UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #6: LA LEY DE INERCIA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #6: LA LEY DE INERCIA Dieg Luis Aristizábal R., Rbert Restrep A., Tatiana Muñz H. Prfesres, Escuela de Física de la Universidad Nacinal de Clmbia Sede Medellín Temas El cncept de Trque Ley de inercia para partículas (traslación): Primera ley de Newtn. Ley de inercia para cuerps rígids (traslación y rtación). Algunas csas de interés. 1 El cncept de trque En ls móduls anterires se prfundizó suficientemente sbre el cncept de fuerza; este cncept pdría ser suficiente para lgrar realizar el análisis de la traslación de ls cuerps, sin embarg, es necesari cmplementarl cn el cncept de trque para facilitar el análisis de la rtación de ésts. Definición de trque Sea O un punt cualquiera, F una fuerza y P su punt de aplicación. Se denmina trque respect al punt O, al prduct vectrial r F, Figura 1. τ de una fuerza τ = r F [1] La magnitud del trque es, τ = r F senφ = F r senφ es decir, la magnitud se calcula cm, τ = F b [2] En dnde b se denmina braz de palanca y es igual a la distancia que hay desde el punt O hasta la línea de acción de la fuerza F, Figura 1 (c). En palabras, La magnitud del trque de una fuerza respect a un punt O, es igual al prduct de la magnitud de la fuerza pr el braz de palanca

2 Observar que si la fuerza se desliza a través de su línea de acción, el trque n varía: aquí la fuerza es un vectr deslizante. La unidad del trque en el SI es el N.m. Cm el trque es un prduct vectrial, su dirección es perpendicular al plan dnde se encuentran ls vectres r y F, y su sentid el indicad pr la regla de la man derecha, Figura 1 (recrdar la definición de prduct vectrial tratada en el módul # 2). 2 (a) (b) (c) Figura 1 Trque de una fuerza respect a un punt O: cas en el plan (ds dimensines) En la Figura 2 se ilustra la frma de calcular el trque cuand el punt O y la fuera F se encuentran en el plan de esta hja, que se hará crrespnder cn el plan XY. El trque apunta en la dirección perpendicular a esta hja, la cual crrespnde al eje z: si apunta en dirección del versr ˆk se cnsideró psitiv (sentid cntrari del gir de las manecillas del relj) y negativ en el sentid cntrari (sentid del gir de las manecillas del relj). Si el braz de palanca es b entnces la magnitud del trque se calcula cn la expresión [2], τ = Fb Figura 2

3 Interpretación física del trque El trque de una fuerza respect a un punt O es una medida de la tendencia de la fuerza F a hacer rtar el cuerp (sbre el cual actúa la fuerza) alrededr del eje fij que es perpendicular al plan definid pr la fuerza y el braz de palanca y que pasa pr el punt O (es decir, el eje tiene la dirección del trque). Ejempls Ejempl 1: 3 Calcular el trque de la fuerza F respect al punt O, Figura 3. La magnitud de la fuerza F es igual a 10,0 N y el segment OP mide 8,00 m. Figura 3 Slución: El braz de palanca de la fuerza es, b= 8,00 m sen30 4,00 m pr l tant la magnitud del trque es, τ =Fb= 10,0 N 4,00 m =40,0 N.m Se está cnsiderand psitiv en dirección ˆk, pr l tant el resultad cn sign asignad será igual a -40,0 N.m. Vectrialmente, τ 40,0 k ˆ N.m

4 Ejempl 2 Calcular el trque de la fuera F respect al punt O, Figura 4. La magnitud de la fuerza F vale 10,0 N y el segment OP mide 8,00 m. 4 Figura 4 Slución: Se bserva que la línea de acción de la fuerza pasa pr el punt y pr l tant el braz de palanca es igual a cer. Cn base en est se cncluye que, τ = 0 Ejempl 3 Calcular el trque resultante respect al punt O debid a las fuerzas F 1 y F 2, Figura 5. Las magnitudes de estas fuerzas sn respectivamente 10,0 N y 20,0 N; ls segments OP y OQ miden respectivamente 6,00 m y 4,00 m. Figura 5 Slución: El braz de palanca de la fuerza F 1 es,

5 1 b = 4,00 m sen45 2,83 m pr l tant la magnitud del trque de F 1 respect a O es, τ = Fb = 10,0 N F ,83 m = 28,3 N.m El braz de palanca de la fuerza F 2 es, 5 2 b = 6,00 m sen30 3,00 m pr l tant la magnitud del trque de F 2 respect a O es, τ = F b = 20,0 N F ,00 m = 60,0 N.m Se está cnsiderand psitiv en dirección ˆk, pr l tant el trque resultante es, τ ˆ ˆ = - 28,3 k + 60,0 k N.m τ = 31,7 k ˆ N.m Es decir la magnitud del trque resultante es igual a 31,7 N.m, su dirección y sentid es el del versr ˆk. Ley de inercia para partículas (traslación): Primera ley de Newtn Newtn frmuló las cncidas tres leyes de mvimient (primera ley de Newtn ley de inercia, segunda ley de Newtn ley de la fuerza y tercera ley de Newtn ley de acción-reacción) y la ley de gravitación universal. Estas se enuncian esencialmente para partículas. La ley de acción y reacción se trabajó en el módul 3 y la ley de gravitación en el módul 4. Aquí se trabajará sbre la ley de inercia. En esta sección se aplicará a partículas y en la próxima sección a cuerps rígids. Ley de inercia (primera ley de Newtn) Td cuerp (partícula) permanece en su estad de reps, de mvimient unifrme en línea recta, except si sbre él actúan fuerzas. En trs términs, se pdría decir: Un cuerp (partícula) sbre el cual n actúan fuerzas si éstas actúan se anulan, se mueve cn v cnstante. Si el vectr velcidad es cnstante, su dirección es cnstante y el mvimient es rectilíne, además su magnitud también es cnstante y el mvimient es unifrme. El reps es sól un cas particular, v = 0. Otra frma de enunciarla es: Un cuerp (partícula) sbre el cual n actúan fuerzas si actúan se anulan, se mueve en línea recta cn rapidez cnstante permanece en reps si l estaba.

6 Es necesari cncluir que cm se está habland de una única velcidad, se está refiriend a un cuerp puntual, es decir, a una partícula. La pregunta básica será: respect a cuál marc de referencia se mide esa velcidad? Y surge una gran dificultad: un mism cuerp puede estar en reps respect a un ciert marc de referencia, mviéndse cn velcidad cnstante respect a tr y mviéndse aceleradamente respect a tr diferente, entnces, en cuál marc se aplica la primera ley? La respuesta n es bvia y parece redundante: ests marcs de referencia deben tener la característica de ser INERCIALES, en ls que la característica es que la ley de inercia se cumple en ells; cn base en est la ley de inercia se puede enunciar así: 6 Existen cierts marcs de referencia, llamads inerciales, respect a ls cuales un bjet, sbre el cual la fuerza neta es nula, se mueve cn v cnstante. Del cncept de velcidad relativa puede verse inmediatamente que si un determinad marc de referencia es inercial, cualquier tr marc que se traslade cn vectr velcidad cnstante respect al primer, será también inercial. Resumiend: Dad un marc de referencia inercial si, F 0 el cuerp (partícula) se traslada en línea recta cn rapidez cnstante permanece en reps si l estaba. Nta: Cualquier cuerp rígid que se encuentre fij a la superficie terrestre se cmprta de frma muy aprximada cm un marc de referencia inercial para el análisis mecánic de situacines físicas lcales. El cncept de equilibri Cuand un cuerp se encuentra en reps respect a un determinad marc de referencia inercial, se dice que está en equilibri estátic; si se mueve cn velcidad cnstante se dice que se encuentra en equilibri dinámic. Ley de inercia para cuerps rígids (traslación y rtación) Cuand el sistema de partículas para analizar cumple el mdel de cuerp rígid, es necesari analizar tant la traslación cm la rtación. En la sección anterir se analizó el mvimient de ls cuerps baj el mdel de partícula, pr l que sl interesaba analizar la traslación: una partícula n puede rtar.

7 Cndicines de equilibri de un cuerp rígid Si un cuerp rígid se encuentra en reps en un marc inercial de referencia, se cumple que la suma de las fuerzas externas que actúan sbre él se anula: F=0 (Equilibri de traslación) 7 y la suma de trques externs, respect a un punt cualquiera O (este punt es arbitrari), se anula: τ =0 (Equilibri de rtación) Esas cndicines, llamadas cndicines de equilibri de un cuerp rígid, sn cndicines necesarias para que el cuerp se encuentre en reps en un marc inercial. Es decir, si un cuerp está en reps, cn plena seguridad se cumplen dichas cndicines. Más aún, si inicialmente estaba en reps y se cumplen esas cndicines, permanecerá en reps. Per las cndicines n sn suficientes para garantizar que el cuerp esté en reps. Es decir, perfectamente pueden cumplirse esas cndicines y sin embarg el cuerp puede estarse mviend cn mvimient rectilíne unifrme del centr de masa y rtand, pr ejempl alrededr de un eje que pasa pr su centr de masa cn velcidad angular cnstante. Per en esta parte del curs sól se analizará el cas en el que cuerp rígid está en reps, es decir, el equilibri estátic del cuerp rígid. Algunas csas de interés Sistemas equivalentes de fuerzas En general el mvimient de un cuerp rígid está determinad pr la fuerza ttal y pr el trque ttal que actúan sbre él. Se dice que ds sistemas cnjunts de fuerzas que actúan sbre un cuerp rígid sn equivalentes si su fuerza ttal y su trque ttal respect a cualquier punt sn iguales: pr l tant prducen el mism resultad en l que cncierne al mvimient al equilibri de éste. Centr de gravedad El pes de una partícula de masa m es la fuerza de atracción gravitacinal hecha sbre ella pr el planeta tierra, cuand la partícula está muy cerca de la superficie terrestre. Esa fuerza tiene un punt de aplicación clar, la prpia partícula, y es vertical hacia abaj. Si g es el vectr aceleración de la gravedad, el pes es mg, Figura 6.

8 Figura 6 8 El pes de un cuerp extens es un cncept más cmplej. Si se cnsidera el cuerp cm un sistema de partículas de masas m, el pes del cuerp es un sistema de fuerzas i mg, i Figura 7. Figura 7 Estas fuerzas sn paralelas entre sí ya que lcalmente se puede cnsiderar cnstante la aceleración de la gravedad en magnitud y dirección. Cm se puede bservar, el pes de un cuerp extens n es una fuerza única, sin un sistema de fuerzas actuantes en cada una de las partículas que cnfrman el cuerp. Este sistema de fuerzas tiene un sistema equivalente frmad pr una ÚNICA fuerza que es igual a M g, en dnde M = m i crrespnde a la masa ttal y la cual está aplicada en el centr de gravedad del cuerp (puede demstrase que, en ests cass, crrespnde al centr de masa del cuerp), Figura 8. Figura 8 Par de fuerzas (CUPLA) Un de ls sistemas de fuerzas más imprtantes es el frmad pr ds fuerzas de igual magnitud, dirección cntraria y líneas de acción paralelas, Figura 9. Se llama un par de fuerzas simplemente un par.

9 9 Figura 9 Este sistema de fuerzas, está caracterizad pr una fuerza ttal nula y pr un trque mment τ, perpendicular al plan de las ds fuerzas y cn una dirección de gir asciada en ese plan que es, claramente, la dirección en la cual las ds fuerzas tienden a hacer girar el cuerp sbre el que actúan. La magnitud de este trque es igual a, τ = Fd en dnde d es la distancia entre las líneas de acción de estas ds fuerza, Figura 10. Figura 10 El efect de un PAR de fuerzas ( CUPLA) actuand sbre un cuerp rígid SÓLO es de rtación. Sn ejempls de aplicacines de CUPLAS sbre cuerps rígids: el gir de una llave en la cerradura; el abrir la llave del grif; el girar el timón de un vehícul; el rtar el btón del vlumen del radi. Una rueda una plea que giran alrededr de su eje experimentan en mayr menr grad cmplejas fuerzas de fricción hechas pr el eje. Per esas fuerzas tienen cm sistema equivalente un par trque de fricción. La fricción cn un eje se da pues, n cm una fuerza, sin cm un par trque de fricción que se pne al mvimient de rtación del cuerp, es decir a su velcidad angular. En la Figura 11 se ilustra el diagrama de fuerzas sbre una plea en la cual n se desprecia la fricción en el eje: esta fricción es ejercid pr múltiples pares de fuerza de reacción que ejerce el eje sbre la plea y que se pueden reemplazar pr un trque de fricción τ. f

10 10 Figura 11 Cuerp rígid en equilibri baj la acción de ds fuerzas Si un cuerp rígid se encuentra en equilibri estátic baj la acción de ds fuerzas, éstas tienen que ser de igual magnitud, sentid cntrari y clineales, es decir, tienen la misma línea de acción. Demstrarl. Cuerp rígid en equilibri baj la acción de tres fuerzas Si un cuerp rígid se encuentra en equilibri estátic baj la acción de tres fuerzas n clineales, éstas deben pertenecer al mism plan y si n sn paralelas, tienen que ser cncurrentes, es decir las tres líneas de acción se crtan en un punt. Demstrarl. Nta: Si las fuerzas que actúan sbre un cuerp rígid sn cncurrentes, éste se puede asimilar cm si fuera una partícula. Taller 1. Calcular el trque ttal respect al punt O del cnjunt de tres fuerzas representadas en la Figura 12. Rp. 10,2 ˆk N.m Figura 12

11 2. En la Figura 13: (a) Calcular el trque de la fuerza F 1 respect a E. (b) Calcular el trque de la fuerza F 2 respect a B. (c) Calcular el trque de la fuerza F 3 respect a A. Rp. (a) ˆk N.m (b) ˆk N.m (c) ˆk N.m 11 Figura 13 FIN