DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL

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1 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL CONCEPTOS BÁSICOS Dada una función real y f( ) y un punt D en el que la función es cntinua, se sabe que cuand tma valres infinitamente próims a, f( ) se aprima a f( ), per la cntinuidad n infrma de cóm se realiza esta aprimación, pr ejempl, creciend, decreciend El cncept de derivada que a cntinuación se define prprcina esta infrmación Se llama increment de la variable independiente al valr - Este valr da una medida de la primidad entre y, de frma que es equivalente a Se llama increment de la variable dependiente y al valr y f( ) f() - f( ) Este valr da una medida de la primidad entre f() y f( ) Se llama cciente incremental al valr y f ( ) - f ( ) Este cciente da una medida de la prprción en que se encuentra ls increments definids anterirmente Si se cnsidera punts infinitamente próims a hay que calcular el límite del cciente incremental cuand, l que ns lleva a la definición de derivada en el punt Se llama derivada de f en el punt, al númer real, si eiste, dad pr: f( ) - f( ) y Utilizand increments este límite se puede escribir de la frma f( ) - ( ) f teniend en cuenta que df( ) Este cncept se representa habitualmente pr f '( ), Df( ) d Si eiste f '( ) se dice que f es derivable en el punt Ejempl : Dada la función ( ) f, se calcula f '( ) cm sigue: f '( ) ( ) f( ) f( ) 3 ( ) Cm la definición de derivada viene dada pr un límite, se pueden definir ls siguientes cncepts: Se llama derivada lateral pr la derecha de f en al númer real, si eiste, dad pr f '( f( ) - f( ) ) Se llama derivada lateral pr la izquierda de f en f '( ) f( ) - f( ) al númer real, si eiste, dad pr En el cas de que f '( ) f '( ) se tiene que f es derivable en y f '( ) f '( ) f '( ) Pryect de innvación ARAGÓN TRES

2 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl : Dada la función f( ) si < para estudiar su derivabilidad en, se calculan sus si derivadas laterales ya que la definición de f es distinta a la derecha e izquierda de : f '( f( ) f() ) f '( f( ) f() ) ( ) Cm f '( ) f '( ), la función n es derivable en Al representar la función se bserva que en la gráfica presenta un pic debid a que sus derivadas laterales n cinciden Ejempl 3: Dada la función f '( ) f( ) 3, veams si es derivable en calculand sus derivadas laterales 3 f( ) f() 3 3 f '( ) f( ) f() Al n eistir las derivadas laterales la función n es derivable en Cm ls límites anterires sn distints la gráfica presenta en un punt de pic Una cndición necesaria para que la función f sea derivable en un punt, es decir: f derivable en D f cntinua en es que sea cntinua en Ntar que el reciprc n tiene prqué ser ciert, es decir, que hay funcines que sn cntinuas en un punt y sin embarg, n sn derivables en él Nrmalmente esta prpiedad se aplica de la siguiente frma, si una función n es cntinua en un punt, tampc será derivable en dich punt Ejempl 4: Dada la función si f( ), estudiar la cntinuidad y derivabilidad en si > Pryect de innvación ARAGÓN TRES

3 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Para estudiar la cntinuidad hay que calcular f( ) Cm la definición de f cambia antes y después del punt, es necesari hallar ls límites laterales, f( ) y f( ) Al ser distints ls límites laterales se cncluye que f n es cntinua en, pr tant, f n es derivable en INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA A cntinuación se btiene la interpretación gemétrica del cncept de derivada de una función en f( ) - f( ) un punt, f '( ) Si dibujams la gráfica de y f( ) pdems bservar en la siguiente figura que el cciente f( ) - f( ) incremental es la pendiente de la recta secante PQ a la curva y f( ), que pasa pr f( ) f( ) ls punts P (, f( )) y Q (, f()), es decir, m PQ Repitiend este prces cn sucesivs punts Q, Q,, Q i, cada vez más próims al punt P(, f( )) se deduce que: - la recta tangente a la curva en el punt P es la recta límite de una series de rectas secantes a dicha curva que pasan pr el punt P y trs punts Q, Q, Q 3 que van aprimándse a P - la pendiente de la recta tangente será el límite, si eiste, de las pendientes de las rectas secantes a la curva que pasan pr ls punts PQ, PQ,, cuand a P Q i está cada vez más próim Pryect de innvación ARAGÓN TRES 3

4 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Cuand, es decir, Qi P, si eiste recta tangente a la curva y f( ) en P f( ) f( ) m Q PQi i P ns da la pendiente de la f( ) - f( ) Pr tant, teniend en cuenta que f '( ), se cncluye que la derivada de f en el punt es la pendiente a la recta tangente a la curva y f( ) en P La ecuación de la recta tangente a la curva y f( ) en el punt, cncida su pendiente, se puede escribir de la frma: y f( ) f '( )( ) Ejempl 5: Hallar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) en el punt f f( ) f() 3 4 ( )( ) La pendiente es f '() ( ) 4 La ecuación de la recta tangente es y f() f '()( ), es decir, y 3 4( ), y perand queda y 4 5 FUNCIÓN DERIVADA PROPIEDADES Si una función f( ) tiene derivada en tds ls punts de un cnjunt A Œ D, se dice que f es derivable en A En este cas, se puede definir una nueva función se denta pr f ', df d Df y se Pryect de innvación ARAGÓN TRES 4

5 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal llama función derivada de f dada pr f ' : A Ñ cn f ' () f f ( ) - ( ) Aplicand la definición de derivada se btienen las siguientes reglas de derivación que indican cm btener la función derivada de las funcines elementales más utilizadas f( ) c f '( ) a f( ) a f '( ) a f( ) a cn a > f '( ) a ln a f( ) e f '( ) e f( ) lg a cn a > f '( ) lga e ln a f( ) ln f '( ) f( ) sen f '( ) cs f( ) cs f '( ) sen f( ) tg f '( ) tg cs f( ) arcsen f '( ) f( ) arccs f '( ) f( ) arctg f '( ) Prpiedades Si f y g sn ds funcines derivables entnces f g también l es y ( f g)'( ) f '( ) g'( ) Si f es una función derivable y t un númer real cualquiera entnces tf también l es y ( t f)'( ) t f '( ) 3 Si f y g sn ds funcines derivables, entnces, fg también l es y ( f g)'( ) f'( g ) ( ) f( g ) '( ) 4 Si f y g sn ds funcines derivables cn g() entnces ' f f'( g ) ( ) f( g ) '( ) ( ) g ( g ( )) f g también l es y 5 Si f es derivable en y g l es en f() entnces g f es derivable en y ( g f)'( ) g'( f( )) f '( ) Esta prpiedad se cnce cn el nmbre de Regla de la cadena 6 Si f es una función inyectiva y derivable en cn f '( ) entnces la función inversa derivable en f( ) y ( f )'( f( )) f '( ) f es Pryect de innvación ARAGÓN TRES 5

6 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Aplicand estas prpiedades y las reglas de derivación se puede btener fácilmente la función derivada de las funcines más habituales Ejempl 6: Hallar la función derivada de las siguientes funcines: a) ( ) sen f, derivand cada sumand se btiene, f '( ) cs b) 3 3 ( ), escribiend la función de la frma f ( ) 3 3 y derivand cada sumand queda f f '( ) 3 ( ) c) 3 f( ) e, aplicand la regla de derivación del prduct queda, 3 3 f '( ) 3 e e 3 e e d) 3 f( ), aplicand la regla de derivación del cciente queda 3 (3 )( ) ( )( ) f '( ) ( ) 3 6 ( ) e) f( ) ln, aplicand la regla de la cadena queda, ( ) f '( ) ( )( ) ( ) f) sen3 f( ) e, aplicand la regla de la cadena queda, sen3 f '( ) 3cs3 e Ejempl 7: Hallar la función derivada de si < f( ) 4 si Para cualquier valr de <, aplicand la reglas de derivación se tiene f '( ) ( ) Para cualquier valr de >, derivand el plinmi se tiene f '( ) Para, veams en primer lugar si la función es cntinua calculand ls límites laterales f( ) ( 4) f( ) cm ests límites n cinciden la función n es cntinua en y pr l tant n es derivable en este punt si < Así, la función derivada de f es f '( ) ( ) si > Una vez definida la función f ' se puede plantear si esta función tiene derivada Así para aquells punts en ls que f ' tiene derivada, se define la función derivada segunda de f que se denta d f pr f '', D f dada pr f '' () ( f ')'() d Reiterand este prces se pueden definir las derivadas sucesivas de f: función derivada tercera, (4) ( n) cuarta,, función derivada n-ésima, que las dentarems pr f ''', f,, f, respectivamente Ejempl 8: Hallar la función derivada n-ésima de 3 f( ) e Se calcula en primer lugar la función derivada bteniéndse 3 f '( ) 3 e 3 La función derivada segunda de f se halla derivand la función f '( ) quedand f ''( ) 3 e 3 3 La función derivada tercera de f se halla derivand la función f ''( ) quedand f '''( ) 3 e Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6

7 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Reiterand el prces y generalizand ls resultads btenids se tiene que la función derivada n-ésima de f es ( n) n 3 f ( ) 3 e REGLA DE L HÔPITAL Su aplicación permite reslver algunas indeterminacines en el cálcul de límites de funcines derivables Regla de l Hôpital Si f y g sn funcines cntinuas y derivables en un interval abiert que cntiene a un punt verificand: a) f( ) g( ) b) g ( ) en cualquier del interval f ( ) c) Eiste g ( ) f( ) f( ) f ( ) Entnces, eiste y g ( ) g ( ) g ( ) Observacines: La regla de L Hôpital también se puede aplicar si ± La regla de L Hôpital además de reslver indeterminacines del tip también se puede aplicar para reslver indeterminacines del tip ± ± f ( ) 3 Si al calcular ns vlvems a encntrar en las cndicines establecidas pr esta g ( ) regla se puede vlver aplicar de nuev, y así sucesivamente las veces que cnsiderems prtunas para la cnsecución del límite buscad 4 Para reslver el rest de indeterminacines n se puede aplicar directamente esta regla En ests cass se han de transfrmar en una indeterminación del tip ± y después aplicar la ± regla de L Hôpital Ejempl 9: Utilizand la regla de L Hôpital se pueden calcular fácilmente ls siguientes límites: a) ln ( L' Hôpital) b) e e e 3 ( L' Hôpital) 6 ( L' Hôpital) 6 NOTA: Las indeterminacines que aparecen en el cálcul del límite se indican entre crchetes Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7

8 Unidad didáctica 7 Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl : Calcular ls siguientes límites: ln ln ( ) ( L' Hôpital) a) [ ] ( ) sen cs sen sen sen ( L' Hôpital) sen cs ( L' Hôpital) cs cs sen b) [ ] c) ln ln ( ) ln [( )] 3 ( ) e e e e e e e ( L' Hôpital) ln ( ) ln( ) ln( ) ln( ) d) ( ) ( ) e e e e e ( L' Hôpital) e e e Pryect de innvación ARAGÓN TRES 8