Curso de Perfeccionamento Docente. Sucesiones

Transcripción

1 Curso de Perfeccionamento Docente Sucesiones Iris Flores Q. Febrero 2015

2 Resumen En este curso veremos una idea intuitiva, la definición formal de sucesión y su fórmula general, si la tuviera. Estudiaremos la fórmula de recurrencia de una sucesión, en particular una, conocida como la sucesión de Fibonacci, la cual describe ciertos fenómenos de crecimiento que se producen en la naturaleza. Además, revisaremos dos sucesiones importantes conocidas como la progresión aritmética y la progresión geométrica, las cuales tienen aplicaciones en la matemática financiera.

3 Introducción En la naturaleza se manifiesta la presencia de las matemáticas, tanto o más de lo que se pueda imaginar. Las formas, las proporciones, los crecimientos o decrecimientos, siguen un orden matemático; es decir un patrón numérico. Las sucesiones numéricas son un ejemplo de objetos matemáticos que describen esta presencia. Así se tiene, entre otros ejemplos que pueden ser descritos por sucesiones, las temperaturas medias en una determinada localidad en los distintos meses del año, los intereses que se generan al depositar una cierta cantidad de dinero en una entidad bancaria, la altura alcanzada por una pelota en cada rebote sucesivo después de ser lanzada a partir de cierta altura, en el crecimiento de algunas plantas las hojas nacen y se ubican en espacios preestablecidos según los números de Fibonacci. Por otro lado, observando la importancia de las sucesiones en el que hacer humano, y que su estudio está presente en los programas curriculares de la Educación Básica Regular (EBR) del sistema educativo peruano; se ha considerado su estudio en este curso.

4 El desarrollo del curso se llevará a cabo a través de actividades en las que se presentará situaciones donde se puedan identificar ideas, conceptos, procedimientos que permitan iniciar el estudio del objeto matemático sucesión, logrando mostrar como emerge, este objeto matemático, de situaciones reales y cotidianas. Luego se formalizarán estos conceptos dando la definición de una sucesión, su fórmula general, si la tuviera y, las fórmulas de recurrencia. Además estudiaremos dos sucesiones importantes conocidas como la progresión aritmética y la progresión geométrica que forman parte del programa curricular de la EBR.

5 Objetivos Son objetivos del curso: 1. Mostrar, como en diversos contextos de la actividad humana, surge la necesidad de estudiar a las sucesiones como un objeto matemático que describe y da solución a problemas en estos contextos. 2. Estudiar a las sucesiones como funciones reales con dominio en el conjunto de los números naturales y no solo como una lista de números. 3. Evidenciar que una progresión aritmética es una función lineal afín, cuyo dominio son los números naturales y que una sucesión geométrica es una función exponencial cuyo dominio son los números naturales. 4. Deducir la fórmula del término general y de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética y geométrica, y demostrar sus propiedades haciendo uso del principio de inducción matemática.

6 Sucesiones Ejemplo 1 En la actualidad, una ciudad tiene una población de habitantes. a) Si la población crece a razón de 3 % anual, cuántos habitantes habrá en la ciudad después de un año, dos años, tres años, y 4 años? b) Si la población decrece a razón de 1 % anual, cuántos habitantes habrá en la ciudad después de un año, dos años, tres años, y 4 años? c) Determine una expresión matemática (fórmula) que permita obtener la cantidad de habitantes transcurridos n años, tanto para la parte a) y b). d) Qué condiciones debe tener la variable n para que las expresiones matemáticas obtenidas en la parte c) reflejen el contexto del ejemplo.

7 Solución. Observe que el crecimiento y decrecimiento de la población de la ciudad puede ser expresada por las listas ordenadas A 1, A 2, A n y B 1, B 2, B n

8 Qué entendemos por una sucesión numérica? Intuitivamente una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números, cada uno de ellos se denomina término (también elemento o miembro) de la sucesión.

9 Definición Una sucesión numérica es una función, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales o un subconjunto de él y el conjunto de llegada es R, es decir a : S N R n a (n) Se acostumbra escribir a n en vez de a(n) para designar a cada término o elemento de una sucesión. Y la sucesión se denota por (a n).

10 Ejemplo 2 La sucesión (a n) definida por cuyos diez primeros elementos son: a : N R n a n = 3 n

11 Podemos representar gráficamente la sucesión

12 Ejemplo 3 La sucesión (b n) definida por es llamada sucesión constante. b : N R n b n = 3 n

13 Descripción de una sucesión Ejemplo 4 Encuentre los seis primeros términos de la sucesión definida por: a 1 = 2, a 2 = 6, a n = a n 1 + 6a n 2, n 3.

14 Ejemplo 5 (Sucesión de Fibonacci) Consideremos el siguiente problema, propuesto originalmente por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci en el siglo XIII en su libro Liber abaci. Una pareja de conejos recién nacidos (uno de cada sexo) se sueltan en una isla. Los conejos no pueden tener descendencia hasta que cumplan dos meses. Una vez que cumplan dos meses, cada pareja de conejos tiene como descendencia otra pareja de conejos cada mes. Defina recursivamente el número de parejas de conejos que habrá en la isla una vez transcurridos n meses, suponiendo que ningún conejo muere.

15 Solución. Si consideramos a n : Se define número de parejas de conejos que viven en la isla al cabo de n meses. a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n 1 + a n 2, n 3.

16 Ejemplo 6 La sucesión de los números primos puede escribirse como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,..., a n,... donde a n es el n-ésimo número primo. No se conoce una expresión matemática que define a n. Observación 1 Mientras no se conozca el n-ésimo término de la sucesión, no se puede determinar, de manera única, el término sucesivo de una lista dada.

17 Ejemplo 7 Encuentre una sucesión que tenga los mismos elementos que la sucesión (a n), donde a n = 1, pero de manera que no sean iguales. n

18 Ejemplo 8 En una transitada vía, entre los kilómetros 23 y 107 donde hay estaciones de servicio, se quiere intercalar seis más igualmente espaciadas en el recorrido. Indique la lista que muestre los kilómetros donde deben ir las seis nuevas estaciones de servicio.

19 Solución. Consideremos d la distancia en kilómetros entre cada estación, es decir 23 }{{} d }{{} d }{{} d }{{} d }{{} d }{{} d d d d d d entonces d = 107 d = = 12 7 Luego, la lista que indica los kilómetros donde deben ir las seis nuevas estaciones de servicio es: 35, 47, 59, 71, 83, 95. Observación 2 La solución de la situación anterior involucra una sucesión donde cada término, excepto el primero, se obtiene al sumar 12 al término anterior. Esta es un tipo especial de sucesión llamada progresión aritmética.

20 Ejemplo 9 Determine el término a 2 de una progresión aritmética, si se sabe que a 1 + a 2 + a 3 = 36. Observación 3 Una progresión aritmética es la restricción de una función lineal afín f(x) = dx + a a los números naturales. Por ejemplo, la progresión aritmética 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107,... se puede asociar con la función lineal afín f (x) = x, x N.

21 Gráficamente tenemos

22 Sea una progresión aritmética de razón d. a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n Teorema 6.1 El n-ésimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es a 1 y con razón dada d está determinado por a n = a 1 + (n 1) d.

23 Ejemplo 10 En una progresión aritmética la suma de los tres primeros términos es 24 y la suma de sus cuadrados es 242. Determine los números de la sucesión.

24 Ejemplo 11 Determine el término de lugar 99 en la progresión aritmética (x + 1), 2x, 8.

25 Teorema 6.2 Si a 1, a 2, a 3,..., a n es una progresión aritmética con razón dada d, y S n = a 1 + a 2 + a a n entonces S n = n 2 (a1 + an) = n [2a1 + (n 1) d]. 2

26 Ejemplo 12 Determine la suma de los enteros positivos pares mayores que 10 y menores que 100.

27 Ejemplo 13 Encuentre la razón de aquella progresión aritmética cuya suma de sus n primeros términos viene dada por S n = 2n 2 + 3n.

28 Ejemplo 14 Una ciudad tiene una población de habitantes. Si se espera que la población se incremente en 10 % cada cinco años, cuál será la población al cabo de 30 años? Solución. En la actualidad la población es de a 1 = habitantes. Dentro de cinco años la población será de: a 2 = (100000) = (100000) = 1,1(100000) habitantes Dentro de diez años la población será de: a 3 = 1,1(100000) [1,1(100000)] = [1,1(100000)] = (1,1)2 (100000) habitante Dentro de quince años la población será de: a 4 = (1,1) 2 (100000)+ 10 [ (1,1) 2 (100000) ] = 110 [ (1,1) 2 (100000) ] = (1,1) 3 (100000) Dentro de veinte años la población será de: a 5 = (1,1) 3 (100000)+ 10 [ (1,1) 3 (100000) ] = 110 [ (1,1) 3 (100000) ] = (1,1) 4 (100000)

29 Progresión geométrica Observe que la población esperada al final de cada periodo sucesivo de cinco años, describe la siguiente sucesión , 1,1(100000), (1,1) 2 (100000), (1,1) 3 (100000), (1,1) 4 (100000), (1,1) 5 (100000), donde cada término, excepto el primero, se obtiene de multiplicar el término anterior por 1.1. Esta es otro tipo especial de sucesión llamada progresión geométrica.

30 Ejemplo 15 Descomponer el número 65 en tres sumandos que formen una progresión geométrica y tales que el producto del primero por el tercero sea 225. Ejemplo 16 Para que valor de x los números 5, 9, (3x 1) forman una progresión geométrica, en ese orden.

31 Observación 4 Una progresión geométrica es la restricción de una función exponencial f(x) = a r x a los números naturales. Por ejemplo, la progresión geométrica , , , , , , se puede asociar con la función exponencial f(x) = (1,1) x, x N.

32 Gráficamente tenemos

33 Ejemplo 17 Sea a 1, a 2, a 3, a n una progresión geométrica de razón r. Teorema 7.1 El n-ésimo término de la progresión geométrica cuyo primer término es a 1 y de razón r está determinado por a n = a 1 r n 1. Ejemplo 18 Halle el término que ocupa la posición once en la progresión geométrica 3, 6, 12,....

34 Teorema 7.2 Si a 1, a 2, a 3,, a n es una progresión geométrica con razón dada r, y S n = a 1 + a 2 + a a n, entonces y S n = a1 (1 rn ), si r 1 1 r S n = a1 ran, si r 1 1 r Ejemplo 19 Halle la razón de una progresión geométrica, si se sabe que la suma de los 6 primeros términos igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos.