GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO N

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1 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 69 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO N 4 OBJETIVOS: Lgrar que el Alum: Iterprete el ccept de Dierecial Resuelva ejercicis y prblemas de aplicació. CONTENIDOS: Dierecial Atidiereciació Aplicacies e el Traz de la Gráica de ua Fució NOTA: Ls ejercicis idicads c (EO) s ejercicis bligatris y rmara la carpeta de trabajs práctics. Es requisit para ls alums aspirates al Régime de Prmció de la Asigatura que ha presetad la primera parte de la carpeta cmpleta, presetar esta guía de trabajs práctics c tds ls ejercicis (EO) desarrllads hasta el día siguiete al segud parcial. Ls ejercicis de aplicació Bilógica se idica c (AB). ACTIVIDAD: Dierecial A partir del siguiete euciad cmplete la graica: e la igura, se tiee ua curva de ua ució y = (x). La recta PT es tagete a la curva e P(x,y), Q es el put ( x + x, y + y), y la distacia dirigida MQ es y. E la igura, x y y s psitivs, si embarg, pdría ser egativs. Para u valr pequeñ de x, la pediete de la recta secate PQ y la pediete de la recta tagete e y P s aprximadamete iguales, es decir: (x) x Cmplete las siguietes deiicies: Deiició : Si la ució está deiida pr y = (x), etces la dierecial de y, detada pr dy, está dada pr...dde x está e el... de y x es el...de x. Deiició : Si la ució se deie pr y = (x), etces la dierecial de x, detada pr dx, está dada pr:... dde x es el...de x, y x es cualquier umer e el... de.

2 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 70 Ejempl : Se determió que la arista de u cub mide c u marge de errr de 0,0. Pr medi de diereciales, calcular el errr aprximad al bteer la medida de: a) el área de ua de las caras, b) del vlume. Slució: Realicems la igura del cub, e el cuál bservams que sied x la catidad de del arista y llamad dx el errr de 0,0, el área A tiee u errr aprximad da, mietras que el vlume V tiee u errr aprximad dv, tmádse a ésts cm icremets del área y vlume, respectivamete. A = x a) da = xdx = 0, = 0, 0 b) x = V = x dv = x dx = 6, 7 = 0, 0 Ejempl : Ua arteria, csiderada gemétricamete cm u cilidr abiert, tiee aprximadamete mm de espesr. Si el radi iter es de 0,6 y el larg csiderad es de 0, btega c diereciales la catidad aprximada de tejid que cubre la arteria. Slució: Para uestr mdel gemétric csiderad, el vlume del tejid se tma cm u icremet del vlume del cilidr huec. Así hacied r el úmer de del radi de la circuerecia iterir, V el vlume e del vlume del cilidr huec se tiee: V = π r h = π 0, 6 0 =, 6π dv = π rh dr =, 4π = π 0, 6 0 0, Ejempl : Tmems el mdel eséric para describir ua araja, supied que el radi de la misma es de 0, y que la cáscara tiee aprximadamete u espesr de 0,4. Hallar el vlume de la cáscara de la araja. Slució: Hacied que el vlume de la cáscara sea el icremet del vlume de la esera dada pr la araja expresada e V, y sied el radi de tal esera de r, etces: 4 V = π r dv = 4π r dr = 4π 0 0, 4 = 60π Pr l tat el vlume de la cáscara es de 60 π. 0 0,6 0,

3 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 7 EJERCICIOS ) (EO)(AB) El tall de ciert hg es de rma cilídrica y u tall de de altura y radi r tiee u vlume de V, dde V = π r h.utilice la dierecial para bteer el icremet aprximad e el vlume del tall cuad el radi crece de 0,4 a 0,. ) (EO)(AB) Ua quemadura e la piel de ua persa es de rma de circuerecia tal que si r cetímetrs es el radi y A es el área, etces A = π r.utilice la dierecial para calcular la reducció aprximada e el área de la quemadura cuad el radi dismiuye de a 0,. Atidiereciació Ccems peracies iversas, tal el cas de: la adició y la sustracció e el cjut de ls úmers reales, tr par de peracies que s iversas es la multiplicació y la divisió. E ls pares de peracies aterires se bserva que la peració directa es cmutativa, razó pr la cuál la peració iversa es úica; est curre cuad se trata de la pteciació, e eect, aquí las peracies puestas s ds: radicació y lgaritm. Ahra vams a expresar la peració iversa de la diereciació: atidiereciació. Cmplete la siguiete deiició: Deiició : Ua ució F se llama atiderivada de ua ució, e u iterval I, si...=... para td valr de x e I. Cmplete ls siguietes euciads: Si y g s ds ucies tales que sus derivadas s iguales, es decir, = g, para tds ls valres de x e u iterval I, etces existe ua cstate k, tal que..., para td x del iterval I. Si F es ua atiderivada particular de e u iterval I, etces la atiderivada más geeral de e I esta dada pr +., dde C es ua cstate arbitraria. Ejempl 4: Calcular la atidierecial siguiete: Slució: Usad las expresies para atidiereciar ua ució resulta: x ( 4x + ) dx = 4xdx + dx = 4 xdx + dx = 4 + ( x ) = x + 4C + x = x + x Observació: del ejempl se ve que las cstates parciales que aparece e cada atidierecial puede agruparse ialmete, y e tal cas, la pdems meciar recié al ializar la expresió. E geeral debems csiderar euciads de la atidiereciació, peració tambié llamada itegració, que a ctiuació puede cmpletar: Prpiedad : dx = x +...

4 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 7 Prpiedad : a dx = a..., sied a ua. Prpiedad : Si (x) y (x) s ds ucies deiidas e u mism iterval etces: + dx = [ ] Prpiedad 4: Sea ucies, ( x),..., deiidas e u mism iterval, dde se da las cstates c, c,..., c, se veriica que: [ c + c ( x) c ( x) ] dx = Prpiedad : + x x dx =, siempre que sea distit de. + Ejempl : Calcular x dx Slució: Escribied la raíz cm ptecia de expete racciari resulta x Cambi de Variable x dx = = x Muchas de las atiderivadas se puede bteer directamete mediate su atidierecial, si embarg, muchas veces es psible calcular ua atiderivada mediate u cambi de variables. Ejempl 6: Hallar la atidierecial x + x dx u = + x Slució: Deiims ua ueva variable du = x dx Reemplazad / / u / u du = = u / Asi x + x dx = ( + x )

5 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 7 Regla de la Cadea de la Atidiereciació Sea g ua ució diereciable de x, dada pr u=g(x), y cuya image es u iterval I. Supógase que es ua ució deiida e I y F es ua atiderivada de e I. Etces: ( g ) g dx = ( u) du = F( u) = F( g ) Prpiedad 6: Si g es ua ució diereciable, etces si u=g(x) [ g ] g + u + [ g ] + dx = u du = = + siempre que sea distit de. + C EJERCICIOS Revise las prpiedades de atidiereciació y apliquels e ls siguietes ejercicis: ) Halle la atidiereciacies siguietes: a) (EO) x 4 dx b) (EO) ( x x ) dx c) ( t t + ) 4 d) ( x + 4x 6x 4x + ) dx e) (EO) ( x x) dx x / ) (EO) x ( + )dx g) (EO) + + dx h) (EO) dy x x 4y i) (EO) r + dr j) x ( x ) x 9 4 dx k) dx x + 4) (EO) Calcule ( x ) dx + pr ds métds distits: a) desarrlle el cub del bimi y aplique teremas crrespdietes. b) haga la sustitució u = x + ) (EO) Calcule x dx pr ds métds distits: a) haga la sustitució u = x b) haga la sustitució v = x Respuestas de algus ejercicis ) El icremet aprximad e el vlume del tall es ) La reducció del área de la quemadura es da = 0, 4π dv = 0, 6π ) a) x 6 4 x x b) x x e) x ) x g) + x h) ( 4y ) / i) ( r + ) / x x 6 dt