SOLUCIÓN ACTIVIDADES T3, MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. = ±. En valor absoluto la velocidad es. v max = ± ω A

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Lucía Rico Flores
hace 5 años
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1 SOLCIÓN ACTIVIDADS T3, MOVIMINTO ARMÓNICO SIMPL CSTIONS C1. Las ds fras de expresar el.a.s. sn: x = A sen ( ωt + θ ); x = A cs ( ωt + θ ) Sí para t=0 es x=0; las ecuacines crrespndientes: x = A sen ωt ; x = A cs ( ωt + / ) v ω A x C. De las ecuación para la velcidad áxia cuand la elngación es nula, x = 0, y vale: = ±. n valr abslut la velcidad es v ax = ± ω A Para la aceleración, a = - ω x. Su valr es áxi cuand x = ± A, y alcanza el valr abslut, a = ω A ax C3. La ecuación del.a.s. es x = cs 3 t a) La aplitud es A = c/s, crrespnde cn el áxi valr del csen que es 1. La frecuencia angular: ω = 3 rad/s La frecuencia: ω 3 1 f = = s = 1,5 Hz La fase inicial: θ = - / rad La fase es la función del tiep: θ(t) = 3 t - /, cn t en segunds y θ(t) en radianes. b) Obtenes la velcidad v(t) y la aceleración a(t), ediante las derivadas ( ) v(t)= x(t) & = -6 sen ( 3 t - /); a t =v(t)=-18 & cs( 3 t - /) C4 La velcidad áxia es cuand sen 4 t, ta su áxi valr que es la unidad. s decir la velcidad áxia vale: v = 4 /s. La fase inicial es nula, θ = 0 La frecuencia angular es ω = 4 rad/s l perid T = = = 1,57 s ω 4 rad / s C5 La fuerza elástica verifica la ley de Hke F = k x. n este cas la fuerza defradra es el pes del cuerp suspendid P = g que ha prducid un alargaient x 1, de d que la cnstante elástica del uelle es: F P g k = = = x x x 1 1 1

2 g x1 Si se suspende una asa /, la lngitud del uelle será: l = l + = l + g x C6. l perid de scilación verifica: T = k Al clgar la asa el nuev perid es: T = = = T k k C7 Su energía ptencial elástica vale: = kx = k A sen( ωt + θ ) = ka sen ( ωt + θ ) Las ds expresines, tant la que depende de x, c la que depende del tiep t, deuestran que la energía ptencial elástica n es cnstante. C8 C9 La energía ptencial elástica depende del cuadrad de la elngación x, de d que será áxia tant en x = +A, c en x = -A. Su valr es: 1 ( ) = k ± A Sin ebarg su valr íni es en x=0 y es nula. La energía ecánica es la sua de las energías cinética y ptencial elásticas: = k x + v = kx + ω ( A x ) = A C es independiente de x y de t resulta cnstante. C10. Cuand la energía cinética es la cuarta parte de la energía ptencial elástica. 1 kx p 1 kx c = ; k ( A x ) = = ; ka = kx + 1 = kx A x = 5 C11 C1 C13 Al cpriirl, cuand t = 0, se encuentra en x = -A ; la fase inicial es θ = k k C ω =, resulta: x= A sen t Antes de scilar la tensión de la cuerda es igual al pes de la asa suspendida pr estar en equilibri estátic, P = g. Del principi de cnservación de la energía ecánica, c la fuerza gravitatria es cnservativa la energía ecánica del péndul es cnstante. Tand un nivel de referencia h = 0, para la energía ptencial gravitatria en la psición vertical de equilibri se verifica: ( P + C ) arriba = ( P + C ) abaj Sustituyend las cndicines: gh 1 = v ; v = g h

3 Sbre la asa scilante actúan la tensión del hil y el pes. La fuerza neta hacia dentr prprcina la fuera centrípeta que difica la dirección de su vectr velcidad y en la psición vertical la tensión T y el pes P, sn de la isa dirección per de sentid cntrari. v FC = = T P = T g ; L v gh h T = + g = + g = g + 1 L L L l C14 l perid de un péndul siple de lngitud l vale: T = g l l l perid de un péndul siple de lngitud l 1 = 4 l vale: T = 4 = = T g g 1 l / 4 1 l T l perid de un péndul siple de lngitud l /4 vale: T = = = g g jercicis 1 a) La aplitud A = 3 c = 0,03 ; l perid T = 10 s x/c 3 La pulsación angular ω = T = 10 = 0, rad / s La fase inicial es θ = rad x = 0,03 cs 0, t La elngación ( ) t/s b) x=0,03 sen 0,t La ecuación general del.a.s. es x = A sen ( ωt + θ ) sen 0 + = 1 ; θ = - / Para que ( ω θ ) La ecuación buscada es x = 0,05 sen 0,1 t 3 a = ω x ; debes deterinar ω ; rad ω = = = 0 ; T 0,1 s 0 3 x = = 5,1.10 ( 0 ) 4 F = k (l-l ); Al cpriirl la fuerza ejercida la cnsiderares negativa, de d que 40 N = k ( 0,3 0, 5 ) ; 40 N N k = = 000 0,0 La lngitud que alcanza el uelle F 10kg 9,8 / s l = l + = 0,5 + = 0,74 k 000 N / Ns dan la frecuencia f = 4 scilacines/s. l perid es T = = = 0,5 s f ,050 N C T = ; resulta: k = = = 31,6 k T 0,5

4 a = ω x = x = 631,7 x 0,5 6 La energía ptencial elástica es ( ) 4 = k x = 00 0,001 = 10 J 7 La energía ecánica es cnstante pr ser el sistea uelle-asa scilante, cnservativ. ( ) = ka = 3,.10 0,5 = 10 J = = = 8 a) La energía cinética C ( ) ( ) 1 1 k A x 400 0,1 0,05 1,5 J La energía ptencial = = = k x 400 0,05 0,5 J b) La energía ecánica = C + = 1,5 J + 0,5 J = J 9 La cnstante recuperadra vale: F 10 kg 9,8 / s N k = = = l l 5.10 l perid: 10 kg T = = = 0,14 s k N / 10 La aceleración de la gravedad g = = = 9,87 T s s 4 L 4 1 Prbleas P1 La frecuencia angular: x = 0,05 sen 100 t 3000 rad rad ω = = s s dx v = = 5 cs 100 t dt dv dt a = = 500 sen 100 t P La velcidad v = Aω cs ( ωt + θ ) = 1 cs ( ω t + θ ) C la velcidad se anula en las psicines extreas, el tiep transcurrid de una a tra es la itad de un perid, de d que: T = (5 1) s = 8 s. La aplitud es 1 1 / s A = 48 ω = / 8 s = Para hallar la fase inicial debes cnsiderar que cuand t = 1 s, es v = 0; 0 = 1 cs 1+ θ0 8

5 + θ = ± ; 8 θ = = θ = 8 = 4 Sustituyend en la ecuación de la elngación x = 48 sen t + θ ; ahra bien de las ds 8 slucines sl una verifica que cuand t = 1 s, es x = 48. nsayand cn las ds: sen 1+ = sen = 1 ; sen 1 = sen = La slución buena para la fase inicial es θ = /4. n cnsecuencia: x = 48 sen t dx v = = 1 cs t + dt 8 4 dv = = + = + dt a 1 sen t 3 sen t P3 La cnstante recuperadra F 0,15 0 kg 9,8 / s N k = = = 9,4 l l 0,05 1, kg l perid de la jaula vacía es: T1 = = 1,7 s 9,4 N / (1, + 0,150 )kg l perid de la jaula cn pájar: T = = 1,35 s 9,4 N / P4 4 4 kg N k = = = 19,3 T 0,60 s a) v A x = ω el valr áxi l ta cuand x = 0 ; ax 1 C,ax = kg = 9,89 J s v = 0,30 = / s 0,60 s b) = = =,ax ka 19,3 0,30 9,87 J d) v(0,15 ) = 0,30 0,15 =,7 / s 0,60 s 1 ( ) ( ) C 0,15 = kg,7 / s = 7,40 J 1 N ( ) ( 0,15 ) = 19,3 0,15 =,47 J ; = C + P = 7,40 J +,47 J = 9,87 J

6 P5 a) l sistea asa-uelle cn la asa vertical sciland, es un sistea que cnserva la energía ecánica, per ahra la energía ptencial es de ds clases, la gravitatria y la elástica. Adeás tiene energía cinética. Tand un rigen de referencia x = 0, en la psición que cupa la asa just al suspenderla del uelle, antes de que éste epiece a alargarse y sin predecir el sign de la psición que alcanza al alargarse, resulta que la energía ecánica vale l is en cualquier psición pr que se cnserva, l que es l is, su variación es nula. =, final, inicial = 0 ( P, f P, i ) Gravitatria + (, f -, i ) lástica + ( C, f C, i ) Cinética = g x 0 + k x 0 + v 0 = 0 ( ) Para deterinar la psición ás alejada de la asa, en ella su velcidad es nula, pr l que sustituyend en la anterir resulta: N 1 N kg 4 kg 9,8 x 400 x 0 + = ; ( ) l sign negativ indica que ha descendid 0,196. x1 = 0 39, + 00 x x = 0 39, x = = 0, b) Ahra scila alrededr de una psición interedia entre x 1 y x x1 + x 0 + ( 0,196 ) x = = = 0,098 A = x x = 0,196 0,098 = 0,098 c) La aplitud ( ) P6 Cnsiderares que la energía ecánica del sistea asa-uelle se cnserva cnstante. Tas una sistea de referencia x = 0, en la psición que cupa la parte superir del uelle sin defrar, Al caer la asa desde el reps v = 0, desde una altura h, cprie el uelle una lngitud x, y aplicand que la variación de energía ecánica será nula resulta: =, final, inicial = 0 ( P, f P, i ) Gravitatria + (, f -, i ) lástica + ( C, f C, i ) Cinética = ( ) ( ) g x gh + k x 0 + v v = g x gh + k x 0 + v 0 = 0 C adeás en la psición de áxia cpresión es v = 0 ; queda: 1 1 kx + gx gh = 0; 600 x + 0 9,8 x 0 9,8 = 0 ; x 1 = +0,86 ; x = -1,5 Analizand las ds slucines, la x 1 n crrespnde prque está situada pr encia del uelle dnde tas x=0. La slución crrecta es la negativa x = -1,5. b) 0 kg T = = = 1,15 s k 600 N /

7 P7 a) l perid vale: L 1,8 T = = =,7 s g 9,8 / s T,7 s b) l tiep es la cuarta parte de un perid t = = = 0,67 s 4 4 c) l perid del péndul siple es independiente de la asa scilante de d que n sufre ninguna dificación pr esta causa. l = l 1 cs 10º = 1,8 1 cs 10º = 0,07 d) La altura que sube la partícula es ( ) ( ) Del principi de cnservación de la energía. 1 v = gh ; v = gh = 9,8 0,07 = 0,73 s

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