Geometría analítica-2º Bachiller (enero 2011)

Transcripción

1 Gemetría analítica-2º Bachiller (ener 2011) VECTORES EN EL ESPACIO Segment que une ds punts (dirección, sentid y medida-módul). A (2,1,0) y B (-3,2,3) Vectr (-3-2,2-1,3-1) = (-5,1,2) Medida módul: Distancia entre ds punts: módul del vectr que une dichs punts. Suma y resta de vectres se suman sus crdenadas. Vectres linealmente dependientes si hay una cmbinación lineal de ells que es igual al vectr cer, sin que sean cer tds ls ceficientes. 3 vectres sn linealmente independientes si el determinante de la matriz que frman es distint de cer. Frman una base (rtgnal cuand sn perpendiculares y rtnrmal cuand además su módul es igual a la unidad). Tienen distinta dirección. Y sn dependientes cuand un se puede pner cm cmbinación lineal de ls trs. Sn paralels y sus crdenadas sn prprcinales. Su determinante es cer. Tienen la misma dirección. Se puede cmprbar mediante rangs (determinantes) y mediante ecuacines. Base canónica. Vectres perpendiculares si su prduct escalar es cer Cmbinación lineal de tres vectres. Vectres linealmente independientes: sus cmpnentes n sn prprcinales (determinantes distint de cer) Baricentr: medianas unen el vértice cn el centr del lad puest. Prduct escalar de ds vectres. + El prduct escalar de ds vectres perpendiculares u rtgnales es cer. Distancia entre ds punts Vectres paralels si sus crdenadas sn prprcinales. (ests vectres sn iguales y se btienen multiplicand las crdenadas de un pr un númer). Ángul entre ds rectas: es el menr de ls ánguls que frman ls vectres directres. Ángul entre ds plans es el menr de ls ánguls que frman sus vectres nrmales. Ángul entre recta y plan. Es el ángul cmplementari que frman el vectr directr cn el vectr nrmal del plan (sen) Vectr unitari se btiene al dividir sus crdenadas pr su módul. Las crdenadas de un vectr respect a una base sn ls ceficientes de la cmbinación lineal. 1

2 El resultad del prduct vectrial de ds vectres es un nuev vectr cuya dirección es perpendicular al mism tiemp a ls ds. Cuy mdul es el prducts de ls móduls de ls vectres y su sentid el de la regla del sacacrchs. Área del paralelgram cincide cn el módul del prduct vectrial de ls vectres que frman el paralelgram (valr abslut): Área del triángul: también se utiliza para hallar el área de un triángul (valr abslut) A través del prduct vectrial se calculas las crdenadas del vectr directr de una recta, multiplicand ls vectres nrmales de ls plans que la frman. : (paralelepíped y tetraedr) es el resultad del prduct escalar de un vectr pr el prduct vectrial de trs ds vectres. El prduct mixt se representa pr [,, ]. El prduct mixt de tres vectres es igual al determinante que tiene pr filas las crdenadas de dichs vectres respect a una base rtnrmal. Vlumen del paralelepíped es el prduct mixt de ls vectres que cncurren en el mism vértice. Vlumen de un tetraedr es 1/6 del prduct mixt de ls vectres que cncurren en el mism vértice. Si tres vectres sn linealmente dependientes, es decir, si sn cplanaris, prduct mixt vale 0. 2

3 ECUACIONES DE LA RECTA: punt A (-1,3,2) y vectr de dirección Vectrial Paramétricas Cntinua Ecuación general implícita (Ecuacines de ds plans que se crtan en la dicha recta) Cm pasar de una implícita a una cntinua, paramétrica vectrial. Igualand z a t; y reslviend el sistema de ds incógnitas pr Cramer. Paramétricas Pr matrices ; vectres u y v, sn ls vectres nrmales de ls plans que frman la recta y el vectr (i,j,k) es el vectr de dirección de la recta. Prduct vectrial de ls ds vectres nrmales de ls plans que frman la recta, dan lugar al vectr directr de la recta. 3

4 ECUACIONES DEL PLANO: punt A (-1,3,2) y ds vectres (cn distinta dirección, independientes) de dirección Vectrial Paramétricas Ecuación general implícita (matriz de 3 vectres un frmad pr la resta de ds punts y ls 2 vectres de dirección- su determinante debe ser igual a cer) Ax+By+Cz+D=0 Ecuación segmentaria del plan (a, b y c punts de crtes cn sus respectivs ejes): Si un plan cntiene a una recta su vectr de dirección pertenece al plan. Cn ds punts del plan también se puede btener tr vectr de dirección Cm pasar de la ecuación general a la paramétrica vectrial. Se buscan ds parámetrs igualand x a t y z a s, despejand la y. 4x-2y+5z =8 Paramétricas Vectr nrmal del plan 5x-2y+3z-9=0, es el vectr perpendicular al plan (5,-2,3). Se puede calcular a ecuación del plan a partir de este vectr y un punt. (A,B,C) Crdenadas del vectr del plan. 4

5 PUNTOS Y PLANOS Punt medi de un segment, semisuma de las crdenadas de ls punts extrems.. Baricentr: la media de las crdenadas de ls vértices.. Punts alineads: 3 punts están alineads si están una mima recta y pr tant el rang de ls vectres determinads pr ells es 1. Punts cplanaris (están en un mism plan): 2 más vectres sn cplanaris si sn dependientes y su rang es 2. Ds más punts sn cplanaris si ls vectres determinads pr ells sn cplanaris. Plans cartesians: Plan 0XY z=0 Plan 0XZ y=0 Plan 0YZ x=0 Ejes cartesians: Eje 0X x=t vectr dirección (1,0,0) Eje 0Y y=t vectr dirección (0,1,0) Eje 0Z z=t vectr dirección (0,0,1) Rectas paralelas cuand sl varía el términ independientes D de las ecuacines de ls plans que la frman y el rest de términs sn prprcinales. Plans paralels cuand sl varía el términ independiente D de sus ecuacines y el rest de términs sn prprcinales. 5

6 Psicines de ds rectas: Llamarems A a la matriz del sistema frmad pr esas cuatr ecuacines, y A* a la ampliada. Éstas sn las psibilidades: 1. rang(a) = 2, rang(a*)=2. Entnces, sn ds rectas cincidentes. (SCI) 2. rang(a) = 2, rang(a*)=3. Entnces, sn ds rectas paralelas, distintas. (SI) 3. rang(a) = 3, rang(a*)=3. Entnces, sn ds rectas secantes; su punt de crte es la slución del sistema. (SCD) 4. ragn (A) = 3,rang(A*)=4, es decir, Det(A*) 0. Entnces, se dice que las rectas se cruzan. (SI) Ds rectas que se cruzan siempre pdrán situarse en ds plans paralels. Además, éste es el únic cas en el que n existe un plan que cntenga las ds rectas (rectas n cplanarias) Rectas d efinidas pr un punt y u n vectr S i l a r e ct a r v iene de t e r mi n a d a p r y y la r e c t a s p r y, l a p sición r e l a t i v a d e r y s v i e n e d ada p r l a p s i ci ó n d e S i h a y d s p s i b i l idad e s : 6

7 1. R e c t a s c incidentes s i. 2. Rectas paralelas s i. S i h a y t r a s d s p s i b i li d a d e s : 3. Rectas secan t e s ( R a n g =2) s i. 4. Rectas que se cruzan ( R a n g =3) s i. 7

8 Psicines de recta y plan: Llamarems A a la matriz del sistema frmad pr esas tres ecuacines, y A* a la ampliada. Éstas sn las psibilidades: 1. rang(a) = 2, rang(a*)=2. Entnces, la recta está cntenida en el plan (fig. 1).(SCI) 2. rang(a) = 2, rang(a*)=3. Entnces, la recta es paralela al plan, y n cntenida en él (fig. 2). (SI) El vectr de dirección de la recta y el vectr nrmal del plan sn perpendiculares. 3. rang(a) = 3, rang(a*)=3. Entnces, se dice que la recta es secante al plan. El punt de crte es la slución del sistema (fig. 3) (SCD) Es imprtante darse cuenta de que el paralelism de recta y plan se da exactamente cuand Det(A) = 0. La recta v ie ne def inida p r un punt y un vectr S e a u n a r e c t a d e f i n i d a p r e l p u n t A y e l v e c t r. y u n p l a n c u y r e c t r n r m a l e s. L a s p s i c i ne s r e l a t i v a s d e l a r e c t a y e l plan s n : Psic ión A Recta cnt enida e n e l plan = 0 Recta y plan p ar ale l s = 0 Recta y plan s ec antes 0 8

9 R e c t a c ntenida en e l p l a n R e c t a y p l a n paral e l s R e c t a y p l a n secantes Otra frma es sustituyend ls valres de la recta en frma paramétrica en la ecuación del plan. Si ns da un valr real para t, sn secantes y se crtan en ese punt; si n btenems un valr para t sn cincidentes si el punt de la recta pertenece al plan y sn paralelas si el punt de la recta n pertenece al plan. 9

10 Psicines de ds plans: Para el sistema frmad pr ambas ecuacines, siguientes psibilidades:, caben las 1.. Entnces ls plans cinciden (fig. 1) R(A)=R(A*)=1 (SCI) 2.. Entnces sn plans paralels (fig. 2) R(A)=1 y R(A*)=2 (SI) 3. En cualquier tr cas, el rang del sistema es 2, y entnces ls plans definen una recta (fig. 3) R(A)=R(A*)=2 (SCI) 10

11 Psicines de 3 plans: Llamarems A a la matriz del sistema frmad pr esas tres ecuacines, y A* a la ampliada. Éstas sn las psibilidades: 1. rang(a) = 1, rang(a*)=1. Entnces, ls 3 plans cinciden. (SCI) 2. rang(a) = 1, rang(a*)=2. Entnces, sn 3 plans paralels (Ds de ells pueden cincidir.) (SI) 3. rang(a) = 2, rang(a*)=2. Entnces, ls 3 plans cntienen una misma recta (plans de un haz) (SCI) (Pueden ser ds cincidentes y el tr secante) 4. rang(a) = 2, rang(a )=3. Entnces, hay ds psibilidades: (SI) a) Hay 2 plans paralels, y el tr ls crta b) Ls tres sn caras de un prisma triangular (se crtan ds a ds) 5. rang(a) = 3, rang(a )=3. Entnces, ls plans tienen exact.un punt cmún (caras de triedr) (SCD) 11

12 t a b l a : L a s p sicnes r e l a t i v a s d e l s t r e s p l a n s v i e n e n d a d a p r l a s i g u i e n t e r r' Psic ión Pl ans s ecantes en un punt 2.1 Pl ans s ecantes ds a ds (pri sma) Ds plans paral el s y el ter cer sec ante. 3.1 Pl ans secan tes y distints. (Haz de plans) Ds plans c i n ci dentes y un s eca n te. 4.1 Pl ans paral el s y distints ds a ds Pl ans paral el s y d s c i n ci dentes Plan s cincidentes. HAZ DE PLANOS PARALELOS: Varían uns de trs en el términ independiente (se calculan sabiend un punt). Ax + By + Cz +k = 0 (calculams K dependiend del punt pr dnde pasan). HAZ DE PLANOS DE EJE R Hallams k sustituyend en las ecuacines el valr del punt pr dnde pasan (deben pasar pr un punt y ser paralels a una recta Ax + By + Cz + D + k (A x + B y +C z +D )=0 12

13 DISTANCIAS ENTRE RECTAS Y PLANOS Pryección de un punt sbre un plan: Hallams la recta perpendicular al plan que pasa pr el punt (vectr directr el vectr nrmal del plan.) Calculams la intersección de dicha recta cn el plan. Punt simétric: el punt pryectad sbre el plan es el punt medi entre un punt y su simétric. Pryección de un punt sbre una recta: 1º métd: hallar plan perpendicular a la recta que cntiene al punt (vectr nrmal del plan cincide cn el vectr directr de la recta). Calculams la intersección del plan y la recta. 2º métd: buscams un punt genéric de la recta r (ecuación paramétrica). El vectr que frman el punt cn el punt genéric y el vectr direct de la recta sn perpendiculares pr l que su prduct escalar es cer. Obtenems el parámetr y calculams las crdenadas. Pryección de una recta sbre un plan Si sn perpendiculares se calcula halland la intersección. Si sn incidentes: recta frmad pr el punt de crte y la pryección de un punt cualquiera de la recta. Otra frma buscams un plan que cntiene a la recta y es perpendicular al plan (vectr directr de la recta y vectr nrmal del tr plan); la recta pryección es la intersección de ls ds plans. Si sn paralels, se eligen ds punts de la recta y se pryectan, la nueva recta se frma cn ls punts pryectads. Recta simétrica de tra recta respect a un plan: Si es paralela se buscan ds punts simétrics y se frma la nueva recta. Si es incidente un punt es el de crte y el tr un simétric de un cualquiera elegid de la recta, cn ess ds se frma la nueva recta. Recta que se apya en tras ds: Si pasa pr un punt (1,2,3): Plan que cntiene al punt (1,2,3) y a una recta. Plan que cntiene al punt (1,2,3) y a la tra recta. Intersección de ess ds plans es la recta buscada. Si es paralela a una recta dada (lleva el vectr directr de está). Plan que cntiene a una recta cn dich vectr directr. Plan que cntiene a tra recta cn dich vectr directr. Intersección de ess ds plans es la recta buscada. Distancia entre ds punts: módul del vectr que ls une. Distancia de un punt al plan. y plan Distancia de un punt a una recta: se halla su pryección [ plan que cntiene al punt y es perpendicular a la recta (módul del vectr que frman punt de crte entre el plan y la recta y el punt indicad)] También pr vectres (vectr directr de la recta, vectr distancia y vectr que une el punt cn un cualquiera de la recta elegid al azar, deben ser dependiente y calculams el vectr distancia pr matrices). Distancia entre ds rectas paralelas, se elige un punt de una de ellas y se calcula la distancia del mism a la tra recta. 13

14 También se halla un plan perpendicular a la rectas (r y s) u que pase pr un punt de la recta r (Pr). Intersección del plan cn la recta s (Pb). La distancia entre las ds rectas el igual a la distancia entre dichs punts (Pr y Pb). Distancia entre ds rectas que se cruzan, se calcula sbre la perpendicular cmún. También plan que cntenga a una recta y sea paralel a la tra. Distancia de un punt de la recta paralela a ese plan. También halland el vectr perpendicular a las ds (pr la resta de las ecuacines paramétricas). Su módul es la distancia. Distancia entre plans paralels Recta perpendicular cmún a tras ds Buscams un vectr perpendicular a ls ds vectres directres de la recta (prduct vectrial). Plan que cntiene a una recta y a dich vectr perpendicular. Plan que cntiene a la tra recta y a dich vectr perpendicular. La recta buscada es la intersección de ess ds plans. Recta paralela a ds plans es también paralela a la recta que frman ess ds plans. Las rectas paralelas sl varían en el términ independiente. Si un plan es perpendicular a tr, el vectr nrmal del segund es un vectr directr del primer plan. Si una recta es perpendicular a un plan su vectr directr cincide cn el vectr nrmal del plan. Si un plan es perpendicular a una recta, ls vectres nrmales de ls plans que la frman sn ls vectres directres de ese nuev plan. Si una recta y un plan sn paralels el vectr de dirección de la recta y el vectr nrmal del plan sn perpendiculares. Su prduct escalar es cer. Si una recta y un plan sn perpendiculares el vectr de dirección de la recta y vectr nrmal del plan sn paralels. En cnsecuencia sn prprcinales. Para hallar dnde se crtan una recta y un plan se sustituyen las ecuacines paramétricas de la recta en la ecuación del plan y se calcula el parámetr. Recta que pasa pr un punt y está cntenida en un plan y es perpendicular a tra recta se halla cm la intersección de ds plans: Plan cntenida en ella Plan cuy vectr nrmal es el de la recta perpendicular a dicha recta y su variable D se halla sustituyend el punt en la ecuación del plan. 14