1. ESPACIOS VECTORIALES

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1 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal. ESPACIOS VECTORIALES.. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL... Defiició..2. Ejemplos de espacios vectoiales..3. Popiedades de los espacios vectoiales.2. SUBESPACIO VECTORIAL.3. SISTEMAS GENERADORES. COMBINACIONES LINEALES.3.. Combiacioes lieales.4. SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.5. RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES.6. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.6.. Base de u espacio vectoial.6.2. Dimesió de u espacio vectoial.7. TEOREMA DE LA BASE INCOMPLETA.8. OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES.8.. Itesecció de subespacios.8.2. Suma de subespacios.8.3. Suma diecta.8.4. Subespacios suplemetaios Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

2 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal. ESPACIOS VECTORIALES.. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL... Defiició Espacio vectoial es ua tea ( E, +, o ) dode E es u cojuto cuyos elemetos se llama vectoes y dotado de ua ley de composició itea que se idica co el sigo +, tiee estuctua de gupo abeliao. el sigo ( ) - La ley de composició itea es asociativa: x, y,z E, x + y + z = x + y + z ( ) ( ) - Existecia del elemeto euto especto a la ley ( + ) : x E,!0 E / x + 0 = 0 + x = x - Existecia del elemeto simético (opuesto) especto a la ley ( + ) : x E,! ( x) E / x + ( x) = ( x) + x = 0 - La ley de composició itea ( + ) es comutativa: x,y E, x + y = y + x El cojuto E está dotado de ua ley de composició extea que se deota co o, defiida sobe los elemetos de u cuepo kllamados escalaes y que se cumple los siguietes axiomas - La ley ( ) ( ) - La ley ( ) ( ) - La ley ( ) ( ) ( ) - Elemeto euto especto a la ley ( ) o es distibutiva especto a la suma de vectoes: x,y E, λ k, λ o x + y = λ o x + λo y o es distibutiva especto a la suma de escalaes: λ, µ k, x E, λ + µ o x = λ o x + µ o x o es asociativa especto al poducto de escalaes: λ, µ k, x E, α β x = αo βo x x E,! k, o x = x Cuado se satisface todas estas codicioes se dice que el cojuto E tiee estuctua de espacio vectoial sobe el cuepo k. Cuado se dice que el espacio vectoial es eal, si el espacio vectoial es complejo. La teoía de los espacios vectoiales es idepediete de que esos espacios tega o o epesetació geomética. Po eso las popiedades que depede de la estuctua vectoial so idepedietes de su epesetació. o : Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

3 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal..2. Ejemplos de espacios vectoiales Alguos ejemplos de espacios vectoiales eales so: -,,,,, epeseta el cojuto de vectoes de ua ecta. -,,,,, epeseta el cojuto de vectoes de u plao odiaio. o se defie así: La suma de vectoes ( + ) y la ley extea ( ) Paa, e, la suma de vectoes se defie po x + y = x,x + y,y = x + y,x + y ( ) ( ) ( ) Paa,, l el poducto de u escala po u vecto se defie λ o x = λ o x,x = λx, λx. ( ) ( ) 2 2 -,,,,, epeseta el cojuto de vectoes del espacio odiaio y así sucesivamete si se aumeta la dimesió que afecta al espacio vectoial. - E geeal e u espacio vectoial de dimesioes, u vecto se defie mediate el cojuto de úmeos eales que ecibe el ombe de - tuplas,,,. o se defie así: La suma de vectoes ( + ) y la ley extea ( ) Paa,,, e,,, la suma de vectoes se defie po x + y = x = x,x,x, KK,x + y,y, y KK, y = x + y,x + y,x + y, KK,x + y ( ) ( ) ( ) , Paa,,, y l el poducto de u escala po u vecto λ o x = λ o x,x,x, KK,x = λx, λx, λx, KK, λx se defie po ( ) ( ) ( k, + ),( k, +, ), o cuado k es u cuepo comutativo tiee tambié estuctua de espacio vectoial sobe el mismo u oto cuepo. -,,,,, es u espacio vectoial eal dode /,,, + idica la suma de poliomios de ode y E este espacio vectoial la ley ( ) la ley ( o ) sigifica el poducto odiaio de u úmeo po u poliomio. -,,,,,, es el espacio vectoial eal de las matices de ode ( m, ), dode la ley ( + ) es la suma de matices de ode ( ) ley ( o ) es el poducto de u escala eal po ua matiz. -,,,,, es u espacio vectoial eal. La ley ( + ) es la suma de úmeos complejos y la ley ( ) úmeo eal po u úmeo complejo. m, y la o es el poducto de u -,,,,,, es u espacio vectoial eal. o es el poducto de u La ley ( + ) es la suma de aplicacioes lieales y la ley ( ) úmeo eal po ua aplicació lieal. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

4 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal..3. Popiedades de los espacios vectoiales α = 0 a) Poductos ulos: α o x = 0, ssi, x = 0 ( α ) o x = αo ( x) = ( αo x) b) Regla de los sigos: ( α) o ( x) = αo x x 0 y α o x = βo x, etoces α = β c) Reglas de simplificació: Si α 0 y α o x = α o y, etoces x = y.2. SUBESPACIO VECTORIAL. U subcojuto S de u espacio vectoial ( E, + ),( k, +, ), o es u subespacio vectoial si se cumple, α, β k, x, y S se cumple α x o + εo y S De esta defiició se deduce que si u subespacio cotiee dos vectoes x,y cotiee todas sus combiacioes lieales.. Paa α = β = o x + o y = x + y S 2. Paa α =, β = 0 o x = x S El cojuto de todas las combiacioes lieales de u sistema de vectoes S = x,x,x, KK,x se llama evoltua o clausua lieal del sistema de vectoes que a su 2 3 vez es u subespacio vectoial de E. Se dice que S es el subespacio egedado po el cojuto de vectoes { x,x 2,x 3, KK,x } o que S es u sistema geeado de E, o que x,x,x, KK,x es u sistema geeado de S. 2 3 TEOREMA Si a u sistema de geeadoes S { x,x,x, KK,x } = 2 3 se le añade otos vectoes que sea combiació que sea combiació lieal de S, el subespacio egedado es el mismo. E cosecuecia, si e u sistema de geeadoes se elimia uo que sea combiació lieal de los demás, el espacio egedado es el mismo..3. SISTEMAS GENERADORES. COMBINACIONES LINEALES Sea ( E, + ),( k, +, ), o u espacio vectoial sobe el cuepo k, se deomia sistema de vectoes S de E a u subcojuto fiito de elemetos de E. S E, S = x,x,x, KK,x E 2 3 Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

5 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal.3.. Combiacioes lieales Se dice que u vecto x E es combiació lieal de los vectoes del sistema S = { x,x 2,x 3, KK,x } de E si existe escalaes α, α2, α3, KK, α k tales que se cumple. x = α x + α x + α x + KK + α x = α x El vecto ulo ( ) i i 0 = 0,0,0, KK,0 E se puede expesa como combiació lieal de los vectoes del sistema S. 0 = 0o x + 0o x + 0o x + KK + 0o x 2 3 Se puede expesa de foma úica el vecto 0 como combiació lieal de los vectoes de S?. Esta idea se puede platea de ota foma: existe distitas combiacioes lieales de los vectoes de S que defia al vecto ulo?. TEOREMA Si u vecto X es combiació lieal de los vectoes del sistema S = { x,x 2,x 3,,x KK } y x,x 2,x 3, KK,x a su vez so combiació lieal del sistema de Y = y,y,y, KK,y de E, el vecto X es combiació lieal de los vectoes vectoes del sistema Y SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO Se dice que u sistema de vectoes S = { x,x 2,x 3, KK,x } es u sistema libe cuado la elació α o x + α 2 o x2 + α 3o x3 + KK + α o x = 0 se cumple paa α = α 2 = α 3 = KK = α = 0. A los vectoes x,x 2,x 3, KK,x se les deomia liealmete idepedietes. El vecto ulo 0 se expesa de foma úica como combiació lieal de los vectoes de S. 0 = 0o x + 0o x + 0o x + KK + 0o x 2 3 Se dice que u sistema de vectoes S = { x,x 2,x 3, KK,x } es u sistema ligado cuado la elació α o x + α 2 o x2 + α 3o x3 + KK + α o x = 0 se cumple paa valoes distitos de ceo de los escalaes α, α2, α3, KK, α ( αi 0). A los vectoes x,x,x, KK,x se les deomia liealmete depedietes. 2 3 E este caso el vecto 0 o se puede expesa de foma úica como combiació lieal de los vectoes de S. Si e u sistema de vectoes ligado se elimia los vectoes que sea combiació lieal de otos se obtiee el máximo úmeo de vectoes liealmete idepedietes. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

6 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal.5. RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES El ago de u sistema de vectoes es el úmeo máximo de vectoes liealmete idepedietes de dicho sistema. Se calcula mediate la aplicació del método de Gauss. Se modifica el sistema iicial ealizado opeacioes elemetales sobe sus ecuacioes (vectoes); Estas opeacioes hace que pemaezca ivaiate el ago del sistema de vectoes educiedo el úmeo de vectoes que lo foma. Los vectoes cuyo ago hay que estudia se coloca e fila e ua matiz y se opea sobe las filas de ella. El ago o vaía si se supime: a) Las filas que sea ulas b) Las filas que sea combiació lieal de otas Las opeacioes elemetales so: a) Itecambia ete sí filas de la matiz b) Multiplica o dividi ua fila de la matiz po u úmeo eal distito de ceo c) Suma a ua fila u múltiplo de ota.6. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL..6.. Base de u espacio vectoial Sea u espacio vectoial ( E, + ),( k, +, ), o sobe u cuepo k. Se llama base del espacio vectoial E, a todo sistema de vectoes libe que sea geeado de E. Todo vecto x E se expesa de ua maea úica como combiació lieal de los vectoes de ua base B de E. B = b,b,b, KK,b es ua base de E y x k ( i =,2,3, KK, ), si Si { 2 3 } x = xb + x2b2 + x3b3 + KK + x b a los valoes,,, se les llama compoetes del vecto x especto a la base B. E u espacio vectoial e egedado po u úmeo fiito de geeadoes B = b,b,b, KK,b existe al meos ua base. { 2 3 } TEOREMA E u espacio vectoial E egedado po u úmeo fiito de geeadoes todas las bases tiee el mismo úmeo de vectoes. i Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

7 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal.6.2. Dimesió de u espacio vectoial Se llama dimesió de u espacio vectoial E al úmeo de vectoes que tiee ua base de ese espacio vectoial. Cosecuecias a) Todo sistema libe de geeadoes que tega vectoes e u espacio vectoial de dimesioes es u sistema libe b) Todo sistema libe e u espacio vectoial de dimesió, tiee u úmeo de vectoes meo o igual que c) Todo sistema que tega más de vectoes e u espacio vectoial de dimesió es ligado.7. TEOREMA DE LA BASE INCOMPLETA. Sea m vectoes x,x,x, KK,x S liealmete idepedietes de u 2 3 m subespacio vectoial S E de dimesió m, siempe es posible halla " m" x,x,x, KK,x,x,x, KK,x sea ua base de E. vectoes de foma tal que 2 3 m m+ m+ 2 Evidetemete la base que se puede ecota, es deci, la base completa o es úica..8. OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES.8.. Itesecció de subespacios Sea el espacio vectoial ( E, + ),( k, +, ), o defiido sobe el cuepo k y subespacios vectoiales de E: S,S 2,S 3, KK S. Se deomia itesecció de subespacios vectoiales a S = S S S KK S = x E / x S,x S,x S, KK,x S = I i = = { x E / x S,I,2,3, KK,}.8.2. Suma de subespacios i Se llama suma de subespacios vectoiales y se expesa po Si al subespacio vectoial de E defiido po S = S + S + S + KK + S = x = x + x + x KK + x / x S,i =,2,3, KK, i i i De esta defiició se ifiee que cada vecto de la suma de subespacios se descompoe e suma de los vectoes peteecietes a uo de los subespacios. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez

8 Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal.8.3. Suma diecta Cuado la descomposició de u vecto e suma de vectoes de modo que cada uo de ellos peteezca a uo de los subespacios sea úica, se dice que la suma de los subespacios es diecta. DEFINICIÓN. Se dice que la suma de los subespacios S,S 2,S 3, KK,S es diecta y se deota po S S2 S3 KK S ssi cada vecto peteeciete a la suma x S S S KK S, se descompoe de maea úica como suma de vectoes 2 3 x = x i co xi S. i Dos subespacios vectoiales S y S 2 de E so suma diecta si su itesecció es el vecto ulo. S S2 = { 0} S S2 dim( S ) + dim( S2 ) = dim( E).8.4. Subespacios suplemetaios Sea u subespacio vectoial ( + ) ( + ) E,, k,,, o sobe u cuepo k y F u subespacio vectoial de E. El subespacio vectoial suplemetaio de F e E es u S subespacio vectoial deotado po F que cumple las codicioes. F F S S F + F = E Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José Gozález Gómez