CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Transcripción

1 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal DOMINIO Se llama dmini de definición de f al cnjunt de númers reales para ls cuales eiste f(). Se denta D(f), simplemente D. Es decir, D { R eiste f()}. Ejempl: a) f : [, + ) R dada pr f( ) 4 es una función real de variable real cuy dmini es D [, + ). y es una función cn D R - {} ya que ascia a td númer real distint de un únic element de R. + c) El dmini de la función f( ) es D (0, + ) ya que para que eista, debe de ser mayr igual que 0, y además cm está en el denminadr n puede ser 0. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Dada una función real y f( ) y un punt D se dice que f( ) es: Creciente en, si eiste un entrn de Estrictamente creciente en f( ) < f( ) si < f( ) < f( ) si < Decreciente en, si eiste un entrn de Estrictamente decreciente en f( ) > f( ) si < f( ) > f( ) si < en el que se cumple, si eiste un entrn de en el que se cumple, si eiste un entrn de f( ) f( ) si < f( ) f( ) si < en el que se verifica f( ) f( ) si < f( ) f( ) si < en el que se verifica A cntinuación se van a dar cndicines suficientes para caracterizar ests cncepts para funcines derivables en. Prpsición Dada f( ) una función derivable en se cumple: a) Si f '( ) > 0 entnces f es estrictamente creciente en. Si f '( ) < 0 entnces f es estrictamente decreciente en. Ntar que ls recíprcs de estas afirmacines n sn cierts, pr ejempl, f( ) es estrictamente creciente en 0 (ver figura) y sin embarg, f '(0) n es psitiva ya que f '(0) Pryect de innvación ARAGÓN TRES

2 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl : Estudiar el crecimient y decrecimient de las siguientes funcines en su dmini de definición: a) f( ) Esta función es derivable en su dmini, D (-, + ), pr ser un plinmi y su derivada es f '( ) 6 6. En este cas, para estudiar el sign de f '( ) se factriza el plinmi bteniéndse: + f '( ) 6 6 6( ) 6( )( ) El sign de esta epresión depende del sign de ( + ) y del sign de ( ) que cambian en ls punts - y respectivamente, cm se bserva en la siguiente tabla: Sign (-, -) (-, ) (, + ) f '( ) Al ser f '( ) > 0 en (-, -) y en (, + ), se deduce que f es estrictamente creciente en dichs intervals y al ser f '( ) < 0 en (-, ), la función f es estrictamente decreciente en este interval. f( ) (ln ) Esta función es derivable en su dmini D (0, + ) y su derivada es ln f '( ) Para determinar el sign de f '( ) se analiza el sign del numeradr y del denminadr: - El sign del numeradr puede cambiar en ls punts que l anulan: ln 0 Así, ln < 0 en (0, ) y ln > 0 en (, + ). - El sign del denminadr es siempre psitiv en ls punts del dmini. Se divide el dmini en ls intervals determinads pr y se estudia el sign de f '( ) en cada un de ells, bteniéndse: En (0, ), f '( ) < 0, lueg f es estrictamente decreciente. En (, + ), f '( ) > 0, lueg f es estrictamente creciente. EXTREMOS RELATIVOS Dada una función y f( ) y un punt D se dice que f( ) tiene en : Un máim relativ, si eiste un entrn de en el que se cumple f( ) f( ). Un mínim relativ, si eiste un entrn de en el que se cumple f( ) f( ). Un etrem relativ, si f tiene en un máim un mínim relativ. Si las desigualdades anterires se verifican de frma estricta para, se dice que el máim mínim es estrict. Ls etrems relativs también se denminan óptims lcales; dand lugar a ls términs máim lcal y mínim lcal. Cndición necesaria de etrem relativ (cndición de primer rden) Pryect de innvación ARAGÓN TRES

3 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Si f( ) es una función derivable en un punt f '( ) 0. D y Esta cndición es necesaria per n es suficiente; pr ejempl, es un etrem relativ de f, entnces f( ) tiene cm derivada f '( ) que se anula en 0 y sin embarg, es estrictamente creciente en 0 pr l que n tiene etrem en dich punt. Se dice que es un punt crític de f si f '( ) 0 n eiste f '( ). Ls etrems relativs de f sn punts crítics, per n td punt crític es etrem relativ. Nótese que ls punts candidats a ser etrems relativs están entre aquells que verifican la cndición necesaria anterir y aquells dnde la función derivada n eiste. Cndición suficiente de etrem relativ (cndición de segund rden) Si f es una función cn derivada segunda cntinua en y f '( ) 0, se verifica: a) f ''( ) > 0 f tiene en un mínim relativ estrict. f ''( ) < 0 f tiene en un máim relativ estrict. Otra frma de determinar l que curre en un punt crític el crecimient y decrecimient de la función en punts muy próims a después de él. Así, f estrictamente creciente en punts próims a cn < f estrictamente decreciente en punts próims a cn > en el que f es cntinua, es estudiar, situads antes y f tiene en un máim relativ estrict f estrictamente decreciente en punts próims a cn < f estrictamente creciente en punts próims a cn > Ejempl : Calcular ls etrems relativs de las funcines: a) f( ) ln( + ) f tiene en un mínim relativ estrict El dmini de definición de esta función es D (-, + ) ya que + > 0 para cualquier valr de. Para hallar ls punts crítics se calcula f '( ) que eiste siempre y se anula en 0, lueg este es el únic punt + crític de f. Para determinar si 0 es etrem relativ n, se puede prceder de las ds frmas siguientes. ( + ). + Si se quiere aplicar la cndición suficiente se tiene que hallar f ''( ) ( + ) ( + ) f ''(0) > 0, se deduce que f tiene en 0 es un mínim relativ estrict. y cm Si se quiere estudiar el crecimient y decrecimient de f en las primidades de 0, es necesari estudiar el sign de f '( ) antes y después del 0 cm se indica en la tabla que sigue: + Sign (-, 0) (0, + ) f '( ) - + Pryect de innvación ARAGÓN TRES

4 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal f( ) En 0 la función cambia de estrictamente decreciente a estrictamente creciente, pr l tant, f tiene un mínim relativ en dich punt. f( ) + < 7 9 si si Al estar definida la función de frma distinta antes y después de, se estudia f en cada un de ls ds intervals en que se divide el dmini. En (-, ), f( ) y su derivada f '( ) 7 se anula si 7 0, es decir en cnsidera ya que esta fuera del interval cnsiderad. En (, + ), f( ) y su derivada f '( ) n se anula nunca. 7, valr que n se Pr l tant, el únic candidat a ser etrem relativ es, punt en el que se cmprueba fácilmente que es f cntinua. Para determinar si es etrm, se estudia el crecimient y decrecimient de f en las primidades de : - si <, f '( ) 7 < 0, entnces f es estrictamente decreciente en (-, ) - si >, f '( ) > 0, entnces f es estrictamente creciente en (, + ) Pr tant, f tiene en un mínim relativ estrict. CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Dada una función y f( ) y un punt D en el que la función es derivable, se dice que f( ) es: Cóncava en, si eiste un entrn de en el que la gráfica de f n queda pr encima de la recta tangente a f en, es decir, si f( ) f( ) + f '( )( ). Si para la desigualdad anterir es estricta se dice que f es estrictamente cóncava en. Cnvea en, si eiste un entrn de en el que la gráfica de f n queda pr debaj de la recta tangente a f en, es decir, si f( ) f( ) + f '( )( ). Si para la desigualdad anterir es estricta se dice que f es estrictamente cnvea en. La función f tiene en D un punt de infleión si f es estrictamente cóncava a la izquierda de y estrictamente cnvea a su derecha viceversa. Si f es derivable en un punt de infleión atraviesa a la gráfica de f en (, ( )) f., entnces la recta tangente a f en dich punt A cntinuación, se enuncian tres resultads que caracterizan la cncavidad, cnveidad y la eistencia de punts de infleión para funcines derivables. Prpsición (cndicines suficientes de cncavidad y cnveidad) Si f es una función cn derivada segunda cntinua en un punt, se verifica : a) f ''( ) >0 f es estrictamente cnvea en f ''( ) <0 f es estrictamente cóncava en Prpsición (cndición necesaria de punt de infleión) Pryect de innvación ARAGÓN TRES 4

5 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Si f es una función cn derivada segunda cntinua en un punt infleión, entnces f ''( ) 0. y f tiene en un punt de Prpsición (cndición suficiente de punt de infleión) Si f es una función cn derivada tercera cntinua en un punt y f ''( ) 0, se verifica: f '''( ) 0 es un punt de infleión de f Nta: Entre ls candidats a punts de infleión, hay que tener en cuenta n sól aquells punts que anulan f ''( ) sin también dnde n eiste. Ejempl 4: Estudiar la cncavidad, cnveidad y hallar ls punts de infleión de las siguientes funcines. a) f( ) ln( + ) Su derivada segunda se ha calculad en el ejempl a) y es + f ''( ). ( + ) Para realizar el estudi de su sign se factriza únicamente el numeradr ya que el denminadr es siempre psitiv ( ) ( ) ( )( + ) quedand f ''( ) ( + ) ( + ) ( + ) El sign de esta epresión depende de ls signs de ( - ) y de ( + ) que cambia en ls punts y - respectivamente, cm se bserva en la siguiente tabla: Sign (-, -) (-, ) (, + ) f ''( ) f() Lueg en ls intervals (-, -) y (, + ) la función es estrictamente cóncava y en (-, ) es estrictamente cnvea. Además cm y sn punts del dmini de f en ls que cambia la cncavidad-cnveidad de la función, se tiene que sn punts de infleión. f( ) Calculams sus derivadas de primer y segund rden que sn f ''( ) 0 sól hay que cnsiderar el punt f ''( ) antes y después de él. f '( ) ( ) y 4 f ''( ) 9 ( ) 5. Cm del dmini en el que la función n es derivable, y estudiar el sign de En -, se cumple que ''( ) 0 f >, lueg f es estrictamente cnvea y en, + es estrictamente cóncava. Pr l tant, es un punt de infleión de f. se cumple que f ''( ) < 0, lueg f Ejempl 5: Hallar ls punts de infleión de la función 4 f( ) 0 + Se calcula la derivada de segund rden que es f ''( ) y ls punts dnde se anula, bteniéndse f ''( ) y Pryect de innvación ARAGÓN TRES 5

6 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Para cmprbar la cndición suficiente de punt de infleión se halla la derivada tercera quedand f '''( ) 7 60 cuy valr en ls punts y es: f '''() y sn punts de infleión de f. f ''' Pr l tant, y ASÍNTOTAS Una recta r es asíntta de y f( ) si la gráfica de la función se acerca indefinidamente a algun de ls etrems de la recta r. La recta a es asíntta vertical de y f( ) si se cumple lim f( ) ± lim f( ) ±. + a a La recta y b es asíntta hrizntal de y f( ) si se cumple lim f( ) b lim f( ) b. + La recta y m + ncn m 0, es asíntta blicua de y f( ) si se cumple: ( f m + n ) ( f m n ) lim ( ) ( ) 0 + lim ( ) ( + ) 0 Ls valres de m y n se calculan de la frma que sigue: f( ) m lim y n lim f( ) m + + f( ) m lim y n lim f( ) m Ntar que la eistencia de asíntta hrizntal en una dirección (+ - ) implica que n puede eistir en dicha dirección asíntta blicua. Ahra bien l que curre en una dirección es independiente de l que pasa en la tra. Asíntta vertical Asíntta hrizntal Asíntta blicua Ejempl 7: Calcular las asínttas, si eisten, de la función ( ) f( ) La única recta candidata a ser asíntta vertical es 0 ya que al anular el denminadr puede dar lugar a que el límite de la función sea infinit. Para cmprbarl hallams ls límites laterales de la función, ( ) lim ( ) lim Lueg, 0 es asíntta vertical de f pr la derecha y pr la izquierda ya que ambs límites dan infinit. Para determinar si eisten asínttas hrizntales hay que hallar ls límites siguientes: ( ) lim +, al n haberse btenid un númer real, n eiste asíntta hrizntal si + + Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6

7 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal ( ) lim, al n haberse btenid un númer real, n eiste asíntta hrizntal si Cm en las ds direccines anterires n eisten asínttas hrizntales, f puede tener asínttas blicuas. Par determinarl se calculan ls límites siguientes: f( ) ( ) + m lim lim lim ( ) + + n lim f( ) m lim lim lim lueg, y es asíntta blicua cuand +. f( ) ( ) + m lim lim lim ( ) + + n lim f( ) m lim lim lim lueg, y también es asíntta blicua cuand. Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7