rad T 2 s La separación máxima se alcanzará cuando x = A, luego:

Transcripción

1 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio La ecuación del oviiento de un ocilador arónico e x 6 en πt expreado en unidade internacionale. Calcular el período, la frecuencia y la aplitud.. Coo la ecuación de la elongación etá expreada en función del eno, upongo que, al contrario del libro, la proyección e realiza obre el eje vertical y no obre el eje horizontal. Coparando la ecuación general con la dada en ete ejercicio: x Aen( ωt A 6 π rad rad ω π, coo ω π f 0,5 Hz x 6enπt Qué velocidad llevará el ocilador del problea anterior cuando t 0,5? Si u aa e de 0,5 kg, cuál erá entonce u energía cinética? t 00,, ,,55 kkgg.. La velocidad e la derivada de la elongación: v(t) dx dt d dt (6en t) 6 co t i t π π π π v(0,5) 6πco 4 6π 3 π 3,33 Ec v 0,5 3,33,J 3 El ocilador del cao anterior, en qué intante alcanzará la eparación áxia por priera vez? La eparación áxia e alcanzará cuando x A, luego: π 6 6enπt enπt πt arcen t abién podeo razonar: la eparación áxia e alcanza en la cuarta parte del período (una ocilación 4A), luego t /4 /4 ½. 4 Un ocilador de kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una aplitud de 3 y coienza u oviiento en la poición de equilibrio. Cuál e u áxia energía? fíica

2 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio kgg.. ff 40 Hzz.. A 3.. ϕϕ 0 rraad.. E ω A (πf) A (π 40) π J , J 5 La gráfica de un.v.a.. e la de la figura. Con lo dato que de ella e puedan obtener, ecribir la ecuación de dicho oviiento. Suponiendo una proyección obre el eje vertical. Coo para t 0, x 0, enϕ 0 y ϕ 0 rad. A 4 La ecuación e: x (t) 4ent () 6 Repreentar gráficaente el oviiento arónico x 8 en (3-t) en uno eje x-t. 7 Un uelle e etira c cuando e cuelga de él un peo de 300 g. Calcular la contante de elaticidad del uelle y la frecuencia con que ocilaría i e eparae de u poición de equilibrio. fíica

3 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 3 xx cc 0,, gg 0,,33 kkgg.. La fuerza que equilibra al peo e la fuerza recuperadora, que viene dada por la ley de Hooke : g 0,3 9,8 N F P g kx k 47 x 0,0 0,3 k π π 0,84 f 3,5Hz k 47 π 0,84 8 Se tiene un uelle de K 300 N/ con un cuerpo de 0, kg en u poición de equilibrio. Se le counica una velocidad hacia arriba de /. Con qué aplitud ocilará? kk 3300 N//.. 0,, kkgg.. vv //.. Coo la velocidad v e le counica al cuerpo en la poición de equilibrio, ea erá la velocidad áxia: π π k 300 v vmáx Aω A A A A v 38,73 k 0, π k 9 En un lugar de la ierra, un péndulo de `un etro de longitud tiene un período de egundo exactaente. Cuánto vale la gravedad en dicho lugar? l.... π l g g 4π l 4π π 9,87 0 Un péndulo e devía de u poición central de equilibrio una altura h 5 c con repecto a ella. Cuál e la velocidad áxia que adquiere cuando e uelta? Aplicao el principio de conervación de la energía a la poición vertical y cuando etá eparado una altura h: Ec Ep v gh v gh 9,8 5 9,9 fíica

4 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 4 Problea para penar. Una partícula e ueve con oviiento vibratorio arónico iple con un período de 4 egundo y un defae de 0,8 radiane. Se toa el origen en la poición de equilibrio. Si abeo que para t la velocidad de la partícula e v -3 /, hallar la ecuación que decribe u poición en función del tiepo ϕϕ 0,,88 rraadd.. PPaarraa tt,, vv //.. x A en(ωt π π Aen t + 0,8 Aen t + 0,8 4 dx d π π π v Aen t + 0,8 A co t + 0, 8 utituyendo : dt dt π π A co + 0,8 A,74 πco( π + 0,8) π( co 0,8) 0,697π Luego : π x Aen ( ωt,74en t + 0, 8 En el cao epecificado en el problea anterior, calcular la elongación, la velocidad y la aceleración para t,8. v(t) dx dt π x(,8),74en,8 + 0,8,35 π π π π,74 co t + 0,8 v(,8),74 co,8 + 0,8 3,74 dv d π π π π a(t),74 co t + 0,8,74 en t + 0, 8 dt dt en donde utituyendo : π π a (,8),74 en,8 + 0,8 3,34 fíica

5 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 5 3 En el cao epecificado en el problea anterior, calcular la velocidad áxia y el intante en que la adquiere por priera vez. v Máx Aω π π A,74 4 4,3 Coo la velocidad áxia e alcanza en el centro, y el oviiento coienza en ete io punto, eta velocidad áxia e alcanza en un tiepo itad del período, e decir para. 4 Una partícula lleva el oviiento dado por la expreión x 5 en (t + π/4). Calcular: a) La poición cuando t 0,. b) La velocidad en ee intante. c) El período, la aplitud y la frecuencia. aa) ) x (0,) 5en( 0, + π / 4) 4,7 bb) ) dx d π π π v (t) 5en(t + 5 co t + v(0,) 0co 0, + dt dt π cc) ) Coo ω π y f / /π Hz. A 5. 5 Ecribir la ecuación del.v.a.. cuya gráfica en función del tiepo e la de la figura. 5,53 A,5. Seiperíodo (/) 7,8 3,8 4, luego 8. La ecuación de la elongación e: π π x (t) Aen t + ϕ,5en t + ϕ, para hallar el 8 defae inicial (ϕ), partio de que para t 0, x(0) π x (0),5en 0 + ϕ enϕ 0,8 ϕ arcen0,8 0, 93, quedando, pue la 4,5 ecuación de la elongación: π x (t),5en t + 0, 93 4 fíica

6 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 6 6 Una aa de un kilograo vibra verticalente a lo largo de un egento de 0 c de longitud con un oviiento arónico de período 4. Deterinar: aa) ) La aplitud. bb) ) La velocidad en cada intante. cc) ) La velocidad y aceleración en lo extreo. dd) ) La fuerza recuperadora cuando el cuerpo etá en lo extreo del caino. ee) ) La fuerza recuperadora cuando la elongación e de 8 c: aa) ) A Mitad del recorrido entre extreo 0, / 0,. bb) ) Suponiendo ϕ 0( parte de la poición central), la elongación e x (t) A enωt, en donde ω π/ π/4 π/ rad/ y entonce x(t) 0,en(πt/) derivando teneo la velocidad intantánea: v (t) dx d π 0, π π 0,en t co t dt dt cc) ) La velocidad en lo extreo e nula ( de no er aí, no erían lo extreo y eguiría oviéndoe), adeá en lo extreo el tiepo e o /4, 3/4 3 o u últiplo con lo que la velocidad quedaría: π 3π v 0,05πco 0,05πco 0 La aceleración, por contra, e áxia en lo extreo ( y nula en el centro) y de valor : a ± ω A ± (π/) 0, ± 0,05π /. dd) ) F a (± 0,05π ) ± 0,05π N. ee) ) F - ω x - (π/) 0,08-0,97 N. 7 Una partícula aterial de 0 g de aa decribe un oviiento arónico iple de aplitud 5 c y en cada egundo realiza edia vibración. Calcular: aa) ) Ecuación que rige el oviiento. bb) ) Naturaleza de la fuerza capaz de producirlo y u valor. cc) ) Valore de la elongación para lo cuale la velocidad erá áxia. dd) ) Valore de la elongación para lo cuale la aceleración erá nula. 0 gg 0,,0 kkgg.. A 55 cc 0,,055.. (( eenn eeddi iaa vvi ibbrraacci ióónn)) fíica

7 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 7 aa) x(t) Aen ωt + ϕ π π ) ( ) Aen t + ϕ 0,05en t + 0 0,05enπt bb) ) E una fuerza proporcional al deplazaiento( elongación) y de entido contrario y de valor ( dependiente del tiepo evidenteente): F - ω x - 0,0 π 0,05enπt - 0,0005 π enπt N. cc) ) La velocidad e áxia en el centro del oviiento en donde la elongación e nula. dd) ) abién en el centro la aceleración e nula, luego x 0. 8 Un punto óvil de 0,5 kg de aa etá aniado por un.v.a.. de 0 c de aplitud y realiza ocilacione por egundo. Calcular: aa) ) Elongación de dicho punto /6 de egundo depué de alcanzada la áxia elongación. bb) ) La contante recuperadora del oviiento. cc) ) La energía cinética que poee el punto óvil al paar por la poición inicial de repoo. 0,,55 kkgg.. A 0 cc 0,,.. 0,,55 (( oocci ilaacci ioonnee ppoorr eegguunnddoo)) aa) ) Si en una ocilación tarda, coo una ocilación on 4 aplitude, en la priera aplitud tardará un tiepo de /4, e trata, de calcular la elongación para un tiepo t 5 +, la elongación e: 4 6 bb) ) π k π π 5 x Aen t 0,en 0,5 4π 4π 0,5 k 8π 0,5 5π 0,en 0,087 3 kg 78,96 cc) ) Si etá en repoo v y la energía cinética ( Ec ½ v ) e nula. 9 Un cuerpo cuya aa e de 00 g poee un oviiento arónico iple a lo largo de una recta AB de 0 c de longitud con un período de. Calcular: aa) ) Velocidad y aceleración en el punto edio de la recta AB. bb) ) Velocidad y aceleración en el extreo B. cc) ) Fuerza recuperadora en el extreo B. fíica

8 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 8 00 gg 0,, kkgg.. A 0 cc 0,,.... aa) ) En el punto edio la aceleración e nula y la velocidad áxia, v Máx π ± 0, ± 0, π. π ± Aω ± A bb) ) Ahora la velocidad e nula y la aceleración áxia, π π a Máx Aω A 0, 0, π cc) ) F a Máx - 0, 0, π - 0,0987 N 0 Calcular la fracción de energía potencial y cinética de la energía total de un cuerpo de aa upendido de un uelle de contante K, en función del ángulo de fae. Ec k E P kx ( A x ) ( A x ) + kx ka E M Ec + EP k E ( A x ) Ec M k ka x A Aen( ωt A en ( ωt co ( ωt kx EP x Aen( ωt en ( ωt E M A A ka La ua de aba fraccione en (ωt + co (ωt. Con qué frecuencia ocilará un péndulo de 80 c de longitud en un lugar de la ierra en el que g 9,8 N/kg? fíica

9 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 9 l 880 cc 0,,88.. gg 99,,88 N//kkgg.. l 0,8 π π,79 f 0,56Hz g 9,8,79 El paragolpe de un terinal de ferrocarril etá contituido por un uelle de contante K. Un vagón de 00 tonelada choca con él a una velocidad de 0,0 /. Si e quiere que en eta condicione el paragolpe e copria 0 c hata detener el vagón, cuál ha de er el valor de la contante K del uelle?. 00 tt kkgg.. vv 0,,0 //.. A 0 cc 0,,.. El vagón poee una energía cinética: Ec v ,0 0 J Eta energía e convierte en energía potencial elática de copreión del paragolpe: Problea para profundizar 0 40 E EPe 0 J ka k A 0, 40 0,0 c N Un ocilador de kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una aplitud de 3 y coienza u oviiento en la poición de equilibrio. En qué poición e encuentra cuando u energía potencial e la itad de u energía cinética? kkgg.. f 440 Hzz.. A 33.. ϕϕ 0 rraadd.. E C E P ; E p + E C E M ; E p + E P E M ; 3E P E M ; A 3 x, kx ka 4 En el cao del ocilador anterior, qué tiepo trancurrirá dede el coienzo de u oviiento hata que u energía cinética ea igual a u energía potencial? fíica

10 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 0 A 3 E C E P ; coo E C + E P E M ; E P E M ; kx ka x,., Coo x Aenωt;, 3enπft enπft 0,7 πft arcen0,7 0, ,79 80t 0,79; t 0, En qué poición e encuentra un ocilador cuando u energía cinética e la cuarta parte de u energía total? E C E M luego E C + E P E M ; luego x,6 E 4 3A + EP EM 4EP 3EP 4 kx 3 ka x ; M 6 La energía de un ocilador de 0 g e de 0,6 J y u velocidad e de / cuando u elongación e de. Cuále on la aplitud y la frecuencia de u oviiento? 0 gg 0,, 0 kkgg.. E 0,,66 JJ.. vv //.. xx.. Utilizao un itea de do ecuacione con do incógnita : v ω A ω A E ω A 0,6 0,0ω A 4 ω (A ) 60 ω A A ;4 ω 4 60 ω ω ± 60 4 ± 56 ± 7,48, ahora podeo aber ω ω 7, la frecuencia: ω πf 7,48 f,9 Hz y la aplitud: A, 07, luego π ω 56 A,07,035 7 Un péndulo tiene un período o en un punto obre la uperficie de la ierra, al pie de una ontaña. Se aciende a la cubre y u período e. Cuál e la altura de la ontaña? l l 0 π π g0 0 9,8 g R h h + + l l g0 ( R + h) R 0 R π π g g decir la altura, en función del radio terretre (R) y de lo período e: 0 h R 0, e fíica

11 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio h R. 0 8 Se dice que un reloj de péndulo «bate egundo» cuando u anecilla avanza egundo por cada ocilación copleta. Suponiendo que, por efecto del calor, el péndulo e dilata en una centéia parte de u longitud, cuánto atraará el reloj en cada hora? Si bate egundo u período e 0, cuando u longitud e l 0. Si la l l 0 +0,0l 0,00l 0, u período e: l0 π 0 g l0 l0,00 0,00,00 l l,00l 0,00 π g Luego en cada ocilación hay una diferencia de, 00 0,00 de retrao, coo en una hora hay que e correponde con 800 ocilacione, en que e perderán,8. 9 Un uelle de contante K 50 N/ etá copriido 4 c junto a una bola de 50 g de aa. Al oltare el uelle ipula a la bola, que va a chocar contra otro al que coprie 6 c. Suponiendo que no hay pérdida de energía, calcular la contante K de ete egundo uelle. kk 550 N//.. A 44 cc 0,,044.. A 66 cc 0,, gg 0,, 055 kkgg.. Si no hay pérdida de energía, la energía potencial elática, en lo punto de áxia copreión, en abo uelle e conerva: k A A 0,04 E Ep ka k A k k 50 k A A 0,06 p N, fíica

12 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 3 0 El ébolo de una áquina de vapor pea 0 kg y la longitud del cilindro e de 40 c. Suponiendo que e ueve con oviiento arónico iple de frecuencia 0 período por inuto, calcular: aa) ) El tiepo que tarda en recorrer 0 c a partir del oento en que paa por el centro del cilindro. bb) ) La energía cinética cuando paa por el centro del cilindro. cc) ) El valor áxio de la aceleración. 0 kkgg.. A 440 cc 0,,44.. f 0 ppeerrí íooddoo//i inn.. hhzz.. aa) ) x 0 c 0,. x 0, 0,57 x Aenπft enπft 0,5 πft arcen0,5 0,57 t 0,0 A 0,4 4 4π bb) ) En el centro la velocidad e áxia y la energía cinética e: EC v Máx ω A 0 (π ) (0,4) 5,66 J cc) ) a áx ±ω A ± (πf) A ± (π ) 0,4 ± 63,7 3 El oviiento del pitón de un autoóvil Podeo coniderarlo coo arónico iple. Si la carrera del pitón e de 0 c (doble de la aplitud) y la velocidad angular del cigüeñal r.p.., calcular la aceleración del pitón en el extreo de la carrera. Si la aa del pitón e de 0,5 kg, qué fuerza reultante e ejercerá obre él en el extreo de la carrera? Calcular la velocidad áxia del pitón. A 0// cc 55 cc 0,,055.. ω rrpp ππ rraadd//.. 0,,55 kkgg.. La aceleración pedida e la aáx ω A (π) 0,05,97 F a 0,5 (,97) 0,99 N fíica

13 Nº 7 El oviiiiento viibratoriio 3 v áx ±ωa ± π 0,05 ± 0,34 3 Una barra cilíndrica de de longitud y aa kg ocila alrededor de un eje que paa por uno de L u extreo. eniendo en cuenta que el oento de inercia repecto al eje indicado e I, calcular: 3 aa) ) El período de la ocilacione. bb) ) La longitud del péndulo iple del io período. cc) ) El oento de inercia de la barra con repecto a un eje paralelo al anterior, pero que la atraviea a un cuarto de u longitud. dd) ) El período de la ocilacione upendida dede ete punto. a) No lo é, e faltan dato. L a) π π,83. g 9,8 c) Aplicao el teorea de Steiner: I I L L d + L + L,3 kg d) Me faltan dato ) fíica