Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 Sistemas de ecuacines lineales 3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES 3.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS 3.3 SISTEMAS CON n VARIABLES, n APLICACIONES SELECTAS 3.5 NOTAS FINALES Términs cncepts clave Ejercicis adicinales Evaluación del capítul Ejercicis pr cmputadra Apéndice: prcedimient de eliminación para sistemas de (3 3)

2 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Prprcinar una cmprensión de la naturaleza de ls sistemas de ecuacines su representación gráfica (cuand es aprpiad). Prprcinar una cmprensión de las diferentes psibilidades del cnjunt slución para ls sistemas de ecuacines. Prprcinar una apreciación de la interpretación gráfica de ls cnjunts slución. Presentar prcedimients para determinar ls cnjunts slución para sistemas de ecuacines. Ilustrar algunas aplicacines de ls sistemas de ecuacines lineales.

3 90 CAPÍTULO 3 Sistemas de ecuacines lineales ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Puente aére de emergencia (cntinúa) El ejempl 20 del capítul 2 (página 76) trata sbre el transprte de prvisines a una ciudad sudamericana pr medi de un puente aére de emergencia. A partir del ejempl 20 sabems que la capacidad de vlumen del avión es de pies cúbics. Otra cnsideración es que la capacidad de pes del avión es de libras. Además, la cantidad de diner dispnible para la cmpra de prvisines asciende a un ttal de $ Reprtes iniciales indican que el agua es el artícul más imprtante. Para respnder a esta necesidad, funcinaris de la Cruz Rja especificarn que el númer de cntenedres de agua enviads debería ser el dble del númer cmbinad de sangre paquetes de prvisines médicas enviads. Funcinaris de la Cruz Rja quieren determinar si ha alguna cmbinación de ls cuatr artículs que llenen las capacidades de pes vlumen del avión, cupen td el presupuest de $ satisfagan ls requerimients relacinads cn el enví de agua. [Ejempl 16] En la administración, la ecnmía aplicacines de ciencias sciales, a veces ns interesams en determinar si ha valres de variables que satisfacen varis atributs. Tal vez se pueda representar cada atribut pr medi de una ecuación, epresada en términs de variables diferentes. Junts, ls cnjunts de ecuacines representan tds ls atributs de interés. En este capítul cubrirems ls prcess que se usan para determinar si ha valres de variables que junts satisfacen un cnjunt de ecuacines. Pr ejempl, en el Escenari de mtivación, verems si ha cantidades de ls cuatr artículs que satisfacen ls atributs de la capacidad de pes, la capacidad de vlumen, el presupuest ls requerimients de agua. 3.1 Sistemas de ecuacines cn ds variables Sistemas de ecuacines Un sistema de ecuacines es un cnjunt que cnsiste en más de una ecuación. Una manera de caracterizar un sistema de ecuacines es pr sus dimensines. Si un sistema de ecuacines cnsiste en m ecuacines n variables, decims que este sistema es un sistema de m pr n, que tiene dimensines de m n. Se describe un sistema de ecuacines que implica 2 ecuacines 2 variables cm un sistema de dimensión de 2 2. Se dice que un sistema que cnsiste en 15 ecuacines 10 variables es un sistema de (15 10). Al reslver sistemas de ecuacines, ns interesams en identificar valres de variables que satisfacen de manera simultánea tdas las ecuacines del sistema. Pr ejempl, dadas las ds ecuacines tal vez querams identificar cualquier valr de que satisfaga ambas ecuacines al mism tiemp. Al usar la ntación de cnjunt, querríams identificar el cnjunt slución S, dnde S {(, ) }

4 3.1 Sistemas de ecuacines cn ds variables 91 Cm se verá en este capítul, el cnjunt slución S de un sistema de ecuacines lineales puede ser un cnjunt nul, un cnjunt finit un cnjunt infinit.* Ha mu pcs prcedimients de slución que se pueden usar para slucinar sistemas de ecuacines. En este capítul ns cncentrams en ds prcedimients diferentes. Se presentarán trs prcedimients en el capítul 9. En este capítul cmenzams nuestr análisis cn ls sistemas más simples, ds ecuacines ds variables. Nuestrs análisis enfatizarán ls aspects algebraics de cada situación. Ests prcedimients se etenderán más adelante en el capítul para que cmprendams cóm se manejan ls sistemas de ecuacines más grandes. También analizarems una variedad de aplicacines de ls sistemas de ecuacines. Análisis gráfic Sabems a partir del capítul 2 que se grafica un sistema de ecuacines que inclue ds variables cm una línea recta. Pr tant, se representa un sistema de ecuacines lineales de (2 2) cn ds líneas rectas en ds dimensines. Al despejar ls valres de las ds variables que satisfacen ambas ecuacines, tratams de determinar gráficamente si las ds líneas rectas tienen algún punt en cmún. Puede haber tres tips distints de cnjunts slución para ls sistemas de ecuacines de (2 2). La figura 3.1 ilustra las tres psibilidades. En la figura 3.1a), las ds líneas rectas se intersecan. Las crdenadas del punt de intersección ( 1, 1 ) representan la slución para el sistema de ecuacines, es decir, el par de valres para que satisfacen ambas ecuacines. Cuand sól ha un par de valres para las variables que satisface el sistema de ecuacines, se dice que el sistema tiene una slución única. En la figura 3.1b), las ds líneas rectas sn paralelas entre sí. Debe recrdar del capítul 2 que líneas rectas paralelas tienen la misma pendiente; dad que tienen diferentes interseccines de, las líneas n tienen punts en cmún. Si un sistema de ecuacines de Ecuación (1) 1 ( 1, 1 ) 1 a) Slución única b) N ha slución c) Ecuación ( 2 ) Una infinidad de slucines Figura 3.1 Psibilidades de cnjunt slución para un sistema de ecuacines (2 2). * Un cnjunt nul n cntiene ningún element (está vací), un cnjunt finit cnsiste en un númer limitad de elements un cnjunt infinit cnsiste en un númer infinit de elements.

5 92 CAPÍTULO 3 Sistemas de ecuacines lineales (2 2) tiene estas características, se dice que el sistema n tiene slución. Es decir, n ha valres para las variables que satisfagan ambas ecuacines. Se dice que las ecuacines sn incnsistentes en dich sistema. Se ilustra la psibilidad final para un sistema de (2 2) en la figura 3.1c). En este cas ambas ecuacines se trazan cm la misma línea recta se cnsidera que sn ecuacines equivalentes. Un númer infinit de valres es cmún a las ds líneas rectas se dice que el sistema tiene una infinidad de slucines. Al representarse pr la misma línea recta implica que ambas líneas tienen la misma pendiente la misma intersección de. Ds ecuacines pueden parecer mu distintas una de tra aun así ser equivalentes. Pr ejempl, las ds ecuacines sn equivalentes. Verifique que la pendiente la intersección de sean las mismas para ambas. La siguiente es tra frma de resumir ls tres cass que se presentan en la figura 3.1. Relacines de pendiente-intersección Dad un sistema de ecuacines lineales (de frma pendiente-intersección) de (2 2), m 1 k 1 (3.1) m 2 k 2 (3.2) dnde m 1 m 2 representan las pendientes respectivas de las ds líneas rectas k 1 k 2 representan las respectivas interseccines de. I Ha una slución única para el sistema si m 1 m 2. II N ha ninguna slución del sistema si m 1 m 2 per k 1 k 2. III Ha una infinidad de slucines si m 1 m 2 k 1 k 2. Slucines gráficas Ls planteamients de slución gráfica sn psibles para sistemas de ecuacines cn ds variables. Sin embarg, se debe ser precis en el traz de sus gráficas. El ejempl siguiente ilustra una slución gráfica. Ejempl 1 Determine gráficamente la slución del sistema de ecuacines (3.3) 3 10 (3.4) Las interseccines cn ls ejes de las sn (10, 0) (0, 5) respectivamente para la ecuación (3.3). De md similar, las interseccines de la ecuación (3.4) sn ( 1 0, 0) (0, 10). Cuand se trazan en 3 una misma gráfica cm se indica en la figura 3.2, las ds líneas rectas parecen cruzarse en (2, 4).

6 3.1 Sistemas de ecuacines cn ds variables = 20 5 (2, 4) = Figura 3.2 Un prblema cn la slución gráfica es que puede ser difícil leer las crdenadas precisas del punt de intersección entre ellas. Est es ciert en especial cuand las crdenadas dnde se intersecan n sn númers enters. Es pr es que desde el punt de vista de la identificación de slucines eactas sn preferibles ls prcedimients de slución algebraica. Sin embarg, si usa ls prcedimients gráfics ls algebraics, siempre ha una frma de verificar su respuesta. Sustitua su respuesta en las ecuacines riginales para ver si ls valres la satisfacen. Al sustituir 2 4 en las ecuacines (3.3) (3.4), tenems 2(2) 4(4) 20 Pr tant, nuestra slución es crrecta (2) (4) El prcedimient de eliminación Un métd ppular para reslver sistemas cn ds tres variables es el prcedimient de eliminación. Dad un sistema de ecuacines de (2 2), se suman las ds ecuacines múltipls de las ds ecuacines cn el fin de eliminar una de las ds variables. La ecuación resultante se epresa en términs de la variable restante. Se puede despejar la variable restante en esta ecuación, valr que se puede sustituir de nuev en una de las ecuacines riginales despejar el valr de la variable eliminada. El prces de slución se demuestra en el ejempl siguiente después se frmalizará el prcedimient.

7 94 CAPÍTULO 3 Sistemas de ecuacines lineales Ejempl 2 Resuelva el sistema de ecuacines del ejempl 1. SOLUCIÓN El sistema riginal era (3.3) (3.4) El bjetiv del prcedimient de eliminación cnsiste en eliminar una de las ds variables al sumar las ecuacines ( sus múltipls). Si multiplicams la ecuación (3.4) pr 4 sumams la ecuación resultante [Ecuación (3.4a)] a la ecuación (3.4), tenems la ecuación (3.5): [ 4 ecuación (3.4)] (3.3) (3.4a) (3.5) La ecuación (3.5) cntiene sól la variable se puede despejar para btener el valr 2. Al sustituir este valr de en una de las ecuacines riginales [elijams la ecuación (3.3)] encntrams que 2(2) Pr tant, la slución única de este sistema, cm determinams gráficamente, es 2 4. Ejercici de práctica Verifique que la slución es eactamente la misma si se pta pr eliminar. Para eliminar, multiplique las ecuacines (3.3) (3.4) pr 3 2, respectivamente. Se puede generalizar el prcedimient de eliminación para un sistema de ecuacines de (2 2) cm sigue. Prcedimient de eliminación para sistemas de (2 2) I II III Seleccine una variable para eliminar. Multiplique (si es necesari) las ecuacines pr cnstantes cn el fin de que ls ceficientes de la variable seleccinada sean ls negativs del tr en las ds ecuacines, después sume las ds ecuacines resultantes. A) Si la suma de ecuacines da cm resultad una ecuación nueva que tiene una variable, el sistema tiene una slución única. Despeje el valr de la variable restante sustitua de nuev este valr en una de las ecuacines riginales para determinar el valr de la variable que se eliminó riginalmente.

8 3.1 Sistemas de ecuacines cn ds variables 95 B) Si la suma de las ecuacines da cm resultad la identidad 0 0, las ds ecuacines riginales sn equivalentes entre sí el sistema tiene una infinidad de slucines. C) Si la suma de las ecuacines da cm resultad un enunciad fals, digams, 0 5, las ecuacines sn incnsistentes n ha ninguna slución. Véase la figura 3.3. III A La ecuación resultante cntiene una variable Slución única I Seleccine la variable pr eliminar II Cmbine ecuacines para eliminar la variable seleccinada III B La ecuación resultante es la identidad 0 = 0 Una infinidad de slucines III C La ecuación resultante es un enunciad fals Ninguna slución Figura 3.3 Prcedimient de eliminación para sistemas de (2 2). Ejempl 3 (Una infinidad de slucines) Resuelva el sistema de ecuacines siguiente cn el prcedimient de eliminación (3.6) (3.7) SOLUCIÓN Al seleccinar la variable para eliminarla, se multiplica la ecuación (3.6) pr 5 se suma a la ecuación (3.7). [5 ecuación (3.7)] (3.6a) Cuand se suman las ecuacines (3.6a) (3.7), se eliminan ambas variables en el lad izquierd de la ecuación queda la identidad 0 0. A partir del pas IIB del prcedimient de slución cncluims que las ds ecuacines sn equivalentes que ha una infinidad de slucines. (3.7)

9 96 CAPÍTULO 3 Sistemas de ecuacines lineales Cn el fin de especificar elements de la muestra del cnjunt slución, pdríams supner un valr arbitrari para sustituir este valr en una de las ecuacines riginales, despejand el valr crrespndiente de la tra variable. Pr ejempl, verifique que si supnems que 3, la sustitución de este valr en la ecuación (3.6) en la (3.7) dará cm resultad el valr crrespndiente 4. Pr tant, un element del cnjunt slución es (4, 3). Una manera más general de especificar el cnjunt slución cnsiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuacines riginales. El resultad es una ecuación que epresa el valr de una variable en términs del valr de la segunda variable. Para ilustrarl, si se despeja en la ecuación (3.6), el resultad es Pr cnsiguiente, una manera de generalizar el cnjunt slución es arbitrari De frma mu simple, esta situación indica que se puede asignar cualquier valr real a que se btiene pr la sustitución de en la ecuación 2 2. Alternativamente, se pdría generalizar el cnjunt slución al despejar en cualquiera de las ecuacines rigina- 3 les. Verifique que la generalización resultante tendría la frma arbitrari Ejempl 4 (Cnjunt sin slución) Resuelva el sistema de ecuacines siguiente cn el prcedimient de eliminación (3.8) (3.9) SOLUCIÓN Al multiplicar la ecuación (3.9) pr 4 al sumar este múltipl en la ecuación (3.8) tenems [4 ecuación (3.9)] (3.8) (3.9a) 0 60 Ya que 0 60 es un enunciad fals, el sistema de ecuacines n tiene slución.