RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. donde OP y OP

Transcripción

1 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO A RECTA EN R Ecacines de la recta En el espaci R se determina na recta si se cnce n pnt de ella dirección representada pr n ectr n nl Figra a Recta en R Cm se bsera en la Figra para qe calqier tr pnt este sbre la recta el ectr decir // Además debe ser paralel al ectr es t O R O / dnde O O sn ectres de psición cas cmpnentes cinciden cn las crdenadas de ls pnts respectiamente pdiéndse escribir e esta manera las crdenadas de ls pnts de la recta se peden determinar mediante la relación t R ef Un cnjnt de pnts de R cnstite na recta si tmad n pnt fij del cnjnt eiste n ectr n nl tal qe { R / t R } El ectr se llama ectr directr de la recta la ecación se llama ecación ectrial de la recta a ecación ectrial epresada en términs de cmpnentes es t de dnde se determinan las ecacines paramétricas de la recta espejand el parámetr t e igaland se btienen las ecacines cartesianas frma simétrica de la recta t R si

2 Ejercicis Escribir las ecacines de ls ejes crdenads ads ls pnts A B determinar las ecacines de la recta qe ls cntiene a A B-4 b A9 B-4- eterminar si el pnt pertenece a la recta a -579; = 4- + s- b -7/; = - + t4 4 Cál de las sigientes rectas cincide cn la recta de ecación = + t-4? a = 4 + s-4 b = 5 + s-4 c = + s- d = -4 + s- E ANO EN R Ecacines del plan En R n plan se pede determinar cn n pnt de él ds direccines dadas pr ectres n paralels 5 Escribir la ecación ectrial de la recta en R definida pr la ecación cartesiana + = - Figra El lan en R ara qe n pnt de R este sbre el plan el ectr debe ser na cmbinación lineal de ls ectres es decir s t R / s r l tant s t R 4 ef Un cnjnt de pnts de R determina n plan si tmad n pnt fij del cnjnt eisten ectres n paralels tales qe { R / s s t R } ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO /

3 s ectres se llaman ectres directres del plan la ecación 4 se llama ecación ectrial del plan; epresándla en cmpnentes se tiene s t as ecacines paramétricas del plan sn a Ecación Cartesiana del plan en R ads ds ectres n paralels en R se sabe qe tr ectr rtgnal a a es decir pr l tant de la epresión t R 5 es se tiene t El ectr es rtgnal a td ectr determinad pr ds pnts cntenids en n plan de ectres directres pr l tant se le llama ectr nrmal al plan se denta cn n n a ecación ectrial del plan se pede escribir entnces en la frma n n Epresándla en términs de cmpnentes se tiene n A B C n A B A B C C A B C a ecación A B C 6 dnde A B C es la ecación cartesiana de n plan de ectr nrmal n A B C qe cntiene el pnt Se pede demstrar qe tda ecación de primer grad en las ariables representa la ecación de n plan Ejercicis Escribir las ecacines de ls plans crdenads Escribir las ecacines de n plan qe cntenga tres pnts n alineads dads 4 Escribir las ecacines del plan qe cntiene el pnt la recta a 4 ; 4 s b 6 ; eje 4 ad el plan de ecación ectrial s t s t R determinar si el pnt pertenece al plan a 4 b c Escribir las ecacines del plan qe cntiene las rectas Q s t ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO /

4 ÁNGUO ENTRE RECTAS Y ANOS Ángl entre ds rectas ef Un ángl entre ds rectas es el ángl entre s ectres directres Sean s R t R ds rectas en R Ángl entre ds plans ef 4 Un ángl entre ds plans es el ángl entre s ectres nrmales Sean n n ds plans en R n n Figra 4 Ángl entre ds plans Un ángl es decir Figra Ángl entre ds rectas entre las ds rectas es tal qe cs 7 Otr ángl entre las rectas es Cm cs cs el ángl agd entre las rectas está dad pr cs 8 Si ó entnces cs ó las rectas sn paralelas Si / entnces cs las rectas sn rtgnales Un ángl entre ls ds plans está dad pr n es decir n ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 4 / cs n n n n Otr ángl entre ls plans es Al igal qe en el cas de las rectas el ángl agd entre ls ds plans está dad pr n n cs n n Si ó entnces cs ó ls plans sn paralels Si / entnces cs ls plans sn rtgnales perpendiclares 9

5 Ángl entre na recta n plan ef 5 El ángl entre na recta n plan es el ángl entre la recta prección rtgnal sbre el plan ads la recta s el plan n n Cm cs n n Figra 5 Ángl entre recta plan Sean el ángl agd entre la recta prección sbre el plan el ángl agd entre la recta na recta nrmal al plan er figra Se tiene qe cs sen entnces se determina qe el ángl agd entre la recta el plan está dad pr n sen n Ejercicis Escribir las ecacines de la recta qe a asa pr el pnt 4 es paralela a la recta 4 s b asa pr el pnt es rtgnal a la recta paralela al plan eterminar la medida del ángl en el értice B del triángl ABC si las crdenadas de ls értices sn A B C eterminar el ángl entre 4 7 a las rectas 8 t9 4 b ls plans 5 c la recta qe pasa pr ls pnts el plan 4 4 Escribir las ecacines de ls plans qe cntienen el pnt sn perpendiclares al plan frman n ángl igal a arccs / cn el plan Otr ángl entre la recta el plan es Si ó entnces sen la recta es paralela al plan Si / entnces sen la recta es rtgnal ó perpendiclar al plan ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 5 /

6 4 INTERSECCIONES ENTRE RECTAS Y/O ANOS 4 Intersección entre ds rectas Sean ds rectas n paralelas es decir ls ectres n sn paralels Entnces las rectas peden i tener n pnt cmún en ese cas se dice qe se crtan intersecan en n pnt ii n tener pnts cmnes en ese cas se dice qe se cran a Rectas qe se crtan b Rectas qe se cran s s s se reele el sistema de tres ecacines para las incógnitas s t cn el alr de s ó t determinad se calclan las crdenadas del pnt de intersección stitend en las ecacines paramétricas Si ds rectas n paralelas se intersecan en n pnt entnces sn cplanares la ecación del plan qe las cntiene está dad pr ó Si ds rectas se crtan frmand n ángl igal a rtgnales entnces se dice qe sn perpendiclares Figra 6 Rectas n paralelas ara determinar si ds rectas n paralelas se crtan se cran se sa la interpretación gemétrica del prdct mit de tres ectres i Si entnces las rectas se crtan ii Si entnces las rectas se cran ara calclar las crdenadas del pnt de intersección entre ds rectas se escriben las ecacines paramétricas de las rectas sand nmbres diferentes para ls parámetrs ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 6 /

7 4 Intersección entre na recta n plan Sean na recta A B C n plan n paralels entnces intersección es n pnt 4 Intersección entre ds plans Sean n n ds plans n paralels Entnces intersección es na recta i n n Figra 7 Intersección Recta-lan ara determinar las crdenadas del pnt de intersección entre la recta el plan se escriben las ecacines paramétricas de la recta se stiten en la ecación cartesiana del plan A B C resliend la ecación btenida para el parámetr t A B C A B C t cn el alr de t encntrad se regresa a las ecacines paramétricas de la recta calcland las crdenadas del pnt de intersección Figra 8 Intersección de ds plans ara hallar la ecación de la recta de intersección de ds plans se halla la slción general del sistema lineal de ecacines cartesianas de ls plans A A B B C C También se pede determinar n ectr directr para la recta de intersección cn el prdcectrial de ls ectres nrmales de ls plans n n ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 7 /

8 44 Intersección de tres plans Sean tres plans de ecacines cartesianas A A A B B B C C C Si el sistema lineal cnstitid pr las tres ecacines tiene slción única es decir es cmpatible determinad entnces ls plans se intersecan en n pnt para l cal debe erificarse qe n n n Si n n n entnces la intersección de ls tres plans es acía es na recta de acerd a si el sistema es incmpatible cmpatible indeterminad respectiamente i a Un pnt b Una Recta Sistema cmpatible determinad Sistema cmpatible indeterminad A A A B B B C C C Ejercicis 4 c Intersección acía Sistema incmpatible Figra 9 Intersección de tres plans eterminar si las rectas se crtan se cran a s ; Q 4 t b s ; Q t Hallar la ecación de la recta qe pasa pr el pnt 4 es perpendiclar a la recta t eterminar la intersección de ls plans de ecacines 4 eterminar ls alres de a b para ls cales la intersección de ls plans b a 6 es i n pnt ii na recta iii acía ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 8 /

9 5 ISTANCIA ENTRE UNTOS RECTAS Y ANOS 5 istancia entre n pnt na recta a distancia entre n pnt na recta s dentada d se mide sbre na perpendiclar a la recta 5 istancia de n pnt a n plan Al igal qe en la distancia nt-recta la distancia entre n pnt n plan n dentada d se mide sbre na perpendiclar al plan d n d Figra istancia nt-recta Si es el ángl entre el ectr el ectr directr de la recta se tiene Sabems qe d sen sen pr l tant d Figra istancia nt-lan Usand prección rtgnal de n ectr sbre tr se tiene qe d r Cmp n n n d n Si la ecación del plan está dada en frma cartesiana A B C entnces n A B C la epresión se redce a A B C d 4 A B C ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO 9 /

10 5 istancia entre ds rectas Sean ds rectas n paralelas es decir ls ectres n sn paralels a distancia entre las ds rectas dentada d se mide sbre la perpendiclar cmún a las ds rectas ca dirección esta dada pr el ectr Figra istancia entre ds rectas n paralelas Usand cmpnente de n ectr sbre tr se tiene d Cmp 5 Si entnces las rectas se crtan sn cplanares la distancia entre ellas es cer Si las rectas sn paralelas entnces en ese cas la distancia entre las rectas es igal a la distancia de n pnt de na de las rectas a la tra es decir d d d d d 54 istancia entre na recta n plan Sean n na recta n plan paralels entre si es decir n entnces ha na distancia entre ells d qe es igal a la distancia de calqiera de ls pnts de la recta al plan Figra istancia Recta-lan e la Figra se bsera qe n d d Cmp n n n d 6 n Si la ecación del plan está dada en frma cartesiana A B C entnces n A B C la epresión 6 se redce a n d A B C d 7 A B C ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO /

11 55 istancia entre ds plans paralels Sean n n ds plans paralels la distancia ente ls ds plans d es igal a la distancia de n pnt calqiera de n de ls plans al tr plan Figra 4 istancia entre ds plans paralels e la Figra 4 se bsera qe n d d d n n n Si las ecacines de ls plans se escriben en la frma cartesiana entnces se tiene qe d d A A n B B d C C A cm A B C qeda A n B B C d 7 A B C C Ejercicis 5 eterminar la distancia del pnt a la recta a 5 ; s b ; 7 ads el pnt la recta s a eterminar la distancia del pnt a la recta b eterminar el pnt de más próim a eterminar la distancia del pnt al plan a 6 ; s t b 8 4 ; { 4} c 8 4 ; 4 4 eterminar la distancia entre las rectas s Q 4 t 5 Hallar el lgar gemétric de ls pnts qe distan del plan 6 el dble qe del plan 4 6 eterminar la distancia entre a ls plans b la recta el plan eterminar la ecación del plan qe está a na distancia de nidades del rigen cntiene a la recta determinada pr ls plans ÁGEBRA INEA Y GEOMETRÍA ANAÍTICA 5 RECTAS Y ANOS EN E ESACIO /