Vectores ortonormales
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- Rodrigo Felipe Godoy Juárez
- hace 6 años
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1 Vectres rtrmales Defiició U cjt de ectres e espaci ectrial V se dice qe es cjt rtgal si cada par de ectres e el cjt es rtgal. Se dice qe el cjt es cjt rtrmal si es rtgal y cada ectr es itari Demestre qe el cjt ( es cjt rtrmal. Slció Cada par de ectres es rtgal ( ( y cada ectr es itari ( Pr l tat el cjt es rtrmal. Bases rtrmales Defiició Ua base qe es cjt rtgal se dice qe es a base rtgal. Ua base qe es cjt rtrmal se dice qe es a base rtrmal. Nta: Las bases caóicas s bases rtrmales. Terema Sea { L } a base rtrmal del espaci ectrial R. Sea ectr e V. se pede expresar cm a cmbiació lieal de ls ectres de la base. ( + ( + L+ (
2 Ls sigietes ectres cstitye a base rtrmal para R. Exprese al ectr ( 7 cm a cmbiació lieal de ests ectres. Slció ( 7 ( 7 7( + Pryecció de ectr sbre tr ectr Defiició La pryecció de ectr sbre ectr distit de cer e se defie cm R de deta pry y pry - pry La pryecció del ectr rtgal al ectr. pry pry Determie la pryecció del ectr ( 67 sbre el ectr ( y la pryecció de ectr rtgal a Slció ( 67 ( ( ( pry 7 pry ( ( 8 ( 67 ( 8 ( 7
3 Prces de rtgalizació de Gram-Schmidt Sea { K } a base para el espaci ectrial V. El cjt de ectres { K } defiids de la maera sigiete es rtgal. Para bteer a base rtrmal de V se rmaliza cada de ls ectres K. L L pry - pry pry El cjt {( ( 8( 86 } es liealmete idepediete e R. Ls ectres frma a base para el sbespaci de tres dimesies V de R. Cstrya a base rtrmal para V. Slció Sea ( ( 8 ( 86 La base rtgal sería ( ( 8 ( ( 86 ( ( ( ( ( 86 ( 86 ( ( ( ( 86 ( ( ( ( 8 ( ( ( ( ( 8 ( ( El cjt {( ( ( } es a base rtgal para. Se pede demstrar qe Para qe sea a base rtrmal se rmaliza ls ectres ( ( 7 ( Pr l qe la base rtrmal para V sería
4 Pryecció de ectr sbre sbespaci Defiició Sea sbespaci de R. Sea además { m } ectr e R la pryecció de sbre se deta K a base rtrmal para. Si es pry y se defie cm pry ( + ( + + ( m m L pry w Se dice qe ectr es rtgal al sbespaci si es rtgal a cada ectr de. Terema Sea sbespaci de maera sigiete. R. Cada ectr e R se pede expresar de frma úica de la w+ w dde w se ecetra e y w es rtgal a. Ls ectres w y w s w pry w pry Csidere ectr ( 6 e R. Sea el sbespaci de R el cjt {( ( } geera a y frma a base. Descmpga e la sma de ectr qe se ecetre e y ectr rtgal a. Slció La base es liealmete idepediete y ss ectres s rtgales. Nrmalizad cada ectr para bteer a base rtrmal { } para. ( + ( w pry ( w pry ( 6 ( ( (( 6 ( ( + ( 6 ( + ( ( La descmpsició qe se bsca de es ( 6 ( + ( Pry w
5 Distacia de pt a sbespaci Sea x ( x K x pt e R sbespaci de distacia míima x a es. d( x w x pry x w R y y ( y K. y pt e. la Calcle la distacia del pt x ( 7 de R al sbespaci. Ua base rtrmal para es ( Slció La pryecció del ectr x sbre el sbespaci es pry x ( x + ( x (( 7 ( ( + ( 7 ( + ( ( la distacia de x a es x pryw x ( 7 ( ( Matrices rtgales Defiició Ua matriz cadrada cys ectres clmas frma cjt rtrmal recibe el mbre de matriz rtgal. Demestre qe la sigiete matriz A es a matriz rtgal. Slció Ls ectres clma de A s Obsere qe A a y a a a a a Ls ectres clma de A s ectres itaris y además rtgales pr l tat es a matriz rtgal.
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