Trigonometría Cálculo I

Transcripción

1 Trigonometría Cálculo I Estimado estudiante, para que se te haga más fácil la aplicación de trigonometría en Cálculo I, es necesario que revises y repases los siguientes conceptos: Ángulos de Referencia Se define al ángulo de referencia como el menor ángulo positivo entre el lado final de y el eje x. Para determinar el ángulo de referencia si [, ] 0 se procede de la siguiente forma: si II ( fig. b) c si III ( fig. c) c si IV ( fig. d) c r r r 5 Así, por ejemplo si rad. Entonces el número de referencia es r Ángulos notables Se conocen como ángulos notables aquellos que se usan con mucha frecuencia y sus medidas en radianes son: 0,

2 Son ángulos notables también, todos lo ángulos en el II, III, y IV cuadrante cuyo ángulo de referencia es alguno de los notables ya mencionados. 5 5 Así por ejemplo es notable porque su ángulo de referencia es, de igual modo porque su ángulo de referencia es, etcétera. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS El círculo trigonométrico o unitario es el que tiene centro en el origen y radio. Su ecuación es x +y, en él se definen a las funciones trigonométricas. A Tal como se muestra en la figura, si se parte del punto A(,0) desplazándose sobre el círculo hasta un punto P(x,y), para cualquier valor ϑ, en radianes, se define a la función trigonométrica seno de ϑ, que se escribe sen ϑ, como la ordenada de P, es decir sen ϑ y. La función trigonométrica eno de ϑ, que se escribe ϑ, como la abscisa de P, es decir ϑ x. Para cualquier arco que se recorra en el círculo trigonométrico va a existir un punto P definido por un par de números reales, por consiguiente el dominio de las funciones sen ϑ y ϑ es el conjunto de los números reales. Identidad Fundamental: para cualquier ϑ se verifica en el círculo que x +y, pero x ϑ ysen ϑ, entonces ϑ +sen ϑ Gráfica de las Funciones seno y eno Función seno. Las características que tiene la función seno son consecuencia de su definición, por lo tanto:.-el rango de la función ysen ϑ es el intervalo [, ], pues como puede observarse en la figura la ordenada más grande que puede obtener un punto P que pertenece al círculo trigonométrico es, y la más pequeña es.

3 P (x,y ) A(,0) P (x,y ).- El seno es un número positivo, si P es un punto en el I y II cuadrante y negativo si P está en el III y IV cuadrante..- Al desplazarse en el círculo trigonométrico se encuentra que existen ángulos diferentes definidos por el mismo radio OP, por ejemplo ϑ está definido por el punto P(0,), pero los ángulos 5 9,,... que son todos diferentes quedan definidos por el mismo punto P(0,), por lo tanto todos ellos 5 9 tienen seno igual a, es decir: sen sen sen Esta característica en la que para cada cierto intervalo de números reales la función toma el mismo valor se conoce como periodicidad. La función seno es periódica porque ( ϑ) sen( ϑ + ) sen, El período de la función seno es.- La función seno es una función impar, pues ϑ y, sen (- ϑ) y, es decir sen (- ϑ) - senϑ sen. Esto significa que la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas. Ahora bien, para graficar la función seno en un sistema de coordenadas cartesianas, el arco ( AP ) recorrido se representa en el eje x, y en el eje y, los valores ysen ϑ correspondientes, es decir la ordenada del punto P que define al arco AP. Es necesario comprender que si el ángulo ( ϑ ) está en radianes, el arco AP y el ángulo ( ϑ ) tiene el mismo valor real, es decir AP ϑ medido en radianes, (siendo ϑ el ángulo positivo medido desde el eje x positivo hasta el radio OP, siendo O el origen del sistema de coordenadas)

4 Función: ysenx Gráfica: senoide o sinusoide. Dominio: x R Rango: y [-,] Período: Es impar: sen (- x) - senx Función eno. Con base en la definición de la función eno, como la abscisa del punto sobre el círculo trigonométrico que define al ángulo ϑ, se obtienen las siguientes características:.-el rango de la función eno es el intervalo [, ] punto P que pertenece al círculo trigonométrico es, y la más pequeña es., la abscisa más grande que puede obtener un.- El eno es un número positivo, si P es un punto en el I y IV cuadrante y negativo si P está en el II y III cuadrante..- Al desplazarse en el círculo trigonométrico se encuentra que existen ángulos diferentes definidos por el mismo radio OP, por ejemplo ϑ está definido por el punto P(0,), pero los ángulos 5 9,,... que son todos diferentes quedan definidos por el mismo punto P(0,), por lo tanto todos ellos 5 9 tienen eno igual a 0, es decir: 0 ϑ ϑ + el período de la función eno es La función eno es periódica porque ( ) ( )

5 .- La función eno es una función par, pues ϑ x, (- ϑ) x, es decir (- ϑ) ϑ. Esto significa que la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y. Ahora bien, para graficar la función eno en un sistema de coordenadas cartesianas, el arco ( AP ) recorrido se representa en el eje x, y en el eje y, los valores x ϑ correspondientes, es decir la abscisa del punto P que define al arco AP x Función: yx Gráfica: enoide o inusoide. Dominio: x R Rango: y [-,] Período: Es par: (- x) x

6 P 5 P Funciones Trigonométricas de los Ángulos Notables P P P P P 7 El punto P que corresponde a ϑ 0 tienen coordenadas P (,0). ϑ El punto P que corresponde a ϑ El punto P que corresponde a ϑ El punto P que corresponde a ϑ El punto P5 que corresponde a P, tiene coordenadas. P, tiene coordenadas. P, tiene coordenadas. ( ) tiene coordenadas P 5 0,. El punto P que corresponde a ϑ tiene coordenadas P (-,0). ϑ El punto P7 que corresponde a tiene coordenadas ( 0, ) P 7. Entonces según la definición de las funciones trigonométricas se deduce lo siguiente: ϑ 0 sen( ϑ ) ( ϑ ) 0-0 Ahora bien, llegado este punto es evidente la importancia del ángulo de referencia, pues permite calcular cualquier función trigonométrica del ángulo ϑ, si se conoce la función del ϑ r

7 P(-x,y) P (x,y) ϑ P (x,y) ϑ r ϑ ϑ r ) ϑ r ϑ r ( ϑ ) ϑ r ) ϑ r P (x,y) P(-x,-y) P(x,-y) (Estimado alumno, como aplicación de estos conceptos se te recomienda que realices los ejercicios del al ) Algunas identidades trigonométricas Identidad de la suma y diferencia de ángulos ( ) + sen sen ( + ) sen sen Observa que el eno de la suma (o diferencia) de dos ángulos, no es igual a la suma (o diferencia) de los enos de cada ángulo. Justifica esta afirmación con base en la definición de eno y analizando la siguiente figura A B o o Q P sen sen ( + ) sen + sen ( ) sen sen

8 tg ( + ) tg + tg tgtg tg ( ) tg tg + tgtg Identidades del ángulo doble sen sen sen tg tg tg Identidades del ángulo medio sen ± ± + tg ± +.- Si se sabe que P es un punto en el círculo trigonométrico. En las siguientes figuras determinar los valores de a, b y P, para cada valor de indicado: ) b y P a 0.5 b a x P

9 ) y b P a x a b P ) b 0.5 y P a x a b P

10 .- Si el punto P, sobre el círculo trigonométrico, define el ángulo central y positivo, 5 5 represente en el círculo los ángulos que se indican y escriba la abscisa y la ordenada del punto que lo define a) b) - c) + d) e) + f) a) x y b) x y c) x y d) x y e) x y f) x y

11 .-Completar la siguiente tabla, si se sabe que P es el punto sobre el círculo trigonométrico que define al ángulo que se encuentra en la posición normal. rad x y P(x,y) rad x y P(x,y)

12 .- Completar la siguiente tabla rad sen tg ctg sec csc b.- Indique el signo del sen si b.) 0< < b.) < <7 b.)- < < 5

13 5.-Usando la tabla anterior grafique en papel milimetrado las funciones trigonométricas.-calcular basándose en las gráficas realizadas. a. si 0,. h. tg si,. b. tg si [, ]. c. sen si,. d. tg si [ 0, ]. e. si,. f. sen si,. g. si,0. i. tg si,. j. si [, ]. 5 7 k. sen si,. l. si [, ]. 5 m. tg si,. 5 n. tg si,. 7.-Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones tg + sec 5 csc sen ( ) ( ) + 7 tg sen + tg sen 8.-Usando las identidades fundamentales y los datos que se indican en cada caso, calcular es valor de las siguientes expresiones: a.- ( 5 ) sen tg ( ) +.[ ctg ] b.- Si y ctg > 0; sen y < 7 5 tg + sen csc si 5 ( ) <, csc < 0; tg, sec > 0

14 9.-Usando las identidades de suma de ángulos, ángulo doble y ángulo medio, calcular a. tg si IVC b. sen,, si tg IC c. tg ( + ) si tg y tg 7 9 d. tg si IVC e. tg( ), sen( + ), sen( + ), si sen( ) y, En este caso, cómo puede usar el círculo trigonométrico para calcular el valor de las funciones pedidas?. 0.- Transforma las siguientes expresiones usando las identidades de ángulo doble: a. tg(x) b. sen(8x) c. (x) d. ctg(x/).-transforma las siguientes expresiones usando las identidades de ángulo medio a. tgx b. sen(x) c. (5x) d. ctg(x/8) e..- Usando las identidades de suma de ángulos, ángulo doble y ángulo medio, simplifique las siguientes expresiones a. sen + x + sen x Resp.: Cosx b. (x) + (x) Resp.: sen x c. sen(x) + (x) + (x) Resp.: tgx d. x x tg + ctg Resp.: cscx

15 .- Calcular a en la figura siguiente, siendo a>0 8 ϑ ϑ a Resp.: a 5