TEMA 8: TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Transcripción

1 TEMA 8: TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Matías Arce, Snsles Blázquez, Tmás Ortega, Cristina Pecharrmán 1. INTRODUCCIÓN SIMETRÍA AXIAL SIMETRÍA CENTRAL TRASLACIONES GIROS COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS FRISOS Y MOSAICOS HOMOTECIAS INTRODUCCIÓN En este capítul se van a describir transfrmacines del plan, tant las ismétricas mvimients (que cnservan las distancias) cm las ismórficas (que mantiene la frma). Alguns mvimients cnservan la rientación del plan y, pr esta razón, reciben el nmbre de mvimients directs; pr el cntrari, trs cambian el sentid de rientación del plan y se denminan inverss. Se cnsidera que el sentid psitiv del plan es el cntrari a las agujas del relj. Aquí se van a estudiar simetrías (axial y central), girs y traslacines. Cm verems en la descripción de ests mvimients, las simetrías axiales sn mvimients inverss, mientras que ls girs, las simetrías centrales y las traslacines sn mvimients directs. Para cada mvimient existen figuras que se transfrman en sí mismas al aplicarle el mvimient, sn las llamadas figuras dbles invariantes. Las transfrmacines se pueden cmpner, l que significa que se realiza una transfrmación y a la figura trasfrmada se le aplica tra, de manera que la cmpsición es la transfrmación que lleva la figura inicial en la final. 1 de 11

2 2. SIMETRÍA AXIAL Simetría axial es un mvimient del plan determinad pr una recta r del plan de tal manera que un punt P del plan es la imagen de un punt P dad (el simétric de P) si la recta r es la mediatriz del segment PP. A la recta r se le llama eje de simetría y tds ls punts de este eje sn dbles (la imagen de cualquier punt de r es el mism punt). La imagen de cualquier punt se determina trazand la perpendicular pr dich punt al eje de simetría y llevand la distancia del punt al eje al tr lad del eje a partir de él. En la figura adjunta se ha determinad el plígn A B C D E F simétric de ABCDEF respect del eje de simetría r. Nótese que se ha invertid la rientación del plan (ABCDEF sentid psitiv y A B C D E F sentid negativ). Para recncer que un determinad mvimient es una simetría axial (se parte de una figura y su transfrmada), la mediatriz de ls segments que unen cada punt cn su transfrmad debe ser cmún, pr l que se debe trazar ls segments, la mediatriz de un de ells y cmprbar que dicha recta es perpendicular a tds ells (así que tds sn paralels entre sí) y que ls divide en ds partes iguales. Se pueden enunciar las siguientes prpiedades de la simetría axial. La simetría axial cnserva la amplitud de ls ánguls y las distancias (lngitud de ls segments). Las rectas perpendiculares al eje de simetría sn dbles, per n sus punts. La imagen de una recta paralela al eje de simetría es tra recta paralela. La transfrmada de una recta blicua frma cn el eje de simetría un ángul igual al que frma la recta dada y, pr tant, el eje de simetría es la bisectriz del ángul que frma una recta blicua cn su transfrmada. La simetría axial es un mvimient invlutiv (la figura simétrica de la simétrica de una figura dada es la prpia figura de partida). La simetría axial es un mvimient invers. 2 de 11

3 3. SIMETRÍA CENTRAL Simetría central es un mvimient del plan determinad pr un punt O del plan de tal manera que un punt P del plan es la imagen de un punt P (es el simétric de P) si O es el punt medi del segment PP. Al punt O se le denmina centr de simetría. Para determinar la figura simétrica de una dada se trazan las rectas que pasan pr ls punts ntables de la figura y se lleva sbre esta recta la distancia del punt al centr, desde el centr, al tr lad del centr. Para recncer que un determinad mvimient es una simetría central (se parte de una figura y su transfrmada), ls segments que unen cada punt cn su transfrmad debe crtarse en un únic punt que dividirá cada segment en ds partes iguales. Dich punt es el centr de simetría. Prpiedades de la simetría central: La simetría central cnserva la amplitud de ls ánguls y las distancias (lngitud de ls segments). Las rectas que pasan pr el centr de simetría sn dbles, per n sus punts. Las circunferencias centradas en el centr de simetría sn dbles, per n sus punts. La simetría central es un mvimient invlutiv. La simetría central n cambia la rientación del plan ya que cincide cn un gir de 180º. 4. TRASLACIONES Cnsiderad un vectr v r del plan, cualquier punt P del plan se transfrma en tr punt P mediante la traslación definida pr el vectr v r si el vectr cn rigen en P y r extrem en P, PP, es un vectr equivalente a v (tiene la misma dirección, es decir, las rectas que ls cntienen sn paralelas, el mism sentid y el mism módul medida del segment frmad pr ls extrems del vectr). 3 de 11

4 Para determinar la figura trasladada de tra, se trazan rectas paralelas al vectr v r que pasan pr ls punts ntables de la figura y se lleva la medida del vectr (su módul) a partir de cada punt en el sentid indicad pr el vectr. Ls vectres que tienen su rigen en un punt de la figura y el extrem en su transfrmad sn equivalentes a v r, de ahí que para recncer una traslación haya que unir cada punt y su transfrmad y cmprbar que tds ls segments sn paralels y de la misma lngitud. El vectr de la traslación será cualquiera de dichs segments siend el rigen el punt de la figura inicial y el extrem su transfrmad. Este mvimient tiene las siguientes prpiedades: La traslación cnserva la amplitud de ls ánguls y las distancias (lngitud de ls segments). La traslación cnserva la rientación del plan. Las rectas que tienen la misma dirección del vectr sn figuras invariantes. La traslación n tiene punts dbles. 5. GIROS Sn mvimients determinads pr un punt que es el centr del gir, O, y un ángul, α, de manera que un punt A y su transfrmad A determinan cn O ds semirrectas, cn rigen en este punt, tales que su amplitud es la del ángul del gir. La imagen de una figura dada se btiene girand ls punts de dicha figura cn arcs de circunferencia centrads en O y cn amplitud el ángul dad, α. La figura adjunta muestra este prces. Para recncer un gir basta bservar que el centr de gir debe estar en la mediatriz del segment que une un punt cn su hmólg, pr l que tdas las mediatrices de tales segments se deben crtar en un punt O. 4 de 11

5 Además el ángul AOA, dnde A y A sn punts hmólgs debe ser siempre el mism. Este mvimient tiene las siguientes prpiedades: El gir cnserva la amplitud de ls ánguls y las distancias (lngitud de ls segments). Ls girs cnservan la rientación del plan. El únic punt dble en un gir de ángul es distint de 0º y de 360º es el centr del gir. Ls girs de 360º transfrman cualquier punt en él mism, tds ls punts sn dbles. Es equivalente al gir nul (0º). Una recta y la recta girada frman un ángul igual al ángul de gir y la bisectriz de dich ángul pasa pr el centr de gir. 6. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Cmpsición de mvimients Traslación Gir Simetría axial Traslación Traslación de vectr suma Gir Deslizamient Gir Gir Gir Simetría axial Deslizamient Traslación (ejes paralels) Gir (ejes n paralels) Ds traslacines se pueden cmpner dand lugar a tra traslación que está definida pr la suma de ls vectres que definen a las traslacines que se cmpnen. La cmpsición de traslacines tiene la prpiedad cnmutativa y la prpiedad asciativa (ya que sn prpiedades de la suma de vectres). Dada una traslación, definida pr el vectr v r, existe tra 5 de 11

6 traslación, definida pr el vectr -v r que al cmpnerla cn la anterir resulta la traslación definida pr el vectr nul (traslación nula), que deja al plan invariante. La cmpsición de ds simetrías axiales de ejes de simetría paralels es una traslación definida pr un vectr v r que es perpendicular a ls ds ejes de simetría y tal que su lngitud es el dble de la distancia entre ls ds ejes. Cn la r referencia de la figura adjunta, v = 2PQ. Recíprcamente, tda traslación se puede descmpner en ds simetrías de ejes paralels (de infinitas frmas) de manera que la distancia entre ls ejes sea la mitad de la lngitud del vectr que define a la traslación. La cmpsición de ds simetrías axiales de ejes de simetría secantes es un gir cn centr en el punt de crte de las rectas y ángul dble que el que frman dichas rectas. Recíprcamente, td gir de centr O y ángul α se puede descmpner en ds simetrías axiales, cuys ejes de simetría se crtan en el punt O y, además frman un ángul de amplitud la mitad. Ds girs cn el mism centr se pueden cmpner dand lugar a tr gir que está definid pr la suma de ls ánguls que definen a ls girs que se cmpnen. La cmpsición de girs cn el mism centr tiene la prpiedad cnmutativa y la prpiedad asciativa (ya que sn prpiedades de la suma de ánguls). Dad un gir, definid pr el punt O y el ángul α, existe tr gir, definida pr el mism punt O y el ángul - α que al cmpnerle cn el anterir resulta la figura riginal (equivale a un gir de 0º). 6 de 11

7 La cmpsición de girs de centrs O 1 y O 2, distints, y amplitudes α 1 y α 2 (iguales distintas) es tr gir cuy centr y amplitud se determinan de la frma siguiente: Cada gir se descmpne en ds simetrías de ejes e 1 y e 2, para el primer, y e 2 y e 3 para el segund. Se cnsidera que la segunda simetría del primer gir es la primera del segund gir, aunque sea el primer eje que se dibuja, ya que tiene que pasar pr ambs centrs (O es el tercer vértice del triángul de lad O 1 O 2 y ánguls adyacentes α 1 /2 y α 2 /2). En la figura se han representad ls vértices transfrmads del triángul de partida A 1, B 1, C 1 pr ls sucesivs (A 2, B 2, C 2 y A 3, B 3, C 3 ) de amplitudes α 1 y α 2, así cm el gir resultante α de ambs de centr O y amplitud 180º 1 + α α = 2 y también ls transfrmads pr 2 las cuatr simetrías del punt A 1 (pr la simetría del eje 1 se transfrma en A, este punt, pr la simetría del eje 2, se transfrma en A 2, éste se transfrma en A pr la simetría de eje 2 y, finalmente, A, pr la simetría de eje 3, se transfrma en A 3. Así, la cmpsición de las simetrías de ejes 1 y 3 resulta ser igual a la cmpsición de ls girs iniciales pr l que se btiene un gir de centr el punt de crte de ls ejes, O y ángul el dble del que frman ls ejes, α 1 + α 2α= 2 ( 180º 2 )=360º - (α 1 + α 2 )= α 1 + α 2 2 La cmpsición de una traslación y un gir es un gir de la misma amplitud que el gir de partida y cuy centr se determinan cm sigue: Cnsiderada una traslación definida pr el vectr v r y un gir de centr O 1 y ángul α, el gir se descmpne en ds simetrías cuys ejes frmen un ángul de amplitud α/2, de manera que el eje de la segunda simetría (eje 2) sea perpendicular al vectr v r que determina la traslación. A su vez, este eje será el de la primera simetría 7 de 11

8 que cmpne traslación y el eje (eje 3) de la segunda simetría de este mvimient determina cn el eje de la primera simetría que cmpne el gir (eje 1) el centr, O del gir resultante. 7. FRISOS Y MOSAICOS Se llaman friss cenefas a la repetición, mediante traslación, de una figura base. Existen siete tips de friss que se pueden cnstruir de una figura base mediante ismetrías. El fris se cnstruye repitiend un determinad módul figura mediante traslacines. A cntinuación se muestran ls siete tips de friss; en ells se ha repetid el mtiv (la baldsa que genera el fris) cinc veces: Grup 1 Grup 2 Grup 3 Grup 4 8 de 11

9 Grup 5 Grup 6 Grup 7 Tarea 1: Analiza ls mvimients del plan que generan las baldsas generadras de ls friss partiend de la primera. Para generar la figura base de un msaic irregular se utilizan ls mvimients ismétrics. Para ell se parte de un figura que rellene el plan y se defrma crta un de ls lads para aplicar después un gir (que depende de la figura, nrmalmente respect a un vértice al punt medi de un lad), una traslación a un lad puest una simetría. El ejempl de la figura es un msaic de Escher. Tarea 2: Analiza ls mvimients del plan que se han aplicad en el hexágn para general la figura anterir. 9 de 11

10 8. HOMOTECIAS Cnsiderads un punt O y númer real r, una hmtecia es una transfrmación del plan que ascia a cada punt P un punt P tal que el vectr OP es el resultad de multiplicar r pr el vectr OP. Si r >1 la transfrmada tiene tamañ mayr que la figura de partida, si r=1 sn iguales, si r=-1 sn simétricas respect a O y si r <1 la transfrmada es menr. Si se realiza una traslación (para r psitiv) una traslación y una simetría central (si r es negativ) las figuras se pueden clcar en psición de Tales. Pr ell, una figura y su transfrmada pr una hmtecia sn figuras semejantes (las hmtecias cnservan ls ánguls). Para recncer que una transfrmación es una hmtecia se trazan las rectas que pasan pr un punt y su hmólg, y se cmprueba que tdas ellas se crtan en un punt (el rigen de la hmtecia) y que las distancias de dich punt a ls punts de la figura transfrmada sn prprcinales a las distancias a ls punts de la figura inicial. 10 de 11

11 La cmpsición de hmtecias cn el mism centr es tra hmtecia cn el mism centr y razón el prduct de las raznes. Una figura es semejante a tra si, y sl si, es cmpsición de una varias hmtecias y un varis mvimients. Las semejanzas tienen multitud de aplicacines en la vida real: mapas, plans y dibujs a escala, medición de alturas y distancias, pryeccines, etc. Tarea 3: El frmat DIN es un frmat nrmalizad de papel que tiene la peculiaridad de que al crtar pr la mitad una hja cn tamañ An se btiene el tamañ A(n+1). De esta manera ls rectánguls que se btienen sn semejantes, l que facilita las reduccines y/ ampliacines. Calcula la razón de semejanza de ds frmats cualesquiera An y A(n+1) sin medir las hjas. 11 de 11