Ejercicios de Diferenciabilidad
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- Eduardo Mora Revuelta
- hace 7 años
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1 Ejercicis de Dierenciabilidad ) a) Obtener un valr aprimad de (-,05) + (,0). b) Calcular aprimadamente sen (,6) e /,57 (ejercici 0 capítul, []) 0.0 teniend en cuenta la aprimación ) El larg el anch de un rectángul miden respectivamente 0 cm 4 cm, cn un errr máim en la medición de 0, cm en cada una de las dimensines. Use dierenciales para estimar el errr máim en el área calculada del rectángul (ej sección 4.4 []). ) Supnga que el lectr necesita saber una ecuación del plan tangente a la supericie S en el punt P(,,). N tiene una ecuación para S per sabe que las curvas r (t) = (+t, -t, -4t + t ) r (u) = (+u, u -, u + ) se encuentran ambas en S. Encuentre una ecuación del plan tangente a S en P (ejercici 4 sección 4.4 [] ). 4) En un ciert prces prductiv se emplean piezas de maquinaria peradas pr trabajadres, bteniéndse (, ) 0 unidades de prduct. Se parte de la situación inicial de = 000 máquinas e = 8000 trabajadres, se desea btener un increment de prducción del 0,%. Analizar las siguientes psibilidades. a) La empresa adquiere una nueva máquina. Cuánts trabajadres adicinales debería cntratar? b) Pr necesidades de prducción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser perada pr ds trabajadres. Cuántas máquinas nuevas habría que adquirir cuants trabajadres habría que cntratar para prducir el mism increment? c) La empresa cntrata 40 nuevs trabajadres. Cóm interpretar el resultad btenid? (Página 4 []) Slucines Cmencems cn un ejercici sencill para amiliarizarns cn ls cncepts básics. ) a) Obtener un valr aprimad de (-,05) + (,0) Si ns hubieran pedid calcular (-) +, bviamente n habría ninguna diicultad en respnder de rma inmediata que el valr es 0. Vams a aprvechar este hech para dar la aprimación pedida. Cnsiderems la unción el punt (, ) (, ) = (-,). Pr. Julieta Recanzne - de
2 El valr que debems aprimar esta dad pr (-.05,.0), sabiend que (-,) = 0 El increment de la unción está dad pr: = ( -.05,.0) (-, ) = ( - + (-0.05), + 0.0) (-, ) Cm (, ) = (-, ), el vectr de increments es (, ) = ( -0.05, 0.0). La unción es dierenciable en R (ejercici), cn l cual, pdems aprimar el valr de pr el valr de la dierencial de en el punt (-, ) crrespndiente al increment (-0.05, 0.0), l cual ntarems d : d d (,. cn l cual resulta : (.05,,0) inalmente ). d. ( (,), (.05,,0) (,) ). d (,).( 0.05) (,).( 0.05) (,). 0.0 (,). 0.0 Finalmente, el valr pedid es (.05,,0) El valr eact, si recurrims a la calculadra, es 0,84. Pdems bservar que la aprimación que btuvims es cercana. Tratems de interpretar gemétricamente el prblema. Debid a la escasa claridad que ns rece la representación en dimensines del parablide cn su plan tangente en el punt cnsiderad, realizarems esquemas aclarativs que n crrespnden a la representación gráica de la unción que estams cnsiderand aquí. Cnsiderems la supericie S dada pr el punt z = (, ) P (,, z ) = (-,, (-, ) ) = (-,, 0) Sea C la curva intersección de la supericie S cn el plan de ecuación =. (, ) representa la pendiente de la recta T tangente a la curva C en el punt P. El vectr tangente a la curva C en el punt P es u = (, 0, (, ) ) Pr. Julieta Recanzne - de
3 z Plan = T C z (, ) C u S Una psible parametrización de C es: C z (, ) de dnde se btiene el vectr u. De manera similar sea C es la curva intersección de la supericie S cn el plan de ecuación =. (, ) representa la pendiente de la recta T tangente a la curva C en el punt P. El vectr tangente a la curva C en el punt P es u = ( 0,, (, ) ) z Plan = C u S T C z (, ) Una psible parametrización de C es: C z (, ) de dnde se btiene el vectr u. El plan tangente a la supericie que pasa pr el punt P (,, z ) debe cntener a las rectas tangentes a la supericie S en las direccines de e en el punt P, pr l que un vectr n nrmal al plan tangente pdems btenerl haciend el prduct vectrial entre u u : Pr. Julieta Recanzne - de
4 n u u 0 0 (, ) (, ) (,, ) z n S P u u Plan tangente Recrdand l aprendid en Algebra I, una ecuación del plan cn vectr nrmal n que pasa pr el punt (,, z) es: (, ).( ) (, ). ( ). ( z z) 0 O equivalentemente: z z =, ).( ) (, ).( ) ( cm a se había btenid en tería. La epresión lineal btenida de la ecuación anterir despejand z, L(, ) es: L(, ) = z +, ).( ) (, ).( ) ( d es la única epresión lineal en e que aprima a la unción (, ) en el punt indicad, que llamams aprimación lineal aprimación del plan tangente en (,, z). Pr. Julieta Recanzne - 4 de
5 Destaquems que: d representa el increment que eperimentaría la unción al pasar de (, ) a ( +, + ) si la unción se sustituese pr su aprimación lineal en (, ). Representa el increment medid sbre el plan tangente a S en el punt (,, z) es el increment real que eperimenta la unción al pasar de (, ) a ( +, + ) medid sbre la supericie b) Calcular aprimadamente /,57 sen (,6) e 0.0 teniend en cuenta la aprimación Si mirams detenidamente el valr que ns piden calcular, pdems ntar que es ácil realizar sin calculadra el cálcul más sencill sen / e 0 l cual ns sugiere cnsiderar el punt (, ) = (π/, 0) el vectr de increments (, ) = (.6.57) = (0.09, -0.0) la unción (, ) sen e. Pr. Julieta Recanzne - 5 de
6 La unción así deinida es dierenciable en R, pues: (,) = anula: sen cs sen e e 0 sen sen 0 e es cntinua en R dad que el denminadr nunca se 0 (, ) R De manera similar (, ) es cntinua en R (ejercici) Aplicand el terema Si las derivadas parciales eisten cerca de (, ) sn cntinuas en (, ) entnces es dierenciable en (, ) la unción resulta dierenciable en (π/, 0) se puede aprimar el increment de la unción pr su dierencial en el punt: d d ( cn l cual resulta : (.6, 0), ). d ( ( /, 0), ). d inalmente usand la aprimaciòn dada /.57 tenems (.6, 0) (.57, 0) ( /, 0).(0.09) sen sen (.57, 0).(0.09) cs e. e ( /, 0). ( 0.0) sen (.57, 0). ( 0.0) e. ) El larg el anch de un rectángul miden respectivamente 0 cm 4 cm, cn un errr máim en la medición de 0, cm en cada una de las dimensines. Use dierenciales para estimar el errr máim en el área calculada del rectángul (ej sección 4.4 Stewart). 0 cm 4 cm Cnsiderems la unción (,) = que da el área de un rectángul de lads e. En el cntet del prblema, Dm= (, ) / 0, 0 Tmems = 0, = 4 Omitims trabajar cn las unidades pues tdas las medidas están epresadas en cm. Cm el errr al medir cada un de ls lads es 0. cm, tenems que 0., 0. La unción es dierenciable en td su dmini, pues: (, )= (,) = cntínuas en R Pr. Julieta Recanzne - 6 de
7 Para determinar el errr máim en la medición del área tmarems el máim errr en la medición de cada un de ls lads, es decir, tmarems = 0. = 0.. Errr máim = máim máim d Entnces: d (, ) d (, ) d d , 0. 0, Cmparems, en este sencill prblema, el valr aprimad d = 5.4 cn el increment real: ( 0., 4.) (0, 4) 5,4 5.4 Representa el área del rectángul de lads 0, 4, Representa el área del rectángul riginal de lads 0 4 Obviamente d. Más aún, d = 0.0 Interpretems ls resultads btenids: = ( +, + ) (, ) = ( + ).( + ). = = = = 0 + 0,. = 0. 0,. 0,. 0,. = = 4. 0, + = 4 + 0, Ls primers ds términs de esta epresión se crrespnden cn ls increments parciales de la unción, btenids ijand un de ls lads e incrementand el tr: Increment respect a : = (+, ) - (,) =. =,4 Increment respect a : = (, + ) - (,) =. = Cn l cual vems que Pr. Julieta Recanzne - 7 de
8 = + +. = = d = 5.4 La dierencia está en el términ. = 0.0, el cual aparece pr el hech de que la unción n es lineal, pr tant el increment medid sbre la unción diiere del increment medid sbre el plan tangente al cual crrespnde la epresión lineal +. Es decir, el increment medid sbre la unción n es equivalente a la suma de ls increments parciales. ) Supnga que el lectr necesita saber una ecuación del plan tangente a la supericie S en el punt P(,,). N tiene una ecuación para S per sabe que las curvas r (t) = (+t, -t, -4t + t ) r (u) = (+u,u -, u + ) se encuentran ambas en S. Encuentre una ecuación del plan tangente a S en P Para hallar la ecuación del plan tangente a la supericie S, tenems distints camins: - si cncems la ecuación z = (, ) de la supericie, sabems que la misma es dierenciable, usand dierenciales btenems de rma casi inmediata una epresión para el plan tangente, mediante la epresión z z (, )( ) (, )( ) - si n tenems la ecuación que representa a S, per sabems que la supericie psee plan tangente en un ciert punt, debems tratar de hallar el plan tangente cn tras herramientas. En nuestr cas, n pseems la inrmación sbre la eistencia del plan tangente per pdems supner, dad que pide hallarl, que la supericie S psee dich plan en el punt en cuestión. Además pseems inrmación sbre ds curvas C C que están cntenidas en S, cn ecuacines paramétricas r r respectivamente. Más aún, pdems bservar que el punt P (,, ) está en ambas curvas, para ls valres de ls parámetrs t = 0 u = : P C: r (0) = (,,) P C: r () = (,,) Además, pr la prpia deinición de plan tangente, sabems que si C es una curva cualquiera cntenida en S que pasa pr el punt P, entnces su tangente en P también estará cntenida en el plan tangente a S que pasa pr P. Pr. Julieta Recanzne - 8 de
9 De este md, pdems btener ds vectres tangentes a las curvas C C que están cntenids en el plan tangente que deseams hallar. Entnces: Vectr tangente a C que pasa pr P: r (t) = (, -t, -4 + t) para t = 0 btenems r (0) = (, 0, -4) Vectr tangente a C que pasa pr P: r (t) = (u, 6u, ) para u = btenems r () = (,6,) // (,,) = u Recrdand l aprendid en Algebra I, un vectr nrmal al plan tangente buscad puede ser r (0) u = n n n = r (0) u n i j k 0 4 (, 7, 9) u r (0) Ecuación del plan tangente: 7 9z d 0 Cm P(,, ) pertenece al plan tangente, btenems d reemplazand las crdenadas de P en la ecuación anterir, cn l cual la ecuación del plan tangente pedid es: 7 9z ) En un ciert prces prductiv se emplean piezas de maquinaria peradas pr trabajadres, bteniéndse (, ) 0 unidades de prduct. Se parte de la situación inicial de = 000 máquinas e = 8000 trabajadres, se desea btener un increment de prducción del 0,%. Analizar las siguientes psibilidades. a) La empresa adquiere una nueva máquina. Cuánts trabajadres adicinales debería cntratar? b) Pr necesidades de prducción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser perada pr ds trabajadres. Cuántas máquinas nuevas habría que adquirir cuants trabajadres habría que cntratar para prducir el mism increment? c) La empresa cntrata 40 nuevs trabajadres. Cóm interpretar el resultad btenid? Cmencems ntand que un % de increment en la prducción signiica un % de la prducción inicial: Prducción inicial: (, ) = (000, 8000) = unidades de prduct. Increment del %: = ( +, + ) = (000 +, ) = % de = 40 Pr. Julieta Recanzne - 9 de
10 a) Si la empresa adquiere una nueva máquina, ns están diciend que =, al preguntarns cuants trabajadres adicinales debería cntratar ns está pidiend que hallems. Si utilizams la epresión que ns da las unidades de prducción, deberíams reslver la ecuación cua incógnita es : 40 (, ) (000, 8000 ) (8000 ).(8000 ) (, ) 40 (000, 8000) Aún cuand pdems reslver esta ecuación sin mar diicultad, vams a tratar de btener la slución usand una aprimación lineal. De este md la cmplejidad resultará bastante menr. En el cntet de nuestr prblema, cm e representan cantidades psitivas n nulas, más aún enteras, resulta que la unción es dierenciable (ejercici) en su dmini. Entnces pdems utilizar la aprimación d. d d (, ) d (, ) d d d De esta manera, la slución de la ecuación = 40 se puede estimar reslviend la ecuación d = 40, que es una ecuación lineal en : = 40 = 0 Est signiica que si la empresa cmpra una nueva máquina desea incrementar la prducción en 40 unidades deberá cntratar 0 nuevs empleads. b) Pr necesidades de prducción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser perada pr ds trabajadres. Cm representa la cantidad de máquinas adicinales representa la cantidad de trabajadres adicinales, la cndición pedida se escribe simbólicamente: =. Cm deseams prducir el mism increment, tenems que reslver la ecuación d = 400 cn la relación = (. ) = 40 = 4 = 8. Es decir, se deberán adquirir 4 máquinas nuevas 8 trabajadres nuevs para prducir el increment desead cn la cndición impuesta. c) La empresa cntrata 40 nuevs trabajadres. Cóm interpretar el resultad btenid? Pr. Julieta Recanzne - 0 de
11 Si cntrata 40 nuevs trabajadres, supniend que desea el mism aument de prductividad, tenems: = = = 40 = -4 Qué signiicad tiene en el cntet de nuestr prblema un increment negativ? Que la empresa pdría prescindir de 4 máquinas aún así prducir el aument prpuest. Bibligraía [] Cálcul dierencial de varias variables. C. F. Pérez, F. J. V. Hernández, J. M. V. Mntaner. Editrial Thmsn. [] Cálcul. Trascendentes tempranas. J. Stewart. Editrial Thmsn. Seta edición. Pr. Julieta Recanzne - de
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