Para indicar que 2 es menor que 3, podemos escribir, para indicar que es mayor o igual que 4, escribimos.
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- Vicente Farías Alarcón
- hace 6 años
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1 DESIGUALDADES LINEALES Las desigualdades sn enunciads que indican que ds cantidades ns n iguales, y las pdems identificar pr el us de un más de ls siguientes símbls de desigualdad: Para indicar que 2 es menr que 3, pdems escribir, para indicar que es mayr igual que 4, escribims. NOTACIÓN INTERVALO. La ntación interval se usa para representar un cnjunt de valres que puede tma una variable de un punt a tr punt. Tips de intervals : INTERVALO CERRADO. Representad pr. Está definid pr el cnjunt de tds ls númers reales tales que. La tma tds ls valres que se encuentran entre, cnsiderand el valr de. INTERVALO ABIERTO. Representad pr ( ) Está definid pr el cnjunt de tds ls númers reales tales que. La tma tds ls valres que se encuentran entre, sin cnsiderand el valr de. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA. Representad pr (. Está definid pr el cnjunt de tds ls númers reales tales que. La tma tds ls valres que se encuentran entre, sin cnsiderand el valr de. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA. Representad pr ). Está definid pr el cnjunt de tds ls númers reales tales que. La tma tds ls valres que se encuentran entre, cnsiderand el valr de. Ls símbls ( ) (mens infinit infinit negativ) se usan para representar cantidades muy grandes de una variables tant psitivas cm negativas. La ntacines: Pág.1
2 ). Definen el cnjunt de tds ls nuers reales. La tma tds ls valres que se encuentran a la derecha de, incluyend el valr de ( ). Definen el cnjunt de tds ls nuers reales. La tma tds ls valres que se encuentran a la derecha de, sin cnsiderar el valr de (. Definen el cnjunt de tds ls nuers reales. La tma tds ls valres que se encuentran a la izquierda de, incluyend el valr de ( ). Definen el cnjunt de tds ls nuers reales. La tma tds ls valres que se encuentran a la izquierda de, sin cnsiderar el valr de La ntación de intervals, representa el cnjunt de númers reales que pude tmar una variables y n las crdenadas de un punt en una gráfica. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. PROPIEDAD 1. Td númer real se puede sumar restar de ambs lads de una desigualdad, para prducir tra desigualdad cn la misma dirección. Esta prpiedad indica que cualquier númer se puede sumar a ambs lads de una desigualdad para btener tra desigualdad en la misma dirección. Pr ejempl, si sumams 4 a ambs lads de la desigualdad, llegams a y n cambia el sign. Si restams 4 a ambs lads de, tampc cambia la dirección de la desigualdad PROPIEDAD 2. Si ambs lads de una desigualdad se multiplican dividen pr un númer psitiv, se btiene tra desigualdad que tiene la misma dirección que la riginal. Esta prpiedad indica que ls ds lads de una desigualdad se pueden multiplicar pr cualquier númer psitiv para btener tra desigualdad cn la misma dirección. Pr ejempl, si se multiplican pr ambs lads de la desigualdad, btenems ( ) ( ) y n cambia el símbl. Si dividims ambs lads entre tampc cambia la dirección de la desigualdad. Pág.2
3 PROPIEDAD 3. Si ambs lads de una desigualdad se multiplican pr un númer negativ, se btiene tra desigualdad cuya dirección es cntraria a la de la desigualdad riginal. Esta prpiedad indica que si ambs lads de una desigualdad se multiplican pr un númer negativ se btiene tra desigualdad, per cn dirección cntraria. Pr ejempl, si se multiplican pr ambs lads de la desigualdad, btenems ( )( ) ( )( ) y el símbl se cnvierte en símbl. Si se dividen ambs lads entre también se invierte la dirección de la desigualdad.. Pr ejempl, si se divide entre ambs lads de la desigualdad, btenems Una desigualdad lineal en siguientes, siend : es aquella que se puede expresar en una de las frmas Las desigualdades lineales se pueden reslver exactamente cm las ecuacines lineales, per cn una excepción. Si multiplicams dividims ambs lads pr un númer negativ, debems cambiar la dirección de la desigualdad. Ejempl. Reslver la desigualdad lineal ( ), se resuelve despejand el valr de, en primer lugar, pasams el 3 dividiend al 9 ( ) ahra cm el 9 está restand l pasams al tr lad de la igualdad sumand, est es, cm el 2 está multiplicand l pasams dividiend al tr lad, pr l tant, esta desigualdad se cumple para tds ls valres de, de tra manera el cnjunt slución sn tds l valres de que se encuentran en el interval ( ). Ejempl reslver la desigualdad lineal ( ) ( ) Slución quitams paréntesis a ambs lads de la desigualdad Separams términs que tienen y ls que n l tienen, ls que tienen ls dejams en el lad izquierd y ls que n l tienen ls pasams a lad Pág.3
4 derech de la desigualdad, de la siguiente manera enseguida sumams términs semejantes el 15 que está dividiend en el lad izquierd l pasams multiplicand para el lad derech ( )( ) cm el 2 tienen sign negativ al despejar y pasar el -2 dividiend al tr lad de la desigualdad tenems que cambiar el sentid de la desigualdad pr l tant tenems que. esta desigualdad se cumple para tds ls valres de, de tra manera el cnjunt slución sn tds l valres de que se encuentran en el interval ( ). DESIGUALDADES COMPUESTAS. La desigualdad cmpuesta es equivalente a y Ejempl. reslver la desigualdad cmpuesta esta desigualdad expresa que está entre -3 y 7, se resuelve despejand a, es decir hay que buscar que la se quede sla, cm el 5 está sumand, l pasams restand tant al lad izquierd cm al lad derech de la desigualdad, de la siguiente manera y cm el 2 esta multiplicand a, este l pasams dividiend tant al lad izquierd cm al lad derech de la desigualdad, de la siguiente manera esta desigualdad se cumple para tds ls valres de y, pr l tant el cnjunt slución sn tds l valres de que se encuentran en el interval ). Ejempl. Reslver la desigualdad en este cas es impsible dejar sl a entre ls símbls de desigualdad, pr l cuál reslverems pr separad cada desigualdad. de la siguiente manera: a) y b) La desigualdad a) pasams las x para el lad izquierd y ls que n tenga x a lad derech de la desigualdad, dejams sl a x y pasams el -1 dividiend a lad derech y pr cnsiguiente cambiams el sentid de la desigualdad, Pág.4
5 Reslviend la desigualdad b) pasams las x para el lad izquierd y ls que n tenga x a lad derech de la desigualdad, dejams sl a x y pasams el -2 dividiend a lad derech y pr cnsiguiente cambiams el sentid de la desigualdad, Esta desigualdad sl se cumple para valres de, y, pr l tant el cnjunt slución sn tds l valres de interval ( ). que se encuentran en el I. Resuelva las desigualdades de ls ejercicis siguientes, exprese el resultad en ntación de interval y grafique el cnjunt slución. 1. Sl. 2. Sl. 3. Sl. 4. Sl. 5. Sl. 6. sl. 7. Sl. 8. Sl. 9. Sl. ). 10. Sl. 11. ( ) ( ) sl. 12. ( ) ( ) Sl ( ) sl. II. Resuelva las desigualdades cmpuestas de ls ejercicis siguientes, exprese el resultad en ntación de interval y grafique el cnjunt slución ( ) Sl. ( ) 3. ( ) 4. ) Sl. ) Sl. ( ) Sl. Pág.5
6 ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS. Valr abslut de Si Si Est ns indica que el valr abslut de cualquier númer real siempre es psitiv. Si equivale a Ecuacines cn valr abslut. El valr abslut de un númer representa la distancia, en la recta numérica, entre un punt y el rigen. Las slucines de sn las crdenadas de ds punts que quedan exactamente a unidades del rigen. La ecuación indica que un punt de la recta numérica, cuyas crdenadas es está a 7 unidades del rigen. Así, puede ser. La slucines de la ecuación sn 10 y -4 Ejempl reslver la ecuación Slución. La ecuación la pdems escribir en la frma La slucines de la ecuación sn Ejempl. Reslver la ecuación Slución. Primer pasams el 4 restand para el lad derech de la igualdad, para dejar el valr abslut en el lad izquierd. Pág.6
7 Ahra pdems escribir la ecuación en las frmas despejand despejand Las slucines de la ecuación sn y TEOREMA Si es equivalente a Desigualdades cn valr abslut es equivalente a ( ) Ej pl lv l d ig ld d Slución. Escribims la desigualdad en frma de desigualdad cmpuesta y despejams a equivale a el cnjunt slución cmprende tds ls valres de tdas las que estén en el interval ( ). Ejempl. Reslver la desigualdad Slución. Escribims la desigualdad en frma de desigualdad cmpuesta y despejams a equivale a Pág.7
8 el cnjunt slución cmprende tds ls valres de tdas las que estén en el interval. TEOREMA Si es equivalente a es equivalente a Ejempl. Reslver la desigualdad Slución. Descmpnems la desigualdad en ds desigualdades independientes, y despejams a x de cada una. es equivalente a a Despejand a x en la desigualdad Despejand a x en la desigualdad El cnjunt slución cmprende tds ls valres de y tdas las que están en ls intervals ( ) ( ) Ejemp. Reslver la desigualdad Slución. Descmpnems la desigualdad en ds desigualdades independientes y despejams a x de cada una. es equivalente a Despejand a x en la desigualdad ( )( ) Pág.8
9 para despejar la x pasams ( ) dividiend al lad derech de la desigualdad cm es un númer negativ, cambiams el sentid de la desigualdad est es. Despejand a x en la desigualdad ( )( ) para despejar la x pasams ( ) dividiend al lad derech de la desigualdad cm es un númer negativ, cambiams el sentid de la desigualdad est es. El cnjunt slución cmprende tds ls valres y tdas las que están en ls intervals ( ) III. Resuelva las desigualdades de ls ejercicis siguientes, exprese el resultad en ntación de interval y grafique el cnjunt slución. 1. Sl ( ) 2. Sl. 3. Sl Sl. ( ) ( ) Sl. ( ) ( ) Sl Sl. ( ) ( ) Sl. ( ) Pág.9
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