Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT0) er Semestre de 0 Semana : Lunes 8 Viernes de Marzo Complemento Contenidos Clase : Cuantificadores, Producto cartesiano y Cardinalidad. Clase : Trigonometría: Identidades Fundamentales. Clase. Aprendizajes esperados Reconocer la simbología de cuantificadores y realizar negaciones de proposiciones con cuantificadores. Reconocer el concepto de par ordenado y sus propiedades fundamentales. Interpretar gráficamente el producto cartesiano de conjuntos y sus propiedades básicas.. Cuantificadores Definición. (Función proposicional: recuerdo). Sea U el conjunto universo en un contexto dado. Una función proposicional p es una expresión descrita en función de algún parámetro x que satisface lo siguiente: Cada vez que x se reemplaza por un elemento de U, p(x) se transforma en una proposición. Ejemplo.. Sea U = {Los seres humanos}. p (x) = x es jugador de fútbol es una función proposicional. Note que p (Marcelo salas) es una proposición verdadera pero p (Nicolás Massu) es una proposición falsa. Ejemplo.. Sea U = R y sea p (x) = x 5. Note que p (6) es verdadera y p ( ) es falsa. Observación.. Buscar otros ejemplos que ilustren el concepto. Observación.. Generalmente se usa p(x) de dos formas distintas:. Para referirnos a la función proposicional misma y mostrar que x es la variable que reemplazamos por cadenas de símbolos para obtener proposiciones lógicas.. Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposición que se forma al haber hecho el reemplazo en la función proposicional. Es necesario cuantificar los elementos que hacen verdadera o falsa una función proposicional.. Cuantificador universal: Para todo elemento en U la proposición p(x) es verídica. Se escribe x U, p(x). Otra notación ( x U)p(x). El símbolo es llamado Cuantificador universal. MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento)

2 . Cuantificador existencial: Existe un elemento x U para la cual la afirmación p(x) es verídica. Se escribe x U, p(x). Otra notación ( x U)p(x). El símbolo es llamado Cuantificador existencial. Si un elemento x U es el único que hace verídica la proposición p(x) entonces se utiliza el símbolo! en vez de. Observación.. Estas funciones pueden depender de dos o más variables, por ejemplo x A y B, p(x, y). Más aún, la función proposicional p(x, y) puede ser simple p(x, y) x+y = o compuestas p(x, y) x x+y 5. Recordemos que p(x) denota la negación de la proposición lógica. Negación de cuantificadores ( x U), p(x) ( x U), p(x). ( x U), p(x) ( x U), p(x). (!x U), p(x) [( x U), p(x)] [( x, y U), p(x) p(y)] Observación.4. Se sugiere describir en palabras las anteriores negaciones, es decir, que les haga sentido a los alumnos lo anterior o que ellos lo deduzcan antes de dar la expresión matemática. Ejercicio.. Para las siguientes definiciones obtenga su negación. Un conjunto A R se dice acotado si: ( M R + )( x A)( x M). Una función f : R R se dice continua en x 0 si: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x R)( x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ). Ejercicio.. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) : x 0 0 q(x) : x < 40. Determine explícitamente los conjuntos A = {x R / p(x) q(x) es Verdadero } B = {x R / p(x) q(x) es Falso }. Encuentre A B. Ejercicio.. Sea A = {,, }. Encontrar el valor de verdad de y negar la proposición. ( x A) ( y A) (x + y A x y ) Observación.5. Es muy importante la comprensión del concepto de par ordenado y su representación geométrica para el manejo posterior de gráficos y geometría analítica. MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento)

3 . Producto Cartesiano Observe que los conjuntos {a, b} y {b, a} son iguales ya que ambos contienen los mismos elementos. Para poder distinguir el orden de los elementos, introducimos el producto cartesiano. Definición.. Sean A, B U. Se define el producto cartesiano, denotado por A B, de A y B como el conjunto: A B = {(x, y) / x A y B} Observación.6. Observar (demostrar o ver contra ejemplos) que A B B A A (B C) (A B) C Observación.7. Introducir R = R R y representar en un diagrama conjuntos simples como {,, } {a, b}. Ejercicio.4. Representar gráficamente el subconjunto de R que es solución del sistema de inecuaciones x + y x + y x y x y y relacionarlo con x + y..4 Cardinalidad Sea A U. Se denotará por A como el número de elementos del conjunto A. A será finito si el conjunto tiene un número finito de elementos; en cambio A será infinito si el conjunto tiene infinitos elementos. Proposición.. Sean A, B U tales que A, B <. Entonces se cumple: Si A B, entonces A B A c = U A. A B = A + B A B. Si A y B son disjuntos A B = A + B A B = A B A B = A A B Ejercicio.5. Se realizó una encuesta a 60 Sansanos de primer año respecto a la lectura de libros de ciencias: Matemática (M), Física (F ) y Química (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M, 70 leen F, 7 leen Q, 0 leen M y F, 09 leen F o Q, 06 leen M o Q, 05 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer, sino porque no tienen interés). Determine:. Número de Sansanos que leen los libros.. Número de Sansanos que lee solo libro.. Número de Sansanos que leen libros de Matemática o Física, pero no ambas. 4. Número de Sansanos que leen libros de Física y Química. MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento)

4 Clase. Aprendizajes esperados Identifica las razones trigonométricas con los diferentes cocientes entre los lados de un tríangulo rectángulo. Calcula valores de las razones trigonométricas en ángulos básicos. Reconoce, manipula y demuestra identidades trigométricas básicas. Resuelve problemas de planteo utilizando razones trigonométricas.. Trigonometría Observación.. Es importante notar que la introducción de los conceptos de Trigonometría a partir del triángulo permite una mejor manipulación algebraica. Considere el triángulo rectángulo de la siguiente figura: c β B a A α b C Se define: Nombre Definición Nombre Definición Seno sen α = cateto opuesto hipotenusa = a c Cosecante csc α = hipotenusa cateto opuesto = c a Coseno cos α = cateto adyacente hipotenusa = b c Secante sec α = hipotenusa cateto adyacente = c b Tangente tan α = cateto opuesto cateto adyacente = a b Cotangente cot α = cateto adyacente cateto opuesto = b a Observación.. Hacer notar que las razones trigonométricas solo dependen del ángulo α considerado (a causa de semejanza de triángulos) Construyendo un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo isóceles se pueden determinar algunos valores para el seno, coseno y tangente (y las demás) de algunos ángulos. MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento) 4

5 De donde obtenemos Seno 0 Coseno 0 Tangente 0 Ejemplo.. Muestre que ( ) + cot 60 + cos 0 cot 60 = cos 0 Ejemplo.. Si tan α = 5 entonces el valor de cos α + sin α es. Identidades Fundamentales en el triángulo A partir de las definiciones se tiene que: ) sin α csc α = ) cos α sec α = ) tan α cot α = A partir de las definiciones en el triángulo 4) sin α = a c = cos β sin α = cos(90 α) 5)cos α = sin(90 α) En virtud del Teorema de Pitágoras (a + b = c ), se tiene: 6) sin α + cos α = 7) tan α + = sec α 8) cot α + = csc α.4 Suma y resta de ángulos Para la suma de ángulos, consideremos la figura MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento) 5

6 C E B O β α D A De la Figura se tiene: cos(α + β) = OD Por otro lado AO OC = AO OB OB OC = cos α cos β DA OC = CE OC = CE CB CB OC = sin α sin β Entonces OC = AO OC DA OC cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β Puesto que sin α = cos(90 α), considerando el ente α se tiene sin( α) = cos(90 + α) = sin α. De la misma manera, así cos( α) = sin(90 + α) = cos α sin (α + β) = cos (90 (α + β)) = cos ((90 α) + ( β)) = cos (90 α) cos ( β) sin (90 α) sin ( β) = sin α cos β cos α ( sin β) = sin α cos β + cos α sin β de manera similar se pueden obtener cos(α β) = cos (α + ( β)) = cos α cos β + sin α sin β y en resumen: sin(α β) = sin (α + ( β)) = sin α cos β sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento) 6

7 Sumando las dos primeras obtenemos hacemos un cambio de variables entonces se sigue cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β (α + β = x) (α β = y) α = x + y β = x y cos x + cos y = cos cos de manera similar es posible obtener cos x cos y = sin sin sin x + sin y = sin cos sin x sin y = cos sin estas son llamadas fórmulas de prostaféresis..5 Ejercicios Propuestos. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas en α = 75.. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ángulo de elevación de la parte superior de un edificio es de 0. Avanza 00 m hacia el edificio y el ángulo de elevación es el doble que el primero. Calcule la altura del edificio.. Una montaña inaccesible CD se observa desde el piso en A bajo ángulo α. Una base AB se elige en el terreno perpendicularmente a la horizontal AC y midiendo l metros: En B la montaña se observa bajo ángulo β. Muestre que la altura de la montaña es h = l tan α tan β tan α tan β 4. Un canal de regadío de largo 00 m (ver Figura) tiene una sección transversal como se muestra en la figura; en donde los parámetros C, L > 0 y 0 θ 90. Encuentre el volumen de agua que puede tener el canal en función de sus parámetros y del ángulo θ. L θ C MAT0 Primer Semestre 0 (Complemento) 7