Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

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Julián Sandoval Botella
hace 6 años
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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA MÓDULO # 3: OSCILACIONES MECÁNICAS ENERGÍA- Dieg Luis Aristizábal R., Rbert Restrep A., Tatiana Muñz H. Prfesres, Escuela de Física de la Universidad Nacinal de Clmbia Sede Medellín Temas Intrducción Trabaj W energía ptencial U Energía cinética K Energías Cinética Ptencial del Osciladr expresadas en función del tiemp Energía mecánica E Intrducción En ls ds móduls anterires se estudió la cinemática la dinámica del MAS. En este módul se cmpletará el estudi de la mecánica del MAS tratand ls cncepts de trabaj energía. Se bservará que mientras la partícula scila ha permanentemente una cnversión de energía cinética en ptencial viceversa. Trabaj W energía ptencial U Cuand una partícula scila cn MAS, es prque la fuerza neta que actúa sbre ella tiene la frma, F = - k [] siend la elngación. Una fuerza de este tip es elástica HOOKEANA. Cn base en el mdel del sistema masa-resrte, se puede hacer un análisis clar que permite encntrar la relación para la energía ptencial elástica, Figura. Cuand el resrte psee su lngitud riginal, Figura A, su defrmación es nula en cu cas el sistema masa resrte n tendrá energía ptencial elástica (n ha energía almacenada). Lueg un agente extern l ha elngad en una cantidad igual a, Figura B, para l cual realizó un trabaj sbre el sistema (sistema masa-resrte) cediéndle energía que queda almacenada en frma de energía ptencial elástica. Pr últim el agente extern realiza aún más trabaj para elngar el sistema hasta, Figura C, pr l que el sistema va aumentand su energía ptencial.

2 Figura En la Figura se ilustra el diagrama de fuerzas de la masa (fuerzas que actúan sbre la masa). En este diagrama, N es la fuerza nrmal que ejerce el pis, P es la fuerza de gravedad ejercida pr el planeta Tierra (pes), F ext es la fuerza ejercida pr el agente extern sbre la masa, F res es la fuerza ejercida pr el resrte sbre la masa: se ha despreciad la fuerza de rzamient. Figura Si la defrmación se btiene a velcidad cnstante, aplicand la primera le de Newtn, se cnclue que en td instante F ext F res sn iguales en magnitud. Es decir, res F = - k ext F = k El trabaj realizad pr el agente extern,w ext, para elngar el resrte desde hasta es,

3 ˆ ext ext W = F dr = kj dr = kd = k - k En la Figura 3 se ilustra la interpretación gemétrica de este cálcul. 3 Figura 3 Ahra, el trabaj realizad pr la fuerza elástica F res es el negativ de W ext : W = k - k res La ecuación anterir muestra que el trabaj realizad pr la fuerza elástica F res se puede expresar en términs de ls valres de una magnitud escalar de la frma k evaluada al inici ( ) al final (en ) de la elngación. Esta cantidad es la denminada Energía Ptencial Elástica U así se calculará la energía ptencial del sciladr armónic (partícula en M.A.S.): U = k [] dnde es la elngación del sciladr. Según el cncid terema de la energía ptencial, se puede cncluir que la fuerza respnsable de un M.A.S. es cnservativa:

4 W res = - ΔU Energía cinética K Si es la elngación del sciladr, d V = es la velcidad de éste pr l tant su energía cinética es, K = mv [3] 4 Energías Cinética Ptencial del Osciladr expresadas en función del tiemp La elngación la velcidad del MAS sn, = Asen ωt + φ () V = ωacs ωt + φ () Reemplazand () en [] () en [3] se btiene, U = ka sen ωt + φ [4] K = mω A cs ωt + φ K = ka cs ωt + φ [5] Energía mecánica E Cmbinand las ecuacines [4] [5] se btiene para la energía mecánica de un MAS, E = U + K E = ka [6] E = mω A = mπ f A [6 ] La energía del M.A.S. es prprcinal al cuadrad de la amplitud. Adicinalmente, según [6 ] también es prprcinal al cuadrad de la frecuencia. La ecuación [6] también se puede escribir,

tiemp en el MAS. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 4.

5 mv + k = ka [7] siend k la cnstante de fuerza del sciladr armónic. Simulación: 5 Analizar la simulación de SimulPhsics crrespndiente a Energía en el MAS: Energía vs tiemp en el MAS. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 4. Se despliega la simulación de la Figura 5. En ésta hacer las variacines permitidas bservar detenidamente ls resultads. Figura 4 Figura 5

6 Nta: Observar que la energía cinética la energía ptencial scilan cn el DOBLE DE FRECUENCIA que la elngación. Simulación: 6 Analizar la simulación de SimulPhsics crrespndiente a Energía en el MAS: Energía vs psición en el MAS. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 6. Se despliega la simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variacines permitidas bservar detenidamente ls resultads. Figura 6 Figura 7

7 Tarea: En la simulación de la Figura 7 se bserva la gráfica U (Energía ptencial) vs x (Elngación). Esbzar la gráfica de K (Energía cinética) vs x (Elngación). Ejempl Obtener la ecuación diferencial del sciladr armónic en un sistema masa-resrte a través de la aplicación del principi de cnservación de la energía mecánica. 7 Slución: La energía mecánica del sistema masa-resrte es según la ecuación [7], E = mv + k ka = mv + k Derivand respect al tiemp esta ecuación se btiene, d d d 0 = m + k d d d 0 = m + k d k + = 0 m que crrespnde a la ecuación diferencial del sciladr armónic cn frecuencia angular, ω = k m Otra frma de realizar el análisis: El análisis se puede hacer haciend un balance sól de energías cm se ilustra en la Figura 8 teniend en cuenta que las fuerzas que actúan sn el pes la fuerza elástica que sn ambas cnservativas pr l que se cnserva la energía mecánica. E = E

8 U + K = U + K mg c - d + kd + mω A = mg c - d - + k d + + mv ka = - mg + kd + k + mv 8 Figura 8 Per en equilibri, es decir en A, kd = mg pr l tant, ka = mv + k Derivand respect al tiemp esta ecuación se btiene, d d d 0 = m + k d d d 0 = m + k

d k + = 0 m que crrespnde a la ecuación diferencial del sciladr armónic cn frecuencia angular, ω = k m 9 Ejempl Obtener la ecuación diferencial del sciladr armónic en un sistema péndul simple a

9 d k + = 0 m que crrespnde a la ecuación diferencial del sciladr armónic cn frecuencia angular, ω = k m 9 Ejempl Obtener la ecuación diferencial del sciladr armónic en un sistema péndul simple a través de la aplicación del principi de cnservación de la energía mecánica. Slución: Figura 9 La energía mecánica en cualquier instante es, E = U + K Observand la Figura 9 se cnclue que, E = mg L - Lcsθ + mv dθ E = mg L - Lcsθ + m L

10 Se está despreciand la fuerza de rzamient adicinalmente la fuerza de tensión ( mejr su reacción) n realiza trabaj el pes es una fuerza cnservativa, pr l tant la energía mecánica se cnserva en cnsecuencia, E = cnstante de = 0 0 dθ dθ 0 = mglsenθ + m LL 0 = gsenθ + L g + senθ = 0 L para pequeñas scilacines, senθ θ, g + θ = 0 L que crrespnde a la ecuación del sciladr armónic cn frecuencia angular, ω = g L Ejempl 3 Obtener la ecuación diferencial del sciladr armónic en un sistema péndul físic a través de la aplicación del principi de cnservación de la energía mecánica. Slución:

Figura 0 La energía mecánica del cuerp rígid que scila en cualquier instante es, E = U + K Observand la Figura 0 se cnclue que, E = mg h + b - bcsθ + I dθ I es el mment de inercia del cuerp rígid

11 Figura 0 La energía mecánica del cuerp rígid que scila en cualquier instante es, E = U + K Observand la Figura 0 se cnclue que, E = mg h + b - bcsθ + I dθ I es el mment de inercia del cuerp rígid respect al eje que pasa pr O. Se está despreciand la fuerza de rzamient adicinalmente las reaccines en el ap n realizan trabaj el pes es una fuerza cnservativa, pr l tant la energía mecánica se cnserva cm cnsecuencia, E = cnstante de = 0 dθ dθ 0 = mgbsenθ + I 0 = mgbsenθ + I mgb + senθ = 0 I

12 para pequeñas scilacines, senθ θ, mgb + θ = 0 I que crrespnde a la ecuación del sciladr armónic cn frecuencia angular, ω = mgb I Ejempl 4 Utilizand la cnservación de la energía mecánica en el MAS mstrar que: V = ω A - Slución: E = U + K ka = k + mv mω A = mω + mv V = ω A - FIN.

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