ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3

Transcripción

1 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular inferior. (Primer parcial, febrero 2000) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal. (Examen final, junio 2002) 3. Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de su diagonal principal. Sean A, B, C M n n (K) (C regular), demostrar: (a) tr(a + B) =tra+trb (b) tr(αa) = αtra. (c) tr(ab) =tr(ba) (d) tr(c 1 AC) =tr(a) 4. Sea A una matriz columna de orden n 1 tal que A t A = 1 y B = Id n 2AA t. Demostrar que: a) B es simétrica b) B 1 = B t (Primer parcial, enero 2008) 5. Sea A la matriz cuadrada de tamaño n n (n 2) cuyos elementos son { a si i = j a ij = b si i j Hallar a y b para que se verifique la relación A 2 = I, siendo I la matriz identidad n n. (Examen final, junio 1998) 6. Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales. Sea k un número par. Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par.

2 7. Calcular la potencia n-ésima de la matriz: A = (Examen extraordinario, diciembre 2005) 8. Decidir si la familia de matrices hemisimétricas regulares de M n n (K) verifica alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. 9. Dadas A, B M n n (IR), con A simétrica y B hemisimétrica, razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) AB es hemisimétrica. (b) A + B es simétrica. (c) (A B)(A + B) es simétrica. (Examen final, 2011) 10. (a) Describir todas las matrices singulares reales simétricas 2 2, cuya traza es nula. (b) Describir todas las matrices singulares reales hemisimétricas 2 2, cuya traza es nula. 11. Sea n > 2 y A M n n (IR), una matriz inversible. Sea adj(a) su matriz adjunta. Probar que: (a) det(adj(a)) = det(a) n 1. (b) adj(adj(a)) = det(a) n 2 A. (Primer parcial, enero 2010) 12. Calcular en función de x el siguiente determinante: det Para qué valores reales de x se anula?. (Examen final, 2011) 1 x x 2 1 x x x x 1 1 x x 2

3 13. Hallar el siguiente determinante para n 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 + y 3 x 1 + y n x 2 + y 1 x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y 1 x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y 1 x n + y 2 x n + y 3 x n + y n (Primer parcial, febrero 2003) 14. Calcular el siguiente determimante: 0 x 1 x 2... x n x x x n Para qué valores reales de x 1, x 2,..., x n se anula?. (Examen final, 2011) 15. Dado n N, sea J n M n n (R) una matriz cuadrada con todos los elementos iguales a 1; sea I n M n n (R) la matriz identidad de orden n. Definimos: A n = aj n + bi n, con a, b R. (a) Calcular traza(a n ). (b) Calcular para que valores de a, b se anula det(a 4 ). (c) Calcular det(a n ). (Examen final, junio 2010) 16. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Si A M n n (IR) entonces. A simétrica A antisimétrica. A simétrica A k simétrica, para cualquier k N. A simétrica A no es antisimétrica. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial, febrero 2008)

4 (b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso. Su determinante queda multiplicado por 1. Su determinante queda invariante. Su determinante queda multiplicado por ( 1) n. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. (Examen final, junio 2000) (c) Sea A M n n (IR). A 2 = Ω A = Ω. A 2 singular A singular. A 2 simétrica A simétrica. A 2 triangular inferior A triangular inferior. (Primer parcial, febrero 1999) (d) Sean A y B matrices reales invertibles n n. Indicar la proposición falsa. Si A y B conmutan entonces A 1 y B conmutan. Si A y B conmutan entonces A 1 y B 1 conmutan. La matriz (A 1 B) t siempre tiene inversa. la matriz (A 1 + B) t siempre tiene inversa. (Primer parcial, enero 2005)

5 ÁLGEBRA LINEAL I Problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. (Primer parcial, febrero 2000) II. Calcular las potencias n-ésimas de las siguientes matrices: A = , B = ( ), C = 0 a b, D = c 0 0 a2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2. III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares, (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (3) las matrices ortogonales. IV. Calcular razonadamente el siguiente determinante: (Examen extraordinario, septiembre 2006) V. (a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos son a ij = máx {i, j}, i, j {1,..., n} Calcular el determinante de A. (b) Lo mismo siendo a ij = i j.

6 VI. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n A = n + 1 n n 1 2n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. (Examen final, septiembre 2005) VII. Dados x R, x 0 y la matriz x x A =, 1 x 0 x 1 x x 0 calcular det(a 3 ) y det(a 1 ). (Examen final, septiembre 2010) VIII. Dado a R y para cada n entero positivo definimos las matrices A n M n n (R): 3 a a... a a a 3 a... a a A n = a a 3... a a a a a... 3 a a a a... a 3 (a) Calcular en función de a, det(a 4 ). (b) Calcular en función de a y n, det(a n ). (Examen final, diciembre 2008)

7 IX. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sean A, B dos matrices cuadradas reales de dimensión 2 2 tales que A B = Ω. Entonces: A = Ω ó B = Ω. rango(a) < 2. rango(a) + rango(b) < 3. A = B = Ω. (Primer parcial, enero 2006) (b) Sea la matriz real de dimensión n n: Su determinante es: ( 1) ( 1) n ( 1) n(n 1) 2 ( 1) n(n+1) 2 (Primer parcial, enero 2005) A = (c) Dada una matriz A M n n que cumple A 2 + βa + αi = Ω si β = 0, A es siempre regular. si α = 0, A es siempre singular. si α 0, A puede ser singular. si β 0, A puede ser singular. (Primer parcial, febrero 2001)