INSTITUTO SALESIANO NUESTRA SEÑORA DE LUJAN 2008 TRIGONOMETRÍA

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1 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 TRIGONOMETRÍ Vamos a estudiar ahora, una parte de la matemática que se ocupa de las relaciones que eisten entre los lados de un triángulo rectángulo. Recordemos que un triángulo rectángulo es aquél que posee un ángulo recto (90 ). demás debemos saber que los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres en particular: a los lados del ángulo recto se le llaman catetos al lado restante se le llama hipotenusa. hipotenusa cateto cateto hora recordaremos dos propiedades importantes de los triángulos rectángulos:. La suma de todos los ángulos interiores de un triángulo (cualquier triángulo) siempre es igual a 80. b c a En símbolos, esta propiedad se escribe así: a + b + c 80 En particular, para los triángulos rectángulos, la suma de los dos ángulos no rectos siempre es igual a 90 (son complementarios) NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 49

2 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008. Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo siempre es igual a la hipotenusa. En símbolos, el teorema de Pitágoras se escribe así: +, luego + Si consideramos los tres lados de un triángulo rectángulo, veremos que entre ellos se pueden determinar seis razones diferentes a saber:. Relación seno (sen) cateto opuesto seno, luego sen a, sen b hipotenusa. Relación coseno (cos) cateto adacente coseno, luego cos a, cos b hipotenusa 3. Relación tangente (tan) cateto opuesto tangente, luego tan a, tan b cateto adacente 4. Relación cotangente (cotan) cateto adacente cotangente, luego cotan a, cotan b cateto opuesto NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 50

3 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN Relación secante (sec) hipotenusa secante, luego sec a, sec b cateto adacente. Relación cosecante (cosec) hipotenusa cosecante, luego cosec a, cosec b cateto opuesto partir de estas relaciones, podemos establecer las siguientes: cosecante, secante, cotangente seno coseno tangente En principio vamos a utilizar estas relaciones en un tipo de ejercicios que recibe el nombre de completar triángulos rectángulos. Podemos decir que un triángulo está completo cuando conocemos todos sus valores, es decir, conocemos las medidas de todos sus lados de todos sus ángulos. El ejercicio consiste en un triángulo al que le faltan algunos datos nuestro trabajo es obtener los datos faltantes. Veamos un ejemplo: b Completar el siguiente triángulo rectángulo. Los datos que tenemos son los siguientes: o Lado : 3 cm o ngulo b: 30 a Debemos, ahora completar los datos que faltan: lado, hipotenusa el ángulo a. NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 5

4 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 Obtención del ángulo a: Sabemos que a + b 90, luego a 90 - b Obtención del lado : Debemos buscar una relación trigonométrica que relacione el lado que buscamos con el lado que conocemos (). tan b, tan 30, 3 cm tan 30 3 cm 0,577 3 cm,7 cm Obtención de la hipotenusa : Conociendo los lados podemos obtener la hipotenusa aplicando el Teorema de Pitágoras. + ( 3 cm) + (,7 cm) 9 cm +,89 cm,89 cm 3,4 cm NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 5

5 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 Teorema del Seno: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OLICUÁNGULOS Supongamos que tenemos el siguiente triángulo oblicuángulo: c b C a En el mismo se cumple la siguiente relación, conocida como el Teorema del Seno: sen a sen b C sen c Teorema del Coseno: Tomando como referencia el triángulo anterior, veremos que en el mismo se cumple la siguiente relación conocida como el Teorema del Coseno: C + C + C + - C cos a - - C cos b cos c Ejemplo: Dado el triángulo cuos datos son los siguientes: Lado C 3 m Ángulo b 4 Ángulo a 83 Calcular los valores del ángulo c de los lados. Solución: Como sabemos que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo es igual a 80, podemos obtener el valor del ángulo c de la siguiente manera: c 80 - ( + ) 80 - ( ) 55 NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 53

6 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 conocido el valor de c podemos aplicar el Teorema del seno para el cálculo de los lados. sen a C sen c C sen c 3 m sen a sen 83 7,33 m sen 55 sen b C sen c C sen c 3 m sen b sen 4 5,4 m sen 55 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS Se llama FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS a aquellas que se presenta de la siguiente manera: f : R R / sen f : R R / cos f : R R / tan ( ) ( ) ( ),,, R R R Para comprender mejor el comportamiento de estas funciones vamos a investigar un esquema llamado la CIRCUNFERENCI TRIGONOMÉTRIC. La característica que la diferencia del resto de las circunferencias es que su radio vale (una unidad). Si en esta circunferencia indicamos un ángulo cualquiera del primer cuadrante,, veremos que se forma allí un triángulo rectángulo. NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 54

7 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 En esta circunferencia podemos ahora definir las funciones trigonométricas de la siguiente manera: sen, luego sen Es decir, los valores que toma la función sen en la circunferencia trigonométrica, están dados directamente por la medida del cateto opuesto al ángulo. cos, luego cos Es decir, los valores que toma la función cos en la circunferencia trigonométrica, están dados directamente por la medida del cateto adacente al ángulo. De la definición de tangente podemos obtener una conocida relación trigonométrica: sen tan, luego tan cos Si aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo formado por el ángulo, obtendremos una epresión mu importante: +, luego sen + cos que es conocida como la Relación Fundamental de la Trigonometría NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 55

8 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 sen + cos La misma se puede leer así: La suma de los cuadrados del seno del coseno de cualquier ángulo siempre es igual a uno. partir de esta relación se pueden deducir las siguientes: sen ± - cos, cos ± - sen Signos de las funciones trigonométricas: sen partir de la circunferencia trigonométrica de la relación tan, vista cos anteriormente, se pueden deducir qué signos van a tener las principales funciones trigonométricas a medida que el ángulo va cambiando de cuadrante. Si observamos los siguientes esquemas: CUDRNTE I seno + coseno + tangente + CUDRNTE II seno + coseno - tangente - NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 5

9 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 CUDRNTE III seno - coseno - tangente + CUDRNTE IV seno - coseno + tangente - Representación gráfica de las funciones trigonométricas Vamos a ver cómo son las gráficas de las funciones trigonométricas principales. Seno coseno. Gráfica de la función seno Vamos a imaginar que la circunferencia trigonométrica es la rueda de una bicicleta que curiosamente solo tiene un rao. Este rao, a medida que va girando va describiendo un ángulo, que forma un triángulo rectángulo cuos catetos van variando su longitud a medida que dicho ángulo cambia de cuadrante. NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 57

10 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 Si consideramos la medida del cateto, correspondiente al valor del seno del ángulo, veremos que su medida describe la siguiente curva a medida que el ángulo toma los valores entre 0 : De esta curva podemos observar las siguientes características: o El valor más alto que puede tener el seno de un ángulo es. o El valor más bajo que puede tener el seno de un ángulo es. o Para todo ángulo (entre 0 ) eiste un valor (entre ) para el seno del mismo. o Qué sucede con los valores del seno de los ángulos congruentes? Gráfica de la función coseno NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 58

11 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 Si consideramos la medida del cateto, correspondiente al valor del coseno del ángulo, veremos que su medida describe la siguiente curva a medida que el ángulo toma los valores entre 0 : De esta curva podemos observar las siguientes características: o El valor más alto que puede tener el coseno de un ángulo es. o El valor más bajo que puede tener el coseno de un ángulo es. o Para todo ángulo (entre 0 ) eiste un valor (entre ) para el coseno del mismo. o Qué sucede con los valores del coseno de los ángulos congruentes? Gráfica de la función Tangente NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 59

12 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 En la circunferencia trigonométrica, la medida del segmento de tazo grueso corresponde al valor de la tangente del ángulo. La gráfica correspondiente a la función tangente, es l que sigue: título informativo, presentamos también las gráficas de las funciones: cotan sec NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 0

13 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos cosec GRÁFICS DE TRNSFORMCIONES DEL SENO Y COSENO Para poder trabajar en las transformaciones de las gráficas de las funciones seno coseno, debemos aclarar algunos conceptos: Período de las funciones seno coseno Las funciones seno coseno tienen una particularidad; sus valores se repiten cada radianes, por ejemplo: sen sen sen sen sen 3 cos cos 4 cos cos cos De esta manera diremos que las funciones seno coseno son periódicas su período es. mplitud Se llama mplitud, a la distancia vertical que eiste entre el eje el punto más alto o el punto más bajo de la curva.

14 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 mplitud ngulo de fase Se llama Ángulo de fase, a aquél desde donde comienza a dibujarse la curva. ngulo de fase hora veremos cómo podemos modificar la gráfica de la función seno. Los mismos procedimientos se aplican a la función coseno. Gráfica del tipo sen + k, donde k es un número real. l sumar un número real k al valor de la función original, estamos desplazando la curva verticalmente. NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos

15 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 sen sen + sen - Gráfica del tipo sen, donde es un número real. l multiplicar la función original por un número real, estamos modificando la amplitud de la curva. 3sen sen sen Gráfica del tipo sen (), donde es un número real. l multiplicar el argumento de la función original por un número real, estamos modificando el período de la función. Para calcular el nuevo período se debe utilizar la siguiente epresión: Período NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 3

16 INSTITUTO SLESINO NUESTR SEÑOR DE LUJN 008 sen () sen () sen (4) Gráfica del tipo sen( + b), donde b es un número real. l sumarle al argumento de la función original, un número real b, estamos modificando el ángulo de fase de la misma. sen () sen ( + ) NLISIS MTEMÁTICO Prof: Patricio Triñanes arrientos 4