EE525M ANTENAS ARREGLO DE FUENTES PUNTUALES, PARTE I

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1 EE55M ANTENAS 9-1 Este capitul incluye ls siguientes tópics: ARREGLO DE FUENTES PUNTUALES, PARTE I -Ejempl de arregl de ds fuentes puntuales. -Multiplicación de patrón. -Síntesis de patrón. -Fuentes n istrópicas. -Arregl lineal de "n" fuentes puntuales. -Arregls de radiación transversal y lngitudinal. -Angul en la dirección de ls nuls y ls punts de media ptencia. 5-1 INTRODUCCIÓN En el capitul una antena fue tratada cm una apertura. En el capitul 4 una antena fue cnsiderada cm una única fuente puntual. En este capitul nstrs cntinuams cn el cncept de fuente puntual, per l exteems a una cnsideración de arregl de fuentes puntuales. Esta metdlgía es de gran valr debid a que el patrón de cualquier antena puede ser vist cm prducid pr el arregl de fuentes puntuales. Gran parte de esta discusión cncernirá arregls de fuentes puntuales istrópicas las cuales pueden representar diferentes tips de antenas. Cn la infrmación de este capitul y ls prgramas de cmputadras dispnibles, ls estudiantes estarán apts de diseñar arregls que prduzcan la mayría de patrnes deseads. 5- ARREGLOS DE DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES Intrduzcams el tema de arregl de fuentes puntuales para la cnsideración de la situación más simple, particularmente, de ds fuentes istrópicas puntuales. Cm ilustracines, cinc cass que invlucran fuentes puntuales istrópicas sn discutids. CASO 1. DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE LA MISMA AMPLITUD Y FASE El primer cas que analizarems es el de ds fuentes puntuales istrópicas que tienen igual amplitud y scilan en la misma fase. Deja las ds fuentes puntuales, 1 y, estar separadas pr una distancia "d" y lcalizads simétricamente cn respect al rigen de las crdenadas cm se muestra en la figura 5-1a. El ángul "φ" es medid en sentid antihrari desde el eje "X" psitiv. El rigen de crdenadas es tmad cm referencia para la fase. Entnces a una distancia del punt en la dirección "φ" el camp de la fuente 1 es retardad pr (1/)d r cs(φ), mientras el camp de la fuente esta adelantad pr (1/)d r cs(φ), de d, es la distancia entre las fuentes expresadas en radianes; est es: d r π d = = βd λ El camp ttal a una distancia r en la dirección "φ" es entnces E = E e + E e (1) jψ / + jψ / De ψ= d r csφ y la amplitud de las cmpnentes del camp a la distancia r están dadas pr E. El primer términ en (1) es la cmpnente del camp debid a la fuente 1 y el segu términ es la cmpnente debid a la fuente. Ecuación (1) también puede ser escrita de la siguiente manera + jψ / jψ / e + e E = E () la cual pr una identidad trignmétrica es ψ dr E = E cs = E cs( csϕ)..(3) Este resultad puede también ser btenid cn la ayuda del diagrama vectrial mstrad en la figura 5-1b, del cual la ecuación (3) cntinúa directamente. Nstrs ntams en la Fig. 5-1b que la fase del 1

2 EE55M ANTENAS 9-1 camp ttal E n cambia cm una función de "ψ".para nrmalizar (3), en tras palabras, tmar su máxima unidad de valr, y pner E =1. Supner además que d es λ/. Entnces d r =π. Incluye estas cicines en (3) ns resulta π = cs( csϕ) E. (4) y A un punt distante 9 6 d/ 1 d/ (a) φ x 3 (c) E e +j(ψ/) (de la fuente ) E e -j(ψ/) (de la fuente 1) Figura 5-1 ψ/ ψ/ E (b) (a) Relación en el arregl crdenad de ds fuentes puntuales istrópicas separadas pr una distancia d. (b) Vectr adición de ls camps de ds fuentes puntuales istrópicas de igual magnitud y misma fase lcalizadas cm en (a). (c) Patrón de camp de ds fuentes puntuales istrópicas de igual magnitud y misma fase lcalizadas cm en (a) para el cas de la separación es d=λ/. El patrón de camp de E versus "φ" cm esta expresad en (4) es presentad en Fig. 5-1c. El patrón es una figura bidireccinal en frma de ch cn lngitud máxima sbre el eje Y. El patrón de espaci tiene frma de rquilla, resulta de la revlución de la figura de este patrón alrededr de la abscisa X. El mism patrón puede ser btenid a través de la lcalización de la fuente 1 en el rigen de crdenadas y la fuente a una distancia d a l larg de la abscisa X cm esta iicad en la Fig. 5- a. Tma ahra el camp de la fuente 1 cm referencia, el camp de la fuente en la dirección "φ" esta adelantad pr d r cs(φ). De esta manera, el camp ttal E a una gran distancia r es el vectr suma de ls camps de las ds fuentes sn dadas pr E = E + Ee + jψ.(5) de ψ=d r cs(φ) La relación de ests camps es iicada pr el diagrama vectrial de la Fig. 5-b. Del diagrama vectrial la magnitud del camp ttal es

3 EE55M ANTENAS 9-1 ψ E E cs = E d cs csϕ r =.. (6) cm se btuv en el resultad anterir (3). La fase del camp ttal, sin embarg, n es cnstante en este cas per es ψ/, cm también es mstrad al reescribir la ecuación (5) de la frma jψ / jψ / jψ jψ / e + e E = E(1 + e ) = Ee ( ) = Ee jψ / ψ cs..(7) Nrmaliza al pner E =1, (7) se btiene l siguiente ψ ψ cs = cs ψ / ψ / E = e j..(8) En (8) el factr csen ns da la variación de amplitud de E, y la expnencial factr de ángul, ns da la variación de fase cn respect a la fuente 1 cm la referencia. La variación en fase para el cas de λ/ separad (d r =π) es mstrad pr la línea punteada en la Fig. 5-c. Aquí el ángul de fase cn respect a la fase de la fuente 1 esta dada pr ψ/=(π/)csφ. La variación de magnitud para este cas ya ha sid presentada en la Fig. 5-1c. Cua la fase es referida al punt medi entre las fuentes (Fig. 5-1a), n hay ningún cambi de fase alrededr del arregl cm es mstradr pr la línea sólida en Fig. 5-c. De esa manera, un bservadr a una distancia fija n bserva ningún cambi en la fase cua un arregl es rtad (cn respect a φ) alrededr de su punt medi, per un cambi (la curva punteada en la Fig. 5-c) es bservad si el arregl es rtad cn la fuente 1 cm centr de rtación. y E e +jψ (de la fuente ) d csφ φ 1 d (a) x φ = ψ/ ψ/ E (de la fuente 1) (b) +9 ψ/ Rtación alrededr de la fuente 1 Rtación alrededr del punt central del arregl φ Figura 5- (c) (a) Ds fuentes puntuales istrópicas cn el rigen del arregl crdenad cincidente cn una de las fuentes. (b) Vectr adición de camp de ds fuentes puntuales istrópicas de igual amplitud y misma fase lcalizadas cm en (a). 3

4 EE55M ANTENAS 9-1 (c) Fase del camp ttal cm una función de φ para ds fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud y fase separadas pr λ/.el cambi de fase es cer cua se refiere al punt central del arregl per es ψ/ cm es mstrad pr la curva punteada cua es referid a la fuente 1. CASO. DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL MAGNITUD PERO FASE OPUESTA Este cas es idéntic cn el primer que hems cnsiderad except que las ds fuentes están en fase puesta en lugar de la misma fase. Cm al dejar las fuentes cm en la Fig. 5-1a. Entnces el camp ttal en la dirección "φ" a una distancia r grae esta dad pr E = E e E e.(9) + jψ / jψ / de la cual se btiene ψ dr E jesen = jesen( csϕ) = (1) Mientras que el Cas 1 (ecuación 3) invlucra el csen de ψ/, la ecuación (1) para el Cas invlucra el sen. La ecuación (1) también incluye un peradr "j", iica que la fase inversa de una de las fuentes, en el Cas resulta en un desfasaje de 9º del camp ttal cua es cmparad cn el camp ttal para el Cas 1. Est n es muy imprtante aquí. De esta md, pnie je =1 y cnsidera el cas especial de d=λ/, la ecuación (1) llega a ser π E = sen( csϕ)...(11) Las direccines máximas de camp φ m sn btenidas al pner el argument de la ecuación (11) igual a ±(k+1)π/. De esta manera π π csϕ = ± (k + 1) m..(11a) de k=, 1,, 3... Para k=, csφ m =±1 y φ m =º y 18º. Las direccines de nuls φ sn dadas pr π csϕ = ±kπ.(11b) Para k=, φ =±9º. Las direccines de media ptencia están dadas pr π π csϕ = ± (k + 1) 4..(11c) Para k=, (φ)=±6º, ±1º. El patrón de camp dad pr (11) es mstrad en la Fig El patrón es una figura relativamente ancha en frma de ch cn el camp máxim en la misma dirección de la línea que une las fuentes 4

5 EE55M ANTENAS 9-1 (abscisa X). El patrón de espaci es una figura de revlución de su patrón alrededr del eje X. Las ds fuentes, en este cas pueden ser descritas cm un tip simple de arregl lngitudinal de radiación. En cntraste a este patrón, las fuentes puntuales "en fase" prducen un patrón cn el camp máxim nrmal a la línea que une las fuentes, cm se muestra en la Fig. 5-1c. Las ds fuentes para este cas pueden ser descrita cm un simple arregl de radiación transversal. CASO 3. DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES DE LA MISMA AMPLITUD Y EN FASE CUADRATURA Lcaliza las ds fuentes puntuales cm la Fig. 5-1a. Tma el rigen de crdenadas cm la referencia para la fase, la fuente 1 es retardada pr 45º y la fuente es adelantada 45º. Entnces el camp ttal en la dirección φ a una distancia grae resta dada pr = E dr csϕ π exp + j + + E exp 4 dr csϕ π j E (1) λ/ Figura 5-3 Patrón de camp relativ para ds fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud per fase puesta, separadas λ/. De (1) btenems π dr = E cs + csϕ 4 E...(13) Hacie E =1 y d=λ/ se llega a tener 5

6 EE55M ANTENAS 9-1 π π = cs + csϕ 4 E... (14) El patrón de camp dad pr (14) es presentad en Fig El patrón de espaci es una figura de revlución de su patrón alrededr del eje X. La mayr parte de la radiación esta en el segu y tercer cuadrantes. Es interesante ntar que el camp en la dirección φ=º es el mism que el de la dirección φ=18º. Las máximas direccines de camp φ m sn btenidas al pner el argument de (14) igual a kπ, de kπ=, 1,,3... De esta manera btenems π + π cs ϕ 4 m = kπ... (15) Para k= π π csϕ = 4 y m...(16) ϕ = 1º ryr 4º...(17) m Si el espaciamient entre las fuentes es reducid a λ/4, (13) se cnvierte en π π = cs + csϕ 4 4 E... (18) El patrón de camp para este cas es ilustrad pr Fig. 5-5a. Este tiene la frma de una cardiide, de patrón unidireccinal cn máxim camp en la dirección negativa del eje X. El patrón de espaci es una figura de revlución de su patrón alrededr del eje X λ/ Figura 5-4 6

7 EE55M ANTENAS 9-1 Patrón de camp relativ para ds fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud y fase en cuadratura para una separación de λ/. La fuente hacia la derecha adelanta a la de la izquierda pr 9º. Un métd simple para determinar la dirección máxima del camp es ilustrad en la Fig. 5-5b. Cm se puede apreciar iicada pr vectres, la fase de la fuente es º (vectr a la derecha) y la fase de la fuente 1 es 7º (vectr hacia abaj). De esta manera, la fuente adelanta a la fuente 1 en un desfasaje de 9º. Para encntrar el camp radiad a la izquierda, imagine que partims de la fuente (fase º) y ns dirigims a la izquierda, viaja cn la a (fase º) cm surfer "crrie las". La fase de la a cn la que estams viaja es º y n cambia per para el mment en que hems viajad λ/4 y arribad a la fuente 1, un 1/4 de perid habrá transcurrid, pr es la crriente en la fuente 1 habrá avanzad 9º (vectr rtad ccw) de 7º a º, pniése en la misma fase que la a cn la que estams viaja. Cm al centr del diagrama en la Fig. 5-b. De esta manera, el camp de la a de la fuente refuerza al de la fuente 1, y ls ds camps viajan a la izquierda junts en fase prducie un camp máxim a la izquierda el cual es ds veces el camp de cualquiera de las fuentes sla. Ahra imagine que partims de la fuente 1 cn fase 7º (vectr hacia abaj) y viajams a la derecha. Para el mment en que arribems a la fuente su camp habrá avanzad de º a 9º pr es esta se encuentra en fase puesta y cancela el camp de la a cn la que estams viaja, cm en el diagrama de la Fig. 5-5b, resulta en radiación cer a la derecha. CASO 4. CASO GENERAL DE DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES DE IGUAL MAGNITUD Y CUALQUIER DESFASAJE Prcedie ahra cn una situación más general, cnsiderems el cas de ds fuentes istrópicas puntuales de igual amplitud per de diferente fase φ. La diferencia ttal en fase "ψ" entre ls camps de las fuentes un y ds a un punt de distancia en la dirección "φ" (ver Fig. 5-a) es entnces ψ = csϕ + δ d... (19) r (a) 18 1 λ/4 eje x (b) De a 1 el camp se duplica x 1 λ/4 +x De 1 a el camp se anula (nul) Figura 5-5 7

8 EE55M ANTENAS 9-1 (a) (b) Patrón de camp relativ de ds fuentes istrópicas de la misma amplitud y en fase cuadratura para una separación de λ/4. La fuente adelanta a la fuente 1 pr 9º. Diagramas de vectres ilustra el refrzamient de ls camps en la dirección X y cancelación de camp en la dirección +X. Tma la fuente 1 cm referencia para la fase, el sign psitiv en (9), iica que la fuente esta adelantada en fase pr un ángul φ. Un sign mens seria usad para iicar un retard de fase. Si es que, en ves de referirse a la fase de la fuente 1, esta se refiere al punt central del arregl, la fase del camp de la fuente 1 a un punt de distancia, esta dad pr -ψ/ y el de la fuente pr +ψ /. El camp ttal es entnces E = E + jψ / jψ / ( e + e ) = E ψ cs...() nrmaliza la EC. () tenems la expresión general para el patrón de camp de ds fuentes istrópicas de igual amplitud y fase arbitraria, E = cs ψ... (1) de ψ esta dad pr (19). Ls tres cass que hems discutid sn evidentemente cass especiales de (1). De esta manera, ls cass 1, y 3 sn btenids de (1) cua "δ" es º, 18º y 9º respectivamente. y E ae φ 1 d x E ξ ψ Figura 5-6 (a) (b) (a) Ds fuentes puntuales istrópicas de diferente amplitud y fase arbitraria cn respect del arregl de crdenadas. (b) Vectr suma de ls camps dispuests cm en (a). La amplitud de la fuente se asume que es más pequeña que la de la fuente 1 pr un factr a. CASO 5. CASO MAS GENERAL DE DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE DIFERENTE AMPLITUD Y CUALQUIER DIFERENCIA DE FASE Una situación much más general, invlucra ds fuentes puntuales, existe cua las amplitudes sn diferentes y la diferencia de fase arbitraria. Cn las fuentes situadas cm en la figura 5-6a cn la fuente 1 en el rigen. Se asume que la fuente 1 tiene una amplitud mayr respect a la fuente y que su camp a una gran distancia r tiene una amplitud de E. Deja el camp de la fuente a un valr de amplitud ae ( a 1) a la distancia de r. Entnces refiriéns a la figura 5-6b, la magnitud y ángul de fase del camp ttal E esta dad pr [ asenψ /(1 acs )] E E (1 + acsψ ) + a sen ψ arctan + ψ = () 8

9 EE55M ANTENAS 9-1 de ψ=d r csφ+δ y el ángul de fase ( ) es referid a la fuente 1. Este es el ángul de fase "ξ" mstrad en la Fig. 5-6b. 5-3 FUENTES PUNTUALES NO ISOTRÓPICAS Y EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES Tds ls cass cnsiderads en la sección precedente invlucran fuentes puntuales istrópicas. Ests pueden ser fácilmente exteids a una situación más general en la cual las fuentes sn n istrópicas per similares. La palabra similar es aquí usada para iicar que la variación cn el ángul abslut "φ" de ambs, amplitud y fase, del camp es la misma. Las amplitudes máximas de las fuentes iividuales pueden ser diferentes. Si, sin embarg, sn también iguales, las fuentes n sn slamente similares sin que sn idénticas. Cm un ejempl, recnsiderems el Cas 4 de la sección 5- en la cual las fuentes sn idénticas, cn la mdificación que ambas fuentes 1 y tienen patrnes de camp dads pr E = E 'senϕ. (1) Dipls Crts y 1 d φ x Figura 5-7 Ds fuentes n istrópicas cn respect al arregl de crdenadas. Patrnes de este tip deben ser prducids pr dipls crts rientads de manera paralela respect a eje X cm se sugirió en la Fig Sustituye (1) en (5--) y nrmaliza al pner E =1, ns resulta el camp patrón del arregl cm E = senϕ cs ψ.() De ψ=d r csφ+ δ Est resultad es el mism cm el btenid al multiplicar el patrón de la fuente iividual (senφ) pr el patrón de ds fuentes istrópicas puntuales (csψ/). Si las fuentes puntuales similares per diferentes del Cas 5 (sección 5-) tienen patrnes cm ls dads pr (1), el patrón ttal nrmalizad es E senϕ ( 1+ acsψ ) + a sen ψ =..(3) aquí tra vez, el resultad es el mism cm el btenid al multiplicar el patrón de la fuente iividual pr el patrón de un arregl de fuentes puntuales istrópicas. Ests ejempls ilustran el principi de multiplicación de patrón, el cual puede ser expresad de la siguiente manera: 9

10 EE55M ANTENAS 9-1 El patrón de camp de un arregl de fuentes puntuales n istrópicas per similares es el prduct del patrón de la fuente iividual de un arregl de fuentes puntuales istrópicas tma las mismas psicines, amplitudes relativas, y fase cm fuentes puntuales n istrópicas. Este principi puede ser aplicad a arregls de cualquier numer de fuentes prprcinada slamente que ellas sn similares. La fuente iividual n istrópica antena puede ser de medida finita per puede ser cnsiderada cm una fuente puntual situada en el punt en la antena a la cual la fase es referida. Este punt es mencinad para ser el "centr de fase". La discusión anterir de la multiplicación de patrón ha sid relacinada slamente cn el patrón de camp magnitud del camp. Si el camp de la fuente n istrópica y el arregl de fuentes istrópicas varían en fase cn el ángul espacial, i.e., que tiene un patrón de fase l cual n es una cnstante, la expresión del principi de multiplicación de patrón puede ser exteida para incluir este cas más general cm sigue: El patrón de camp ttal de un arregl de fuentes n istrópicas per similares es el prduct del patrón de fuente iividual y un arregl de fuentes puntuales istrópicas cada una lcalizada al centr de la fase de la fuente iividual y tenie la misma amplitud relativa y fase, mientras el patrón de fase ttal es la suma de ls patrnes de fase de la fuente iividual y el arregl de fuentes puntuales istrópicas. El patrón de fase ttal es referid al centr de la fase del arregl. En símbls, el camp ttal E es entnces E = f ( θ, ϕ) F( θ, ϕ) f ( θ, ϕ) + F ( θ, ϕ)..(4) De: patrón de camp p p patrón de fase f ( θ, ϕ) = Patrón de camp fuente iividual f ( θ, ϕ) = Patrón de fase fuente iividual p F( θ, ϕ) = Patrón de camp de arregl fuentes istrópicas F ( θ, ϕ) = Patrón de fase de arregl fuentes istrópicas p Ls patrnes sn expresads en (4) cm una función de ambs ánguls plares para iicar que el principi de la multiplicación de patrón se aplica a patrnes de espaci cm también a ls cass bidimensinales que hems estad cnsidera. Para ilustrar el principi, aplicarems ds mdificacines especiales del Cas 1 (sección 5-). Ejempl Asumir ds fuetes puntuales idénticas separadas pr una distancia "d", cada fuente tiene el patrón de camp dad pr (1) cm puede ser btenid pr ds dipls crts puests cm en la Fig Deja a d=λ/ y el ángul de fase δ =º. Entnces el patrón de camp ttal es π = senϕ cs csϕ E.(5) Este patrón es ilustrad pr la Fig. 5-8c cm el prduct del patrón de la fuente iividual (senφ) mstrad en (a) y el arregl patrón cs((π/)csφ) cm es mstrad en (b). El patrón es más agud que el del Cas 1 (sección 5-) para las fuentes istrópicas. A esta distancia, el camp máxim de la fuente iividual esta en la dirección φ=9º, el cual cincide cn la dirección del camp máxim para el arregl de ds fuentes istrópicas. 1

11 EE55M ANTENAS 9-1 Figura 5-8 (a) (b) (c) Ejempl de multiplicación de patrón. Ds fuentes puntuales n istrópicas per idénticas de la misma amplitud y fase, espaciadas λ/ y dispuestas en la frma cm en la Fig. 5-7, prducen el patrón mstrad en (c). La fuente iividual tiene el patrón mstrad en (a), el cual, cua es multiplicad pr el patrón de un arregl de ds fuentes puntuales istrópicas (de la misma amplitud y fase) cm es mstrad en (b), prduce el patrón ttal del arregl de (c). EJEMPLO 5-3. Cnsiderems la siguiente situación en la cual d=λ/ y δ= cm en el Ejempl per cn patrnes de fuente iividual dads pr E = E 'csϕ. (6) Este tip de patrón puede ser prducid pr dipls crts rientads en frma paralela al eje Y cm en la Fig aquí el camp máxim de la fuente iividual esta en la dirección (φ=º) de un nul del arregl, mientras la fuente iividual tiene un nul en la dirección (φ =9º) del máxim patrón del arregl. Pr el principi de multiplicación de patrón el camp nrmalizad ttal es π = csϕ cs csϕ E.(7) El patrón ttal del arregl en el plan XY viene dad pr (7) y esta ilustrad en Fig. 5-1c cm el prduct del patrón de fuente iividual (csφ) mstrad en (a) y el patrón del arregl cs(π/csφ) mstrad en (b). El patrón ttal del arregl en el plan XY tiene cuatr lóbuls cn nuls en ls ejes X e Y. 11

12 EE55M ANTENAS 9-1 Dipls Crts y 1 φ x λ/ Figure 5-9 Arregl de ds fuentes n istrópicas cn respect al arregl crdenad. Figure 5-1 (a) (b) (c) Ejempl de multiplicación de patrón. Patrón ttal del arregl (c) cm el prduct del patrón (a) de la fuente iividual n istrópica y el patrón (b) del arregl ds fuentes istrópicas. El patrón (b) para el arregl de ds fuentes istrópicas es idéntic cn el de la Fig. 5-8b, per el patrón de frente iividual (a) esta rtad a 9º cn respect al patrón de la Fig. 5-8a. Ls ejempls anterires ilustran ds aplicacines del principi de multiplicación de patrón para arregls en ls cuales la fuente tiene un simple patrón. Sin embarg, en el cas mas general la fuente iividual puede representar una antena de cualquier cmplejidad prvist que la amplitud y la fase de su camp pueden ser expresads cm una función que depee de un ángul; es decir, sí que el patrón de camp y el patrón de fase cn respect a la fase central sn cncidas. Sí slamente el patrón de camp ttal es desead, ls patrnes de fase n necesitan ser cncids prvist que las fuentes iividuales sn idénticas. Si ls arregls en ls ejempls anterires sn parte de arregls más grae, ls arregls más pequeñs pueden ser estimads cm fuentes puntuales n istrópicas en el arregl 1

13 EE55M ANTENAS 9-1 más grae - tra aplicación del principi de multiplicación de patrón. De esta manera el principi de patrón de multiplicación puede ser aplicad "n" veces para encntrar ls patrnes de arregls de arregls de arregls. 5-4 EJEMPLO DE SÍNTESIS DE PATRÓN POR MULTIPLICACIÓN DE PATRONES El principi de multiplicación de patrón, discutid en la sección anterir, es de gran ayuda en la síntesis de patrón. A través de la síntesis de patrón es enteid el prces de búsqueda de la fuente arregl de fuentes que prducen un patrón desead. Teóricamente un arregl de fuentes istrópicas puntuales pdría prducir cualquier patrón arbitrari. Este prces n siempre es simple y en alguns cass sea difícil impsible de cnstruir. Alg más simple, de mens elegante metdlgía para el prblema de síntesis de antenas es la aplicación de multiplicación de patrnes para cmbinacines de arregls práctics, la cmbinación que mejr se aprxima al patrón desead es el resultad de un prces de "prueba y errr". Para ilustrar esta aplicación de multiplicación de patrón, cnsiderems el siguiente prblema hiptétic. Una estación emisra (en la baa de frecuencia de 5 a 15 Khz.) requiere un patrón en el plan hrizntal cumplie cn las cicines iicadas en la Fig. 5-11a. La intensidad máxima de camp, cn una pequeña variación cm sea psible, esta para ser radiada a 9º en el sectr cmpreid entre el nreste y nreste. Ningún nul en el patrón puede currir en este sectr. Sin embarg, ls nuls pueden currir en cualquier dirección en el sectr cmplementari de 7º, per, cm un requerimient adicinal, ls nuls deben estar presentes en la dirección este y la dirección sureste para prevenir interferencias cn tras estacines en esas direccines. Un patrón idealizad en el sectr frmad cumplie cn aquells requerimients es ilustrad in la Fig. 5-11b. La antena prducie este patrón cnsiste de un arregl de cuatr trres verticales. Las crrientes en tdas las trres serán iguales en magnitud, per la fase puede ser ajustada para cualquier tip de relación. N hay ninguna restricción en el espaciamient distribución de las trres. N Máxim unifrme NO NE O E (b) SO Nul (a) S Figura 5-11 (a) Requerimients para el patrón de una estación emisra. (b) Patrón idealizad cumplie cn ls requerimients. 13

14 EE55M ANTENAS 9-1 N φ O d E Figura 5-1 S Distribución de ds fuentes puntuales istrópicas para ambs arregls primari y secuari. Dad que nstrs estams interesads slamente en el patrón hrizntal plan, cada trre puede ser cnsiderada cm una fuente puntual istrópica. El prblema entnces llega a ser el de encntrar una relación de espaci y fase de cuatr fuentes puntuales istrópicas lcalizadas en el plan hrizntal la cual cumpla cn ls requerimients antes mencinads. El principi de multiplicación de patrón será aplicad a la slución de este prblema a través de la búsqueda de patrnes de ds pares de fuentes istrópicas las cuales prducen el patrón desead al ser multiplicadas juntas. Primer encntrems un par de fuentes cuys patrnes cumplan ls requerimients de un ampli lóbul de radiación cn el máxim hacia el nrte y un nul al sur-este. Este será llamad el patrón primari. Ds fuentes istrópicas puestas en fase de un arregl lngitudinal puede prducir un patrón cn un lóbul principal mas ampli que cua este puest en fase cm un arregl transversal (pr ejempl, cmpare la Fig. 5-1c y 5-5). Dad que un ampli lóbul hacia el nrte es desead, un arregl lngitudinal de ds fuentes istrópicas cm es mstrad en la Fig. 5-1 será tratad. A partir de una cnsideración de frmas de patrón cm una función de separación y fase, un espaciamient entre λ/4 y 3λ/8 parece ser adecuada (ver Fig ). (Revisar Brwn-I, Terman-I, y Smith-I). Cm cnsecuencia, dejems d=.3λ. Entnces el patrón decamp para el arregl es E = cs ψ.(1) De ψ =.6csϕ + δ.() Para que halla un nul en el patrón de (1) a φ=135º, es necesari que ψ = ( k + 1)π.(3) De k=,1,,

15 EE55M ANTENAS 9-1 φ = φ = φ = φ = 45 φ = 135 φ = 135 Patrón Primari d =.3λ, δ = - 14 (a) Figura 5-13 Patrón Secuari d =.6λ, δ = 18 (b) Patrón Resultante (c) 1.3λ 3.3λ.6λ.3λ 4 Arregl Primari Arregl Secuari Arregl resultante Patrnes de camp de ls arregls primari y secuari de ds fuentes istrópicas las cuales están multiplicadas juntas da un patrón de un ttal de cuatr fuentes istrópicas. De la ecuación () y (3) entnces tenems 1.6π + δ = (k + 1) π.(4) δ = ( k + 1) π +. 45π.(5) Para k=, δ=-14º. El patrón para este cas (d=,3λ y δ =-14º) es ilustrad pr Fig.5-13a. Lueg busquems un arregl de ds fuentes istrópicas puntuales que prducirán un patrón de radiación que cumpla ls requerimients de un nul a φ=7º y que también tenga un lóbul ampli hacia el nrte. Este será llamad cm "Patrón Secuari". Este patrón multiplicad pr el patrón del arregl primari entnces prducirá el patrón ttal del arregl. Si las fuentes istrópicas secuarias sn rdenadas cm en la Fig. 5-1 y tienen una diferencia de fase de 18º, entnces habrá un nul a φ=7º. Dams el espaciamient d=,6λ. Entnces el patrón secuari esta dad pr (1) de ψ =.π csϕ + π 1.(6) El patrón es ilustrad pr la Fig. 5-13b. Pr el principi de multiplicación de patrón, el patrón ttal del arregl es el prduct de este patrón y el patrón del arregl primari, ( 54csϕ 5º ) cs( 18º cs 9º ) E..(7) = cs ϕ + 15

16 EE55M ANTENAS 9-1 Este patrón, el cual es ilustrad pr la Fig. 5-13c, satisface ls requerimients del patrón. El arregl cmplet es btenid `pr reemplaz de cada una de las fuentes istrópicas del patrón secuari pr el arregl de ds fuentes que prducen el patrón primari. El punt medi de cada arregl primari es su centr de fase pr es este punt es lcalizad en la lcalización de una fuente secuaria. La antena cmpleta es entnces un arregl lineal de cuatr fuentes puntuales istrópicas cm es mstrad en la parte mas baja de la Fig. 5-13, de ahra cada fuente representa una única trre vertical, tdas las trres pseen la misma crriente. La crriente de la trre adelanta a la de la trre 1 y la de la trre 4 adelanta a la de la trre 3 pr 14º, mientras la crriente en las trres 1 y 3 y y 4 están en psición de fase. La fase relativa de la crriente es ilustrada pr ls vectres en la parte mas baja de la Fig. 5-13c. La slución btenida es sl una de un infinit númer de psibles slucines invlucra cuatr trres. Est es, sin embarg, una slución práctica y satisfactria al prblema. La variación de fase "ξ" en trn de ls arregls primari, secuari y ttal es mstrad en la Fig. 5-14a, b, y c cn el centr de fase al punt central de cada arregl y también a la fuente ubicada al extrem sur. El rdenamient de ls arregls cn ls centrs de fase es ilustrad en la Fig.5-14d para ambs cass. Ángul de fase ttal ξ (a) Patrón Primari Punt medi cm fase central Superficie del sur cm fase central Ángul de fase ttal ξ Punt medi cm fase central Superficie del sur cm fase central Figura (b) Patrón Secuari Patrnes de fase de ls arregls primari, secuari y ttal tma ls patrnes de camp mstrads en la Fig Ls patrnes de fase están dads pr el centr de fase al punt medi del arregl y 16

17 EE55M ANTENAS 9-1 hacia la fuente situada al extrem sur, el rdenamient de ls arregls y ls centrs de fase están mstrads en (d). El ángul de fase "ξ" es ajustad a cer cn φ= en tds ls cass. +36 Ángul de fase ttal ξ Punt medi cm fase central Superficie del sur cm fase central φ (c) Patrón Resultante } x } x Arregl Primari } } x Arregl Secuari } x Arregl Resultante } Centr de fase (x) en el punt medi del arregl Centr de fase (x) en la parte más al sur de la fuente (d) Figura 5-14 Cntinuad 5-5 FUENTES PUNTUALES DIFERENTES Y NO ISOTRÓPICAS En la sección 5-3 fuentes puntuales n istrópicas n istrópicas per similares fuern discutidas, y fue mstrad que el principi de multiplicación de patrón pdía ser aplicad. Sin embarg, si las fuentes n sn similares, este principi n se aplica más y ls camps de las fuentes deben ser añadids a cada ángul "φ" pr el cual el camp ttal es calculad. De esta manera, para ds fuentes n similares 1 y situadas en el eje X cn la fuente un en el rigen y las fuentes separadas pr una distancia "d" (de igual gemetría cm la Fig. 5-6) el camp ttal en general se expresa de la siguiente manera 17

18 EE55M ANTENAS 9-1 E = E + E = 1 f ( ϕ) + arctan E [ f ( ϕ) + af( ϕ)csψ ] + [ af( ϕ) senψ ] [ af( ϕ) senψ /( f ( ϕ) + af( ϕ)csψ )]..(1) de el camp ttal de la fuente 1 es tmad cm E = E f ( ϕ) f ( ).() 1 p ϕ y de la fuente cm E = ae F( ϕ ) F p ( ϕ) + d csϕ + δ..(3) r de E = cnstante a=prprción de la máxima amplitud de la fuente a la fuente 1 (<=a<=1) ψ =d r csφ+δ = fp(φ)+fp(φ), de δ = fase relativa de la fuente cn respect a la fuente 1 f(φ)=camp patrón relativ de la fuente 1 f p (φ)=patrón de fase de la fuente 1 F(φ)=patrón de camp relativ de la fuente F p (φ)=patrón de fase de la fuente En (1) el ángul de fase ( ) es referid a la fase del camp de la fuente 1 en alguna dirección de referencia (φ=φ ) En el cas especial de ls patrnes de camp sn idéntics per ls patrnes de fase n l sn, a=1, y f ( ϕ) = F( ϕ).(4) del cual ψ E f ( ϕ )cs f ( ϕ) + ψ / E..(5) = p de la fase es de nuev referida a la fuente 1 en alguna dirección de referencia φ. Cm una ilustración de fuentes puntuales n istrópicas y n similares, cnsiderems un ejempl en el cual el camp de la fuente 1 esta dad pr E.(6) = csϕ 1 y de la fuente pr E = senϕ ψ.(7) de ψ=d r csφ+δ La relación de las ds fuentes para el plan crdinad y ls patrnes de camp iividuales es mstrad en la Fig La fuente 1 esta lcalizada en el rigen. El camp ttal E es entnces el vectr suma de E1 y E, E = cs ϕ + senϕ ψ.(8) 18

19 EE55M ANTENAS 9-1 y 1 d φ x Figura 5-15 Relación de ds fuentes n istrópicas n similares para un plan crdenad. Cnsiderems el cas para un espaciamient de λ/4 (d=λ/4) y fase en cuadratura de las fuentes (δ=π/). Entnces π = ϕ + ( cs 1) ψ.(9) El cálcul para este cas es fácilmente llevad a cab pr adición grafica de vectres. El patrón de camp resultante para el camp ttal E de un arregl es presentad en la Fig. 5-16, y el patrón de fase resultante para un ángul "ξ" esta dad en la Fig El ángul "ξ" es el ángul de fase entre el camp ttal y b el camp de la fuente 1 en la dirección φ= φ 7 Figura

20 EE55M ANTENAS 9-1 Patrón de camp de un arregl de ds fuentes n istrópicas n similares de la Fig para d=λ/4 y δ=9º. +36 Ángul de fase ttal ξ Figura φ Patrón de fase de un arregl que tiene el patrón de camp de la Fig El ángul de fase "ξ" tiene a la fuente 1 cm centr de fase. 5-6 ARREGLOS LINEALES DE n FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL AMPLITUD Y ESPACIAMIENTO Intrducción Ahra prcederems al cas de "n" fuentes puntuales istrópicas de igual amplitud y espaciamient rdenads en un arregl lineal, cm esta iicad en la Fig. 5-18, de "n" es cualquier enter psitiv. El camp ttal E a una distancia grae en la dirección "φ" esta dad pr E jψ jψ j3ψ j( n i) ψ = 1+ e + e + e e.. (1) de "ψ" es la diferencia ttal de fase de ls camps de fuentes adyacentes y esta dad pr πd ψ = csϕ + δ = d r csϕ + δ λ.. () de "δ" es la diferencia de fase de las fuentes adyacentes, i.e., de la fuente cn respect a 1, 3 cn respect a, etc. (Schelkunff-1, Strattn-1). Las amplitudes de ls camps de las fuentes sn tdas iguales y tmadas cm unidad. La fuente 1 (Fig. 5-18) es la fase de referencia. De esta manera, a un punt distante en la dirección "φ" el camp de la fuente esta adelantad en fase cn respect a la fuente 1 pr "ψ", el camp de la fuente 3 esta adelantad en fase cn respect a la fuente 1 pr ψ, etc. La ecuación (1) es una serie gemétrica. Cada termin representa un fasr, y la amplitud del camp ttal E y su ángul de fase "ξ" pueden ser btenids pr adición de fasres (vectres) cm en la Fig Analíticamente, E puede ser expresada en una frma trignmetriíta simple la cual desarrllams cm sigue a cntinuación: jψ jψ jψ j3ψ Ee = 1+ e + e + e e jnψ..(3)

21 EE55M ANTENAS 9-1 Ahra restams (3) de (1) y dividims pr jnψ 1 e, cumpliése E 1 e = 1 e jnψ jψ. (4) La ecuación (4) puede ser rescrita cm e e e e e e jnψ / jnψ / jnψ / = jψ / jψ / jψ / E..(5) φ = 9 γ = γ A un punt distante d cs φ φ d d d n Figura 5-18 Ordenamient de un arregl lineal de "n" fuentes puntuales istrópicas. y φ = Figura 5-19 (a) Vectr adición de camps a una cnsiderable distancia de un arregl lineal de cinc fuentes puntuales istrópicas de igual amplitud cn la fuente 1 cm centr de fase (fase de referencia). (b) L mism, per cn el punt central del arregl (fuente 3) cm centr de fase. del cual E = e jξ sen( nψ / ) sen( ψ / ) = sen( nψ / ) ξ sen( ψ / )..(6) de "ξ" es referid al camp de la fuente 1. El valr de "ξ" esta dad pr 1

22 EE55M ANTENAS ξ = n ψ. (7) Si la fase es referida al punt central del arregl, (6) se cnvierte en sen( nψ / ) E =.(8) sen( ψ / ) En este cas el patrón de fase es una función escalón según l dad pr la muestra de (8). La fase del camp es cnstante dequiera E tenga un valr per cambia de sign cua E pasa pr el cer. Cua ψ= (6) (8) es ieterminad pr cual para este cas E debe ser btenid cm el limite de (8) cua "ψ" se aprxima a cer. De esta manera, para ψ= tenems la siguiente relación E = n...(8a) Este es el máxim valr que E puede alcanzar. Pr l tant, el valr nrmalizad para el camp ttal para Emax=n es 1 sen( nψ / ) E =.(9) n sen( ψ / ) El camp cm muestra la ecuación (9) será referid cm el "factr de arregl". Ls valres del factr del arregl cm sn btenids de la ecuación (9) para varis númers de fuentes sn presentads en la Fig. 5-. Si es que "ψ" es cncid cm una función de "φ", entnces el patrón de camp puede ser btenid directamente de la Fig. 5-. Pdems cncluir de la anterir discusión que el camp del arregl será un máxim en cualquier dirección "φ" para ψ=. En cass especiales, ψ puede que n sea cer para cualquier valr de "φ", y en este cas el camp es usualmente un máxim al valr mínim de "ψ". Factr del arregl Figura 5- n= n=1 n=5 + 1 n=4 n=3 n=1 n= ±φ

23 EE55M ANTENAS 9-1 Carta de Patrón de camp universal para arregls de varis númers de "n" fuentes puntuales istrópicas de igual magnitud y espaciamient. Para ilustrar algunas de las prpiedades de arregls lineales (9) desde ahra será aplicad para varis cass especiales. Ver prgramas en el Web Site del libr que invlucran ests diferentes cass. Ver también la discusión en el Apéice C. Cas 1. Arregls de radiación transversal (Fuentes en Fase) El primer cas es un arregl lineal de "n" fuentes istrópicas de la misma amplitud y fase. En cnsecuencia, δ= y ψ = d r csϕ...(1) Para hacer ψ= se requiere que φ=(k+1)(π/), de k=,1,,3,... El camp es, pr cnsiguiente, un máxim cua ϕ π y 3π =.(1a) Est es, el camp máxim esta en la dirección nrmal al arregl. Pr l tant, esta cición, la cual es caracterizada pr fuentes en fase (δ=), resulta en un tip de arregl transversal. Cm un ejempl, el patrón de un arregl transversal de cuatr fuentes puntuales istrópicas en fase de igual amplitud es mstrada en la Fig. 5-1a. El espaciamient entre fuentes es λ/. El patrón de camp en crdenadas rectangulares y ls patrnes de fase 1 y ls patrnes de fase para este arregl sn representads en la Fig.5-1b. 18 φ = 9 d = λ/ d d d φ = Arregl Patrón de camp Ángul de fase ttal ξ 1 ξ γ Centr de fase en el centr del arregl Centr de fase en la fuente Figura 5-1 (a) (b) (a) (b) Patrón de camp de un arregl de radiación transversal de cuatr fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud y fase. El espaciamient entre fuentes es λ/. El patrón de camp en crdenadas rectangulares y patrnes de fase del mism arregl cn centr de fase en el punt central de la fuente 1. La dirección de referencia para la fase esta a φ=9º. Cas. Arregl rdinari lngitudinal (E Fire) 3

24 EE55M ANTENAS 9-1 Ahra busquems el ángul de fase entre fuentes adyacentes que esta requerida para hacer el camp tenga un máxim en la dirección del arregl (φ=). Un arregl de este tip puede ser llamad un arregl lngitudinal. Para est sustituims las cicines de ψ= y φ= en (), del cual δ... (11) = d r Pr l tant, para un arregl lngitudinal, la fase entre fuentes esta retardada prgresivamente pr la misma cantidad cm el espaciamient entre fuentes expresad en radianes. De esa manera, si el espaciamient es λ/4, la fuente en la Fig debe estar en atras respect a la fuente pr 9º, etc. Cm un ejempl, el patrón de camp de un arregl lngitudinal de cuatr fuentes puntuales istrópicas es presentad en la Fig. 5-a. El espaciamient entre fuentes es λ/ y δ= π. El patrón de camp en crdenadas rectangulares y ls patrnes de fase sn mstrads en la Fig. 5-b. La misma frma de patrón de camp es btenida en este cas si δ=+π dad que, cn d=λ/, el patrón es bidireccinal. Sin embarg, si el espaciamient es menr que λ/ la radiación máxima esta en la dirección φ=º cua δ=-d r y en la dirección φ=18º cua δ=+d r. Cas 3. Arregl de radiación lngitudinal cn directividad incrementada La situación discutida en el Cas, particularmente, para δ=-d r, prduce un camp máxim en la dirección φ= per n prprcina máxima directividad. Est ha sid mstrad pr Hansen (1) y Wdyard que una directividad mas grae es btenida pr increment del cambi de fase entre fuentes que = d r π + n δ...(1) φ = 9 18 φ 1 φ = (a) Patrón de camp Ángul de fase ttal ξ 1 ξ d d d d = λ/ Centr de fase en el centr del arregl Centr de fase en la fuente (b) Figura 5-4

25 EE55M ANTENAS 9-1 (a) Patrón de camp de un arregl lngitudinal rdinari de cuatr fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud. separación λ/ y el ángul de fase es δ=-π. (b) Patrón de camp en crdenadas rectangulares y patrnes de fase del mism arregl cn centr de fase al punt medi y en la fuente 1. La dirección de referencia para la fase esta en φ=º. Esta cición será referida cm la cición para el "increment de directividad". De esa manera para la diferencia de fase de ls camps a una gran distancia tenems d r ( ϕ ) ψ = 1 π n cs...(13) Cn un ejempl, el patrón de camp de un arregl de radiación lngitudinal de cuatr fuentes puntuales istrópicas para este cas es ilustrad en la Fig El espaciamient entre fuentes es λ/, y pr l tant δ= (5π/4). Pr cnsiguiente, las cicines sn las mismas para cm para el arregl cn el patrón de la Fig. 5-, except que la diferencia de fase entre fuentes esta incrementada pr π/4. Cmpara ls patrnes de camp de las Figs. 5-a y 5-3, es aparente que la diferencia de fase adicinal prduce un lóbul principal cnsiderablemente agud en la dirección φ=. Sin embarg, la espalda de ls lóbuls en este cas es excesivamente grae debid a que el gran valr de espaciamient da lugar a una gama demasiad grae en "ψ" d = λ/ d d d Figura Patrón de camp de un arregl lngitudinal rdinari de cuatr fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud separadas λ/. El desfasaje es adaptad pr directividad incrementada (δ= 5π/4). Para realizar el increment frecid de directividad pr la diferencia adicinal de fase se requiere que ІφІ sea restringid en su rang a un valr de π/n para φ= y un valr en la veciad de π para φ=18º. Est puede ser realizad si el espaci es reducid. Pr ejempl, el patrón de camp de un arregl de 1 fuentes istrópicas puntuales de igual amplitud y espaciadas λ/4 es presentad aparte en la Fig. 5-4a para la cición de fase prducie una directividad incrementada (δ=.6π). En cntraste cn este patrón, el primer es presentad en la Fig. 5-4b para la antena idéntica cn la fase de un arregl rdinari de radiación lngitudinal (δ=.5π). Ambs patrnes sn para el mism máxim. La directividad incrementada es en apariencia de la mayr agudeza del patrón. Integra el patrón, incluids ls lóbuls menres, la directividad es encntrada resulta un valr alrededr de 19 y la del arregl rdinari lngitudinal cerca de 11. Ls anchs de haz y las directividades para ls ds cass sn cmparads en la tabla

26 EE55M ANTENAS 9-1 El patrón de máxim camp de la Fig. 5-4a curre a un ángul de φ= y ψ= π/n. En general, cualquier increment de directividad de un arregl lngitudinal, cn un máxim en ψ= π/n, tiene un patrón de camp nrmalizad dad pr E π sen( nψ / ) sen n sen( ψ / ) =...(14) Cas 4. Arregl cn máxim camp en una dirección arbitraria. Cnsiderems el cas de un arregl cn patrón de camp que tiene un máxim en alguna dirección arbitraria φ1 que es diferente de kπ/ de k=, 1,, 3. Entnces () se cnvierte en csϕ + δ = r 1 d...(15) Al especificar el espaciamient d r, la diferencia de fase requerida es entnces determinada pr (15). Inversamente, al cambiar "δ" la dirección de haz φ 1 puede ser desplazada escaneada. Desplazamient de fase 18 (.6π) versus 9 (.5 π) Figura 5-4 Patrnes de camp de arregls de radiación lngitudinal de 1 fuentes puntuales istrópicas de igual amplitud espaciadas λ/4 una de la tra. El patrón en (a) tiene la fase adaptada para la directividad incrementada (δ=.6π), mientras el patrón en (b) tiene la fase de un arregl de radiación rdinari lngitudinal (δ=.5π). 6

27 EE55M ANTENAS 9-1 Tabla 5-1 Cmparación de arregls lngitudinales Arregl rdinari lngitudinal Arregl lngitudinal cn directividad incrementada Anch de haz entre punts 69º 38º de media ptencia Anch de haz entre ls 16º 74º primers nuls Directividad d d d 3 4 Arregl d=λ/ Figura Patrón de camp de un arregl de cuatr fuentes puntales de igual amplitud cn desfasaje adaptad para prprcinar el máxim en φ=6º. El espaciamient es λ/. Cm un ejempl, supngams que n=4, d=λ/, y que deseams tener un camp máxim en la dirección de φ=6º. Entnces δ=-π/, cumpliése el patrón mstrad en la Fig DIRECCIONES DE NULOS PARA ARREGLOS DE n FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL AMPLITUD Y ESPACIAMIENTO En esta sección serán discutids métds simples para encntrar las direccines de ls patrnes nuls de ls arregls cnsiderads en la SEC Cntinua cn el prcedimient dad pr Schelkunff (,3) las direccines de ls nuls para un arregl de n fuentes puntuales istrópicas de igual amplitud y espaciamient curre cuad E=, prvist que el denminadr de la EC. (5-6-4) n sea cer, cua jnψ e = 1.(1) La ecuación (1) requiere que nψ ± Kπ =. () de K=1,, 3,... Cmpara el valr de "ψ" en () a su valr en la EC. (5-6-) btenems 7

28 EE55M ANTENAS 9-1 ψ d r Kπ csϕ + δ = ± n =.(3) De esa manera, = ± K π arccs 1 n d r ϕ..(4) δ de φ prprcina la dirección de ls patrnes nuls. Ntar que ls valres de K deben ser excluids para ls cuales K=mn, de m=1,,3,... De esta manera, si K=mn, () se reduce a ψ=±mπ y el denminadr de la EC. (5-6-4) igual a cer de md que la cición de nulidad de (1), de que el numeradr de la ecuación (5-6-4), es insuficiente. En un arregl de radiación transversal δ=, de md que para este cas (4) se llega a btener Kπ Kλ ϕ = arccs ± = arccs ± r..(5) Cm un ejempl, el patrón de camp de la Fig. 5-1 (n=4, d=λ/, δ=) tiene las direccines de nuls K = arccs ± ϕ.(6) Para K=1, φ =±6º y ±1º, y para K=, φ =º y 18º. Estas sn las seis direccines de ls nuls para este arregl. Si φ en (3) es reemplazad pr su ángul cmplementari γ (ver Fig. 5-18), entnces (5) se cnvierte en Kλ = arcsen ± γ.(7) Si el arregl es grae, a fin de que >>Kλ, γ ± Kλ. (8) Ls primers nuls a ambs lads del máxim que curre para K=1. Ests ánguls serán designads γ 1. De ese md, γ ± λ 1.(9) y el ttal anch de haz del lóbul principal entre ls primers nuls para un arregl transversa grae es entnces λ γ 1...(1) Para el patrón de camp de la Fig. 5-1 este anch es exactamente 6º, tal cm esta dad pr (1) est es 1 rad, 57.3º. Este patrón es para un arregl λ de lngitud. El resultad seria mejr cn arregls más graes. 8

29 EE55M ANTENAS 9-1 Vlvie a ls arregls de radiación lngitudinal, la cición para un arregl de radiación lngitudinal rdinari es que δ= d r. De esa manera, para este cas (3) se cnvierte en Kπ csϕ 1 = ± r...(11) pr el cual btenems ϕ arcsen ± Kπ = r...(1) Kλ = arcsen ± ϕ...(13) Cm un ejempl el patrón de camp de la Fig. 5- (n=4, d=λ/, δ=-π) tiene las direccines de ls nuls K = arcsen ± 4 ϕ...(14) Para K=1, φ =+-6º; para K=, φ =+-9º, etc. Si el arregl es grae, de md que >>Kλ, (13) se cnvierte en ϕ ± Kλ...(15) Ls primers nuls a ambs lads del máxim que curre para K=1. Ests ánguls serán designads φ 1. De ese md, ϕ 1 ± λ...(16) Y el ttal anch de haz del lóbul principal entre ls primers nuls para un arregl de radiación lngitudinal rdinari es entnces ϕ 1 ± λ...(17) Para el patrón de camp en la Fig. 5- este anch es exactamente 1º, cm esta dad pr (17) est es radianes 115º. Para arregls de radiación lngitudinal cn directividad incrementada tal cm fue prpuest pr Hansen (1) y Wdyard, la cición es que δ= (d r +π/n). De esa manera, para este cas (3) se cnvierte en d r π Kπ cs = ± n n ( ϕ 1)...(18) 9

30 EE55M ANTENAS 9-1 pr el cual ϕ π = arcsen ± 1 r ( K ) λ = arcsen ± 1 4 K ( ) (19) ϕ () Si el arregl es grae, de md que >>Kλ, () se cnvierte en λ ( K 1) ϕ...(1) ± Ls primers nuls a ambs lads del lóbul principal, φ, curre para K=1. De esta manera, ϕ ± λ 1.() y el anch de haz ttal del lóbul principal entre nuls para un arregl de radiación lngitudinal grae cn directividad incrementada es entnces λ ϕ 1 (3) Este anch es 1/, 71 pr cient, del anch del arregl de radiación lngitudinal rdinari. Cm un ejempl, el patrón del arregl lngitudinal rdinari de la Fig. 5-4b tiene un anch de haz entre ls primers nuls de 16º. El anch del patrón en la Fig. 5-4a para el arregl cn directividad incrementada es 74º, 7 pr cient cm máxim. La tabla 5- muestra las frmulas para las direccines de ls nuls y anchs de haz para ls diferentes arregls cnsiderads anterirmente. Las direccines de ls nuls en la clumna se aplican a arregls de cualquier extensión. Las frmulas en la tercera y cuarta clumnas sn aprximadas y aplicadas sl a arregls graes. Tabla 5- Direccines nulas y anchs de haz entre ls primers nuls para arregls lineales de n fuentes istrpitas puntuales de igual amplitud y espaciamient. (Para n. Ls ánguls en la clumna tres y cuatr sn expresads en radianes. Para cnvertir a grads, multiplicar pr 57.3) Tip de arregl Cas general Transversal Lngitudinal rdinari Lngitudinal cn directividad incrementada Direccines nulas (cualquier lngitud de arregl) ± = K π ϕ 1 arccs δ n d r Kλ γ = arcsen ± Kλ ϕ = arcsen ± λ = arcsen ± K 1 4 Direccines nulas (arregl grae) γ ± ϕ ± Kλ Kλ λ ϕ ( ) ϕ ± ( K 1) Anch de haz entre ls primers nuls (arregl grae) λ γ 1 ϕ 1 ϕ 1 λ λ 3

31 EE55M ANTENAS 9-1 Las frmulas en la Tabla 5- han sid usadas para calcular las curvas presentadas en la Fig Esas curvas muestran el anch de haz entre ls primers nuls cm una función de λ para tres tips de arregls: transversal, lngitudinal rdinari, lngitudinal cn directividad incrementada. La cantidad λ (=/λ) es aprximadamente igual a la lngitud de un arregl en lngitudes de a para arregls graes. El valr exact de la lngitud del arregl es (n-1)d λ. El anch de haz de arregls de radiación transversal largs es inversamente prprcinal a la lngitud del arregl, en tant que el anch de haz arregls de l tip lngitudinal largs es inversamente prprcinal a la raíz cuadrada de la lngitud del arregl. Pr l tant, el anch de haz en el plan de arregl de radiación transversal larg es much mas pequeñ que para arregls del tip lngitudinal de la misma lngitud es mstrad en la Fig Debe ser ntad, sin embarg, que el arregl de radiación transversal tiene un patrón de disc frmad cn un anch de haz estrech en un plan a través del eje del arregl per un patrón circular (36º de anch de haz) en el plan nrmal al eje del arregl. Pr tr lad, El arregl de radiación lngitudinal tiene un patrón e frma de cigarr cn el mism anch de haz en tds ls plans a través del eje del arregl. Anch de Haz entre primers nuls (BWBFN) Bradside E Fire Ordinari E Fire cn directividad incrementada λ Lngitud del arregl (aprx.) Figura 5-6 Anch de haz entre ls primers nuls cm una función de λ para arregls de n fuentes puntuales istrópicas de la misma amplitud. Para arregls graes, λ es aprximadamente igual a la lngitud del arregl. 31