Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

Transcripción

1 Ecuacione diferenciale con aplicacione de modelado Problema de valor inicial A menudo uno e interea por reolver una ecuación diferencial ujeta a condicione precrita, que on la condicione que e imponen a y(x) o a u derivada. n d y ( n 1) En algún intervalo I que contenga a x 0, el problema de reolver = f n ( x, y, y,..., y ) dx n 1 ujeta a y ( x0) = y 0, y ( x0) = y 1,..., y ( x0) = y n 1; en donde y 0, y 1,...,y n 1 on contante reale, e llama problema de valor inicial. Lo valore dado de la función deconocida, y(x), y de u primera n 1 derivada en un n 1 olo punto x 0 : y ( x0) = y 0, y ( x0) = y 1,..., y ( x0) = y n 1 e llaman condicione iniciale y al problema anterior e lo denomina problema de valor inicial de enéimo orden. Lo problema: dy reolver: = f ( x,y) dx () 1 ujeta a: y( x0) = y0 y d y = f ( x,y,y ) ( ) ( ) reolver: dx ujeta a: y x = y ; y x = y Se denominan problema de valor inicial de primero y egundo orden, repectivamente. Eto problema on fácile de interpretar geométricamente. Para la ecuacione (1) e etá bucando una olución de la ecuación diferencial en el intervalo I que contenga a x 0, tal que una curva de olución pae por el punto (x 0, y 0 ) Fig. 1 Para la ecuacione (), e deea determinar una olución de la ecuación diferencial cuya gráfica no ólo pae por (x 0, y 0 ), ino que también la pendiente de la curva en ee punto ea y 1. ( ) y olucione de la ecuación diferencial y o y 1 o I (x 0, y 0 ) x I (x 0, y 0 ) x Figura 1 Figura El término condición inicial procede de lo itema fíico en lo que la variable independiente e el tiempo t y donde y(t 0 ) = y 0 e y (t 0 ) = y 1 repreentan, repectivamente, la poición y la velocidad en cierto momento inicial t 0. Edición: Abril de 005 Página 1 de 6

2 La ecuacione diferenciale como modelo matemático Con frecuencia e deea decribir el comportamiento de algún itema o fenómeno de la vida real en término matemático. Dicho itema puede er fíico, ociológico o hata económico. La decripción matemática de un itema o fenómeno e llama modelo matemático y e forma con cierto objetivo en mente: i. Mediante la identificación de la variable cauante del cambio del itema. Se podrá elegir no incorporar toda la variable en el modelo. En ete pao e epecifica el nivel de reolución del modelo. ii. Se etablece un conjunto de hipótei razonable acerca del itema que e trata de decribir. Ea hipótei también incluyen toda la leye empírica aplicable al itema. Dado que la hipótei acerca de un itema implican con frecuencia la razón o taa de cambio (derivada) de una o má variable, el enunciado matemático de ea hipótei e una o má ecuacione donde intervienen derivada. En otra palabra el modelo matemático e una ecuación o itema de ecuacione diferenciale. Una vez formulado el modelo matemático, e llega al problema de reolverlo. Una vez reuelto e comprueba que el modelo ea razonable i u olución e conitente con lo dato experimentale o lo hecho conocido acerca del comportamiento del itema. Si la prediccione que e baan en la olución on deficiente, e puede aumentar el nivel de reolución del modelo o elaborar hipótei alternativa obre lo mecanimo del cambio del itema; entonce e repiten lo pao del proceo de modelado (Fig. 3) Al aumentar la reolución e aumenta la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que e deba conformar con una olución aproximada. Problema real Hipótei Fíica Modelo Fíico Hipótei Matemática Modelo Matemático Si e neceario modificar la hipótei y/o aumentar la reolución del modelo R e o l v e r Comprobar la prediccione del modelo con hecho reale Obtener Solucione Figura 3 Con frecuencia, el modelo matemático de un itema fíico inducirá la variable t, el tiempo. En ete cao una olución del modelo exprea el etado del itema; en otra palabra, para valore adecuado de t, lo valore de la o la variable dependiente decriben el itema en el paado, preente o futuro. A continuación e verán ejemplo de itema dinámico; e decir, itema que cambian o evolucionan al pao del tiempo. Edición: Abril de 005 Página de 6

3 Como el etudio de lo itema dinámico e una rama de la matemática de moda en la actualidad, e intentará utilizar la terminología de ea rama en alguna aplicacione. En término má precio, un itema dinámico conite en un conjunto de variable dependiente del tiempo que e llaman variable de etado y una regla que permite determinar (in ambigüedade) el etado del itema (que puede er paado, preente o futuro) en término de un etado epecífico en cierto momento t 0. Lo itema e claifican como itema dicreto o continuo en el tiempo. Sólo e decribirán alguno itema continuo en el tiempo, que on aquello en que toda la variable etán definida dentro de un intervalo continuo de tiempo. El etado del itema en el momento t e el valor de la variable de etado en ee intante. El etado del itema epecificado en el intante t, e tan ólo el conjunto de condicione iniciale que acompañan al modelo matemático. La olución de un problema de valor inicial e llama repueta del itema. Por último, cabe aclarar que no todo lo itema on dinámico; también, hay itema etático en lo que lo modelo e repreentan mediante ecuacione diferenciale. Aplicacione 1) Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton del enfriamiento, la rapidez (ó taa de cambio ó, implemente, derivada) con que e enfría un objeto e proporcional a la diferencia de temperatura entre la del cuerpo y la del medio que lo rodea, que e la temperatura ambiente. Si T(t) repreenta la temperatura del objeto en el momento t, T m e la temperatura (contante) del medio que lo rodea y dt e la rapidez con que e enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento e traduce en el iguiente enunciado matemático: dt = k( T Tm ) en donde k e una contante de proporcionalidad. Como e upone que el objeto e enfría, e debe cumplir que T > Tm; en conecuencia, lo lógico e que k ea menor que cero. Si la temperatura del objeto e T 0, en el momento t 0 ; entonce, el modelo puede ecribire de la iguiente forma: dt = k T T t = T ( ) 0 0 ( T ) m ( 3) ) Segunda ley de Newton del movimiento Para etablecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un campo de fuerza, con frecuencia e comienza con la egunda ley de Newton. Edición: Abril de 005 Página 3 de 6

4 Recordando, de Fíica, que la primera ley de Newton etablece que i obre un cuerpo no actúan fuerza externa, éte e quedará en repoo ó e continuará moviendo con velocidad contante. La egunda ley de Newton etablece que la aceleración de un cuerpo e directamente proporcional a la fuerza neta o reultante que actúa obre él e inveramente proporcional a u maa. En forma de ecuación podemo enunciar la egunda ley de Newton como: F = ma (véae Nota al final del documento) Ahora, e aplicará la egunda ley de Newton para modelar el movimiento vertical de un objeto. Supóngae que e arroja una piedra hacia arriba dede la terraza de un edificio. Cuál e u poición en el momento t? Para armar el modelo, e introducen, primero, la iguiente hipótei fíica: i. Se upone que el problema e unidimenional; de eta manera e precinde de trabajar vectorialmente. ii. Se conidera a la piedra como una partícula de maa contante m. iii. No exite otra fuerza externa má que el propio peo actuando obre la piedra (e deprecia la reitencia del aire) iv. La aceleración de la gravedad, g, e contante. Como e ve en la Fig. 4, e conidera que la poición repecto al uelo etá dada por (t) El origen del eje e ubicó en la tierra y el entido poitivo hacia arriba (eto e eligió por conveniencia) La altura del edificio e 0 y la velocidad inicial (la derivada de la poición repecto al tiempo) e v 0. d La aceleración de la piedra e la derivada egunda de la poición, e decir,. 0.. P 0 Figura 4 Figura 5 Edición: Abril de 005 Página 4 de 6

5 Si e aíla la piedra un intante depué de haber ido arrojada y e dibujan la fuerza que actúan obre ella (eto e llama diagrama de cuerpo libre), e ve que la única fuerza externa actuante e el peo P (Fig. 5) Al aplicar la egunda ley de Newton, e tiene: P = ma El igno negativo de P e debe a que el eje e ecogió poitivo hacia arriba, mientra que P apunta hacia abajo. También, e abe que P = mg, por lo tanto reemplazando, e tiene: mg = ma g = a d g = E decir, la poición de la piedra queda determinada mediante el iguiente problema de valor inicial de egundo orden: d = g 0 = 0 t = v ( t ) ( ) 0 0 Aunque aún no e ha vito como reolver ecuacione de egundo orden, e fácil dare cuenta que integrando do vece la contante g con repecto al tiempo, puede reolvere la ecuación diferencial. La condicione iniciale determinarán la do contante de integración. 3) Crecimiento demográfico Uno de lo primero intento en modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thoma Malthu, economita inglé, en En eencia, la idea del modelo Malthuiano e la hipótei de que la taa de crecimiento de la población de un paí crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ee paí en cualquier momento t. En otra palabra, mientra má perona haya en el momento t, habrá má en el futuro. En término matemático eta hipótei puede expreare como: dp = kp ( 4) P( t0) = P0 donde k e una contante de proporcionalidad. A pear de que ete encillo modelo no tiene en cuenta mucho factore (por ejemplo inmigración y emigración) que pueden influir en la poblacione humana, haciéndola crecer o diminuir, predijo con mucha exactitud la población de Etado Unido dede 1790 hata Eta ecuación diferencial aún e utiliza para modelar poblacione de bacteria y animale pequeño en intervalo de tiempo corto. Edición: Abril de 005 Página 5 de 6

6 Finalmente, como puede obervare, la ecuacione (3) y (4) tiene la mima forma, in embargo modelan diferente itema. E decir, una ecuación diferencial irve para modelar mucho fenómeno ditinto Bibliografía Ecuacione diferenciale con aplicacione de modelado (6 ta edición) Denni Zill. International Thomon Editore. Nota: La egunda ley de Newton puede enunciare riguroamente como igue: La derivada de la cantidad de movimiento de una partícula (ó derivada del momento lineal) con repecto al tiempo e igual a la fuerza que actúa obre la partícula. Cabe aclarar que la cantidad de movimiento de una partícula e define como p = mv (maa x dr dv d r velocidad) y que v = y a = = e definen como la derivada y la derivada egunda del vector poición repecto al tiempo, repectivamente. En conecuencia, egún el enunciado de la egunda ley, e tiene: dp d( mv) dm dv = F = F v + m = F dm dv Si la maa de la partícula e contante, = 0 y en conecuencia, m = F F = ma, que e la forma má común de enunciar matemáticamente la egunda ley de Newton. Edición: Abril de 005 Página 6 de 6