo de lana sobre la circunferencia desde el punto (1, 0) al punto P(x, y), se estira este arco y se coloca sobre el eje de las abscisas a partir del origen. En el extremo final de este

5 segmento, se van colocando perpendicularmente los segmentos que representan las funciones trigonométricas tal como se ha mostrado en la actividad Hay que tomar la mayor cantidad de puntos posible. Hay que hacer 7 carteles: uno para la circunferencia unitaria y un cartel para cada una de las funciones trigonométricas. Tarea. 1. Completar las siguientes tablas con los valores exactos Angulo θ 0 senθ 5 cosθ tanθ cscθ secθ cotθ Angulo θ senθ cosθ tanθ cscθ secθ

6 cotθ. Usando las representaciones de las funciones trigonométricas de la actividad 1.10, determinar la variación de las funciones trigonométricas (si es creciente o decreciente en el intervalo dado) y completar la siguiente tabla: Variación senθ cosθ tanθ cscθ secθ cotθ (0, ) (, ) (, ) (, ). Encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas de θ que faltan: a) senθ = 1 y θ en el segundo cuadrante. 1 b) cosθ = y θ en el cuarto cuadrante. 5 c) senθ = 5 y θ en el tercer cuadrante. 1 d) cosθ = y θ en el tercer cuadrante. 5 e) cscθ = y tanθ > 0. f) tanθ = 1/ y senθ > 0.. Use el hecho de que las funciones trigonométricas son periódicas para encontrar el valor exacto de: a) csc 50, b) sec 50, c) cos 9, d) tan (19) y e) sen90 5. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo: cscα cotα = 1 sec α sec α = tan α + tan α

7 1 + 1 = secα (asenα cosα) + a (cos α sen α) = a Recursos. Material del curso Carta didáctica