Tema 8 : La descripción de los movimientos: Cinemática 1

Transcripción

1 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 1 1 El vector de poición de un cuerpo con repecto a un punto de referencia viene dado por: Deterina u coordenada polare. r i + 5 j r x + y ,8 y 5 5 tgθ θ arctg 59º ' 10,5" x La coordenada polare de poición de un cuerpo con repecto a un punto de referencia on: r 10 θ 0. Deterina el vector de poición del cuerpo con repecto a dicho punto. x r co θ 10 co 0º 10 5 r x i + y j 5 i + 5 j 1 y renθ 10 5 Do cuerpo A y B e ueven en la dirección X egún la ecuacione xa 8t y xb 1,5t. aa) ) Repreenta en una ia gráfica la poicione de A y de B dede t 0 hata t 5. bb) ) Quién llega ante a lo 100? cc) ) Al cabo de cuánto tiepo e encuentran lo do en la ia poición? dd) ) Quién alcanza ante lo 00? ee) ) Qué diferencia encuentra entre el oviiento de A y el de B? aa) ) bb) ) 100 8t t 100/8 1,5 el A y 100 1,5t 100 t 8,16 tarda el 1.5 B que llega el priero. cc) ) Igualao x A x B, entonce: 8t 1,5t ; 1,5t 8t 0 t(1,5t 8) 0, luego t 0 (coinciden a la alida) y 8 ) t 5, 1,5 dd) ) x A 00 8t, luego Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

2 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 00 t 7,5 tarada el A en recorrer lo x B 00 1,5t 00 t tarda el B en llegar a lo 00. 1,5 ee) ) x A e una ecuación de prier grado y proporcional a t luego u repreentación e una recta, in ebargo la x B e de º grado, luego u repreentación e una parábola que crece á rápidaente, en la priera la velocidad ería contante v A 8 / y en la egunda depende del tiepo egún v B t de fora lineal. 4 Podría er ayor el deplazaiento que el epacio recorrido? Coo el deplazaiento e el vector que une la poición inicial y la final, ea ditancia erá una línea recta y la línea recta e la ditancia á corta entre do poicione, iepre el deplazaiento erá enor o igual que el epacio recorrido. 5 Pueden er equivalente el epacio recorrido y el deplazaiento? En qué cao? Deplazaiento: e el vector que une la poición inicial y la final Epacio recorrido: e la ditancia edida obre la trayectoria entre la poición final y la inicial. Solo erán equivalente i la trayectoria e una línea recta. Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

3 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 6 Cree que un cuerpo podría haber recorrido un epacio i el deplazaiento e cero? (Revia ahora tu repueta a la cuetión previa núero 4 del principio de la unidad.) Se puede recorrer una trayectoria cerrada en que el punto inicial y el final coinciden con lo cual el deplazaiento ería nulo pero el epacio recorrido no. 7 Lee con atención la iguiente definicione y exprea ateáticaente la cuatro agnitude teniendo en cuenta lo que e acaba de explicar. aa) ) Aceleración e la rapidez con que cabia la velocidad. bb) ) Fuerza e la rapidez conque cabia el oento lineal p de un cuerpo. cc) ) Potencia (P) e la rapidez con que e realiza un trabajo (W). dd) ) Velocidad de una reacción e la rapidez con que cabia la concentración de un reactivo (c). v d v aa) ) a. p d p bb) ) F. W dw cc) ) P. c dc dd) ) v. 8 Entre 1960 y 1980, la población de cierto paí creció en habitante. Cuál fue la rapidez de creciiento de la población? En qué unidade la exprearía? Variación `población habi tan te Creciient o Tiepo 0 año 9 Un cuerpo e deplaza en una recta egún la ecuación: r 5t i + t j Cuál ha ido u velocidad en lo cinco priero egundo? habi tan te 4100,4 año Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

4 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 4 r r (5) r (0) (5 5 i + 5 j ) v 5 i + j y u ódulo v Qué clae de oviiento realiza un cuerpo que e ueve con velocidad contante? Cóo cree que ería la repreentación gráfica de la velocidad frente al tiepo? Si la velocidad e contante, en ódulo dirección y entido, el oviiento e rectilíneo y unifore. La repreentación grafica de la velocidad frente al tiepo ería una línea recta horizontal. 11 Un cuerpo e ueve egún la ecuación de poición: r 5 i + (t 1) j aa) ) Qué deplazaiento ha realizado en lo diez priero egundo? En qué dirección e ueve? bb) ) Calcula cuál ha ido u velocidad en dicho intervalo de tiepo. aa) ) r r (t 10) r (t 0) [5 i + ( 10 1) j (5 i j )] 00 j Se ueve egún el entido poitivo del eje vertical. Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

5 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 5 bb) ) r 00 j v 0 j Un cuerpo parte del repoo y, depué de recorrer alguno etro, vuelve al punto de partida. Cuál de la iguiente gráfica correponde a la decripción de ete oviiento? La priera, la tercera no puede er pue el tiepo no puede volver hacia atrá y en la egunda hay un intervalo de tiepo en que e etá parado ante de regrear al punto de partida. 1 Repite el procediiento eguido en el ejeplo anterior eligiendo coo intervalo de tiepo 0, A qué valor exacto cree que tiende la erie? Ée e el valor de la velocidad intantánea. x f x(t+) (,000001) 4(,000001) 4, x 0 x(t) 4 4 x 4, v 8 tiende a 8 / que e el valor de la velocidad intantánea. 0, Un cuerpo e ueve en una dirección deterinada egún la iguiente ecuación de poición: r (4t t) i + t j Calcula: aa) ) Su velocidad edia en lo diez priero egundo. bb) ) Su velocidad intantánea en t 5 y en t 10. aa) ) r (10) ( ) i + 10 j r r (10) r (0) 990 i + 00 j luego u velocidad edia ería: r (0) 0 Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

6 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 6 bb) ) d r v u ódulo: d r 990 i + 00 j v 99 i + 0 j v ,1 v (5) (1 5 1) i j 99 i + 0 j (4t t) i + t j (1t 1) i + 6t j v (10) (1 10 1) i j 1199 i + 60 j v(5) ,5 v(10) ,5 15 Exite algún oviiento en el que la velocidad edia y la intantánea ean iguale en todo oento? Si fuera aí, di cuál. En un oviiento rectilíneo de la fora r kt + r0 ya que: r r (t f ) r (t0 ) kt f + r0 kt0 r0 k(t f t ) 0 d r d(kt + r0 ) v k v k t f t0 t f t0 t f t0 16 Un cuerpo e ueve egún la ecuación r (t + 5t) i + t j 5t k. Ecribe la ecuación de u velocidad intantánea en función del tiepo; depué exprea dicha velocidad en t y halla u valor en dicho intante. d r v (t) v () (4 + 5) i + d (t + 5t) i + t j 5t k (4t + 5) i + t j 5 k 1 i + 1 j 5 k v() 1 j 5 k ( 5) 18,4 17 La gráfica uetran la variación de la velocidad de tre cuerpo ditinto en el io intervalo de tiepo. aa) ) En cuál de lo tre cao varía la velocidad á rápidaente? bb) ) Qué ocurre en el cao del cuerpo de la egunda figura. cc) ) Qué cree que repreenta la pendiente de la recta en cada cao? Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

7 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 7 aa) ) La variación e á rápida en la gráfica que tiene ayor pendiente ya que la pendiente indica la variación de la variable dependiente (v) con la independiente (t): v pendiente aceleración La priera auenta, en el tiepo t, 6 unidade de velocidad, la egunda, en ee io tiepo, auenta unidade de velocidad y la tercera antiene u velocidad contante, luego e el óvil cuyo oviiento e decribe en la priera gráfica el que varía á rápidaente u velocidad. bb) ) En el egundo cao el óvil tiene una velocidad inicial (velocidad cuando e epieza a contar el tiepo), de 1 unidad y auenta u velocidad hata unidade (u aceleración edia e de unidade) en ee intervalo de tiepo, el oviiento e uniforeente acelerado. cc) ) Coo ya heo indicado la pendiente repreenta la variación de la velocidad con el tiepo, e decir la aceleración. 18 Deterina por el procediiento del ejercicio 1 la aceleración intantánea en el tiepo t cuando la velocidad de un cuerpo varía egún la expreión: v t + t /. aa) ) Se diferencia ee valor de la aceleración edia durante lo tre priero egundo? Por qué? bb) ) Qué dependencia del tiepo debería otrar la ecuación para que abo valore fueen iguale? Intervalo de tiepo 0, Velocidad en t v(t) + / 1 /. Velocidad en t +, v(t + ), , / 1,00001 / Velocidad edia en ee intervalo de tiepo pequeño: aa) ) 1, v v(t + ) v(t) a 1 0, v() v(0) 1 a (t ) 7. Sí hay diferencia pue el intervalo de tiepo en que e ide la aceleración edia ( ) no e uficienteente pequeño, e decir calculao la edia de la velocidad en ientra que al principio e prácticaente la aceleración en un intante dado ya que el intervalo teporal e de una illonéia de egundo. bb) ) Para que lo valore edio e intantáneo de la aceleración fueen iguale la velocidad debería er contante v k / o tener una variación lineal del tipo v(t) Kt + v 0 : v v v v v(t + ) v(t) k k 0 v(t + ) v(t) (K(t + ) + v0 (K t v 0 ) K K Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

8 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 8 En el prier cao la aceleración e nula y en el egundo contante. En realidad el prier cao e un cao particular del egundo cuando K Deterina la aceleración intantánea y la aceleración en t de un cuerpo, i u ecuación de poición (en una dirección) e: x t+ t dx d dv d x d d d a (t) (t + t ) ( + 6t) 6, en donde heo derivado do vece la ecuación de la poición. a() 6 / ya que la aceleración no depende del tiepo (e contante). 0 La poición de un cuerpo viene deterinada por la ecuación: r t i + t j + 4t k aa) ) Deterina la coponente de u aceleración. E eta contante? bb) ) Calcula el valor de la aceleración a lo. aa) ) d v a(t) d r d d r d d t i + t j + 4t k d 6t i + 6t j + 4 k 6 i + 1t a x 6 Luego la coponente de la aceleración on: a y 1t. La aceleración no e contante ya que az 0 depende del tiepo a travé de u coponente a y 1t /, que depende del tiepo. bb) ) a () 6 i + 1 j 6 i + 4 j a() ( 6) ,74 j 1 Dibuja lo vectore t a, y c a, (i abo actúan) epecificando u dirección y entido en lo iguiente oviiento (la poicione e uponen fotografiada y a intervalo de tiepo iguale): Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

9 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 9 Coo no hay curvatura, el prier oviiento no tiene la coponente centrípeta de la aceleración. Razona la veracidad o faledad de la concluione que e exponen de la iguiente propoición: i un objeto e ueve con valor de velocidad contante a lo largo de una trayectoria curvilínea, entonce: aa) ) Su velocidad e contante; bb) ) Su aceleración e nula; cc) ) Hay una contradicción anifieta, pue no e copatible overe con valor de velocidad contante con el hecho de que la trayectoria ea curvilínea. aa) ) Coo la trayectoria e curvilínea el ódulo de la velocidad e contante, la dirección y el entido del vector velocidad no, ya que cabian en cada punto de la trayectoria, luego u velocidad no e contante. bb) ) Al variar la dirección y entido de la velocidad, la aceleración (que e la variación de la velocidad con el tiepo) no puede er nula. cc) ) Sí hay una contradicción anifieta a eno que entendao ( coo uele hacere) que e el ódulo del vector velocidad el que peranece contante. CUESTIONES Y PROBLEMAS la poición de lo cuerpo 1 Qué tipo de coordenada e uan para definir la poición de un cuerpo? En el plano: Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

10 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 10 (1) La coordenada carteiana del plano: do eje perpendiculare (vertical o de ordenada y horizontal o de abcia) que e cortan en un punto O (origen). Cada punto viene definido por do coordenada x (ditancia del punto al eje vertical) e y (ditancia del punto al eje horizontal). () Coordenada polare: Do eje perpendiculare y un origen O, cada punto del plano viene definido por la ditancia del punto al origen r y el ángulo que fora con la horizontal θ r x + y y α arctg x En el epacio (1) Coordenada carteiana del epacio: Tre eje perpendicular que coinciden en un punto O (origen) y tre coordenada (x, y, z). () Coordenada eférica: Lo io tre eje pero ahora cada punto de localiza por una ditancia r y do ángulo, α (que fora el vector de poición del punto con u proyección obre el plano inferior) y β ( que fora la citada proyección con alguno de lo eje que foran el plano inferior. r x + y + z z α arctg x + y y β arctg x Explica cóo tranforaría la coordenada polare en carteiana, y vicevera. En el prier dibujo del ejercicio anterior podeo ver la relacione: x r coα r x + y De polare (r, α) a carteiana (x, y): y vicevera: y renα y α arctg x Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

11 Tea 8 : La decripción de lo oviiento: Cineática 11 Qué diferencia hay entre deplazaiento y epacio recorrido? Deplazaiento: e el vector que une la poición inicial y la final Epacio recorrido: e la ditancia edida obre la trayectoria entre la poición final y la inicial. Solo erán equivalente i la trayectoria e una línea recta. 4 Se puede deterinar la trayectoria que ha eguido un cuerpo conociendo la poición inicial y la final al cabo de cierto tiepo? Entre do punto (uno inicial y otro final) hay infinita trayectoria, luego no puede abere la trayectoria. 5 Un cuerpo decribe un cuarto de circunferencia de radio 5 dede A hacia B, coo e aprecia en la figura, partiendo del punto A en el intante t 0. Deterina, coniderando el origen en el centro: aa) ) El vector deplazaiento correpondiente al oviiento. bb) ) El ódulo de dicho deplazaiento. cc) ) El epacio recorrido. Coincide con el apartado bb) )? Por qué? dd) ) Repite lo tre apartado anteriore para el cao del oviiento dede A hata C. a) El vector deplazaiento e el vector en A y extreo en B. b) w w 5 i + 5 j con origen c) El epacio recorrido e un cuarto de circunferencia, el arco d: 1 1 d πr π 5 7, 85 4 Ete epacio no coincide con el apartado b) ya que al er una circunferencia la cuerda (deplazaiento) no coincide con el arco (epacio recorrido). d) Ahora el vector deplazaiento e -10 i, el deplazaiento on 10 ( el diáetro) y el epacio recorrido e edia circunferencia π R π 5 15,71 Fíica y Quíica 1º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN