POLINOMIOS. OPERACIONES. FORMULAS DE NEWTON. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

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1 POLINOMIOS. OPERACIONES. FORMULAS DE NEWTON. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ídice 1. INTRODUCCIÓN EL ANILLO DE POLINOMIOS...2 Aillo de poliomios de idetemiadas co coeficietes e u aillo A...2 Valoació poliomial...3 Poliomio de ua vaiable o idetemiada...4 Opeacioes co poliomios de ua vaiable...4 El espacio vectoial de los poliomios de ua vaiable...7 Fomula de Newto DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS...8 Divisió etea de poliomios...8 Ideales de poliomios...10 Máximo comú múltiplo y míimo comú múltiplo...11 Poliomios pimos etes si...13 Poliomios ieducibles...14 Ceos de poliomios...16 Los aillos K[x] / p(x) Faccioes algebaicas...19 El cuepo de las faccioes del aillo de poliomios...19 Faccioes popias y faccioes simples. Descomposició e faccioes simples CONCLUSIÓN INTRODUCCIÓN. La utilizació de los poliomios tiee sus atecedetes e la esolució de ecuacioes algebaicas, que a pesa de su pofudizació y estudio po los matemáticos italiaos a pati del siglo XV, el estudio de ecuacioes secillas es muy atiguo, puesto que se cooce poblemas popuestos e papios y tablillas de las atiguas civilizacioes giegas y babilóicas. El simbolismo usado e los poliomios y ecuacioes se ha ido elaboado a lo lago de la histoia y o tomo su foma actual hasta el siglo XIX. Desde el siglo XVI, se cooce fómulas paa esolve algebaicamete ecuacioes de hasta cuato gado, gacias a Matemáticos como Cadao o Tataglia. Si embago, el iteto de esolve algebaicamete ecuacioes de gado mayo que geeó fustació e muchos matemáticos, peo tambié poteció la geeació de esultados teóicos iteesates, co la cotibució de Matemáticos como Descates o Ruffii.

2 A pati de la demostació de Abel de que o puede habe fómulas geeales paa la esolució de ecuacioes poliómicas de quito gado, se comezó a gesta la teoía de Galois, que estudia detalladamete las elacioes ete las aíces y poliomios. Actualmete, los poliomios y las fucioes poliomiales se utiliza e la mayoía de las amas cietíficas o sociales, ya que esuelve ifiidad de poblemas de uesto etoo, y po supuesto su utilizació está estechamete elacioado co todas las disciplias matemáticas: Álgeba, Geometía, Estadística, etc. 2. EL ANILLO DE POLINOMIOS. Aillo de poliomios de idetemiadas co coeficietes e u aillo A Si A es u aillo uitaio y es u úmeo atual, se puede costui u úico aillo uitaio comutativo B (salvo isomofismos) deomiado Aillo de poliomios de idetemiadas co coeficietes e A y elemetos X 1, X 2,..., X de B, tal que A es subaillo de B y cada elemeto f = i=0 f B se escibe de maea úica como ua suma: a v1 v 2...v X 1 V 1. X 2 V X V. v 1 v 2...v =i Dicho aillo se epeseta mediate A [ X 1, X 2,..., X ]. # Ejemplo: 3.X 1 3. X 2 2. X 3 Z[ X 1, X 2, X 3 ] E el caso de = 1, se deomia poliomio de ua vaiable co coeficietes e el aillo A. Si (A,+,.) es u Aillo uitaio comutativo, podemos toma po cuestioes didácticas el aillo de poliomios A[X,Y] ( = 2, paa > 2 se puede geealiza) como ejemplo de aillo de vaias idetemiadas. Dode cada f A[X,Y] se epeseta como: f =a 00. X 0.Y 0 a 10. X 1.Y 0 a 01. X 0.Y 1...a m. X.Y m y dode X, Y so las idetemiadas, y a ij A paa todo i = 0, 1,..., ; j = 0, 1,..., m. Si defiimos las opeacioes SUMA (+) y PRODUCTO (.) de poliomios e A[X,Y], dode paa cada f =a 00. X 0. Y 0 a 10. X 1. Y 0...a m. X.Y m, g =b 00. X 0.Y 0 b 10. X 1. Y 0...a m. X. Y m A[ X, Y ] es: f g=a 00 b 00. X 0.Y 0 a 10 b 10. X 1.Y 0... a m b m f.g=a 00.b 00. X 0.Y 0 a 10. b 00 a 00.b 10. X 1.Y 0 a 01.b 00 a 00.b 01. X 0.Y a 00.b 11 a 10.b 01 a 01.b 10 a 11.b 00. X 1.Y a m. X. X m Se puede demosta que (A[X,Y],+,.) es u ANILLO UNITARIO CONMUTATIVO, dode: El poliomio euto de la suma o ulo es el poliomio 0. ( 0=0. X 0.Y 0 0. X 1.Y X.Y m ) El poliomio simético de f es f = 1. f. ( f = a 00. X 0. Y 0 a 10. X 1.Y 0... a m. X.Y m ) El poliomio euto del poducto o uidad es el poliomio 1. ( 1=1. X 0.Y 0 0. X 1.Y X.Y m )

3 Si f =a 00. X 0.Y 0 a 10. X 1.Y 0...a m. X.Y m A[ X,Y ] eagupado témios podemos expesa expesa f = f 0. Y 0 f 1. Y 1 f 2. Y 2... f, dode f j = a ij. X i i=1 f A[ X,Y ], teemos que f A[ X ][Y ], luego A[ X, Y ] A[ X ][Y ] Aálogamete si f = i=0 X 1 v 1. X 2 v X v v 1 v 2...v =i como se puede expesa como f = p=0 i =0 X 1 v 1.X 2 v X 1 v 1. X p v 1 v 2...v 1 =i Es deci, siempe lo podemos odea segú las potecias de la ua idetemiada: A [ X 1, X 2,..., X ] = A [ X 1, X 2,..., X - 1 ]. [ X ]., teiedo e cueta que Luego, paa el estudio de alguos casos paticulaes de vaias vaiables, cosideaemos solo ua como vaiable, y el esto como costates y haemos el estudio como si se tataa de ua sola vaiable y luego aplica estas popiedades a dichos poliomios. Po ello, e el esto del tema solo estudiaemos el aillo de poliomios de ua idetemiada A[X]. E el caso de que el aillo A sea u cuepo K, como sucede co Q, R o C, el aillo de poliomios K[X] co las opeacioes f g,k. f f, g K [ X ] y k K es u espacio vectoial. Valoació poliomial Paa cada p=a 0 a 1. X a 2. X 2...a. X K [ X ] podemos defii la aplicació VALORACIÓN POLINOMIAL, dada po p: K K : x px=a 0 a 1. xa 2. x 2...a. x Mediate esta aplicació covetimos los poliomios p e los poliomios p x, dode x es ahoa ua vaiable o valo descoocido del cuepo K, y se suele deota a este cojuto de poliomios po K[x]. Que es la otació que empleaemos e el esto del tema. Paa el estudio de alguas popiedades de poliomios de dos vaiables px, y podemos cosidea ua de ellas como si fuea ua costate. # Ejemplo.- Paa descompoe el poliomio ciclotómico px, y=x 3 x 2. y x. y 2 y 3 Podemos cosidea y costate y mediate el algoitmo de Euclides, obteemos: 1 y y² y³ - y - y 0 - y³ 1 0 y² 0 Luego: px, y= x y.x 2 y 2

4 Apovechado esta estuctua vectoial de K[x], Si p x=a 0 a 1. xa 2. x 2...a. x K [ x]; a 0, podemos idetifica px co ua sucesió a i i {1,2,3,..., } de K, y que podemos expesa a 0,a 1,a 2,,a =a 0.1,0,0,,0a 1.0,1,0,,0 a.0,0,0,,1 Deomiado x 0 =1,0,...,0, x 1 =0,1,0,...,0,..., x =0,...,0,1 a 0, a 1, a 2,, a seá las coodeadas de p(x) especto de la base { x 0, x 1,, x } a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a x ; a 0. Poliomio de ua vaiable o idetemiada Sea K u cuepo (habitualmete R o C ), a 0,a 1,a 2,,a ua sucesió de K. U poliomio e ua vaiable x co coeficietes e K es ua aplicació 1 : a : K K : x a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a x a 0, a 1,,a K se deomia coeficietes del poliomio a, N y a 0. Se defie gado del poliomio a(x) (deomiamos g(x)) al mayo úmeo atual m tal que a m 0 Es deci: g a x={ max j N : a j 0} Cuado a 0 =a 1 = =a =0, decimos que a(x) o tiee gado. Opeacioes co poliomios de ua vaiable Si defiimos po K[x] al cojuto de poliomios de ua vaiable co coeficietes e el cuepo K. Podemos defii las opeacioes: : K [ x] X K [ x] K [ x]: a x,bx a xbx Dode : axbx=a 0 b 0 a 1 b 1 x...a p b p x p... *: K [ x] X K [ x] K [ x]:ax,b x ax bx Dode : ax*bx=a 0.b 0 a o. b 1 a 1. b 0 x... a i.b j x p... i j= p Utilizado las popiedades del cuepo K, co estas opeacioes se compueba fácilmete que K[x] adquiee la estuctua de aillo comutativo uitaio. Es deci, veifica: 1 E geeal se defie paa vaiables x_1, x_2, x_3,, x_, mediate la fució: a: K K : x 1, x 2, x 3,, x a x 1, x 2, x 3,, x =a 0 a 1.x 1 v 11, x2 v 13, x3 v 13,, x v 1 a. x 1 v 1, x2 v 2, x3 v 3,, x v Siedo N y W 1j =1 ; j=1 j=1 W 2j =2 ; ; j=1 W j =

5 1. (K[x],+) es u gupo comutativo, dode el elemeto ceo es el poliomio ulo y el simético de a(x) es ax= a 0 a 1.x a 2 2.x... a.x 2. La opeació * poducto cumple la popiedad asociativa. 3. Se cumple la popiedad distibutiva. 4. a(x) K[x] u elemeto uidad 1, tal que tal que 1*a(x) = a(x). Además, como cosecuecia de dicha estuctua, se cumple: a) g a xbx max gax, g bx a x,b x K [ x] {0}. La igualdad se cumple si gadoa x=gadob x y a b 0. b) g a x b x=ga xg b x ax,b x K [ x] {0 } # Demostació:. E caso de aillos que o sea domiios de itegidad se cumple la desigualdad c) El cojuto de poliomios K[x] o tiee divisoes de ceo. d) Los úicos poliomios que so ivesibles so los de gado ceo.. a) Si g a x= y g b x=m, seá: a x b x= i =0 m b) ax b x= i=0 a i. x i i j=k ={ mi m,m b i. x i i=0 i =0 mi,m i=0 a i b j. x k m a i b i. x i i=1 a i b i. x i i=m1 b i. x i ; si m a i. x i ; si m} c) Si a(x) * b(x) = 0, tedá que se a = (0,0,...,0) ó b = (0,0,...,0) es deci, a(x) = 0 ó b(x) = 0. Luego K[x] o tiee divisoes de ceo. d) Teiedo e cueta que el elemeto uidad R[ x] es el poliomio 1, si p(x) es el poliomio ivesible de a(x) tedá que se a(x)*p(x) = 1. Y teiedo e cueta la igualdad b) seá: g a x p x=g a xg px=g 1=0. Es deci seá: # Ejemplo: g a x=g p x=0. Si K [ x]=r [ x] ; ax=x x 2 ; bx=1x 3, seá: Además: axbx=1x x 2 x 3 ; ax b x=x x 2 x 4 x 5 g a xb x=3 ; g a x b x=5. C.q.d.

6 El espacio vectoial de los poliomios de ua vaiable Es evidete que como K [x],+ es u gupo comutativo, si defiimos la opeació extea:. : R x K [ x] K [ x]:,ax.ax=.a 0.1. x.a p. x p +... (K[X],+) R tiee estuctua de ESPACIO VECTORIAL REAL 2, ya que dicha opeació cumple: a).axbx=.[a 0 b 0 a 1 b 1. x a p b p. x p...]= =.a 0.b 0.a 1.b 1. x.a p.b p. x p... + = =.a 0.b 0 b) s.ax=s.[a 0 a 1. x...a p.x p...] = = s.a 0 s.a 1. x...s.a p. x p...= =.a 0.a 1. x...a p. x p...s.a 0 s.a 1. x...s.a p. x p...= =.a xs.bx c). s. a x=.s. [a 0 a 1. x...a p. x p...]= =.s. a 0.s.a 1. x...s. a p. x p... = =.[ s.a 0 s.a 1. x...s.a p. x p...]= =.s.a x d) 1.ax=1.a 0 1.a 1. x...1.a p. x p...=a 0 a 1. x...a p. x p...=ax Coviee destaca que ua base otoomal de K[x] es geeada. Hay que obseva, que si cosideamos el cojuto B={1, x, x 2, x 3,...} que es ifiitamete K [ x], cojuto de poliomios, cuyo gado es meo o igual que mas el poliomio ulo. Etoces, co la suma + de poliomios y el poducto de úmeos eales (escalaes del cuepo K) po poliomios, es u SUBESPACIO VECTORIAL de K [ x]. Fomula de Newto Ua impotate elació que apaece e todas las estuctuas de aillo comutativo es la fómula del biomio de Newto, que paa el caso paticula de poliomios, adquiee la expesió siguiete: xa = 0. x. a 0 1. x 1. a x0. a Dode, a es u elemeto abitaio del cuepo K y p el úmeo de combiacioes de objetos tomados de p e p, es deci p =!!. p! # Demostació: Po iducció matemática, vemos que: Paa = 1, es: 2 Si cosideamos e el espacio vectoial K [x],+ k tambié la opeació. de poducto de poliomios, decimos que K [x],+,. k es u ÁLGEBRA ASOCIATIVA sobe K.

7 tales que: ( ) x a x a x a = = x + a 0 1 Supogamos que se cumple paa, etoces: + 1 ( x a ) ( x a ).( x a ) = + + = ( x a ) 0 x a + 1 x a + + x a + = = x a x a x a x a x a x a = x a x a x a x a = x a x a x a E la última desigualdad hemos utilizado las popiedades: = 0 0 ; + = si 1 < p < +1; p p 1 p 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. Divisió etea de poliomios. C.Q.D. + 1 = + 1 Teoema (de divisió etea).- Dado dos poliomios a(x) y b(x) existe dos úicos poliomios q(x) y (x) Siedo ax=bx.q xx. x=0 o bie gado xgado bx. Deomiádose q(x) = cociete y (x) = esto de la divisió etea de a(x) po b(x). # Demostació: Sea ax,b x R [ x] tal que ax = a i. x i i=0 m ; bx = a j. x j j =0 1) Si m q(x) = 0; (x) = a(x) Se cumple el teoema. 2) Si m. Deomiado, 0 x=ax ; 1 x=a x b x. a b m. x m = = Si gado 1 xgadob x, seá: qx= a a m. x m ; x= 1 x Se cumple el teoema.

8 Si gado 1 x gadob x, Deomiado: 1 x=a x b x. a b m 2 x= 1 x b x. c 1 b m 1. 1 = x m c 1 i. x i i =1. x 1 m Si gado 2 xgadobx, seá: so tales que: q x= a b m Si. x m c 1 1 b m. x 1 m gado 2 x gadob x. Deomiado: 2 x= 1 x bx. c 1 b m 3 x= 2 x bx. c 2 b m 1 1 ; x= 2 x Se cumple el teoema.. 2 x 1 m = c 2 i. x i i =1. x 2 m... Tas u cieto úmeo fiito de divisioes obtedemos: ax=bx. a b m c 1 1 b m Tal que. x m k x=0 ó k m que e cualquie caso se cumpliá. x 1 m c 1 k b. x m k m x k gado k xgadob x Paa ve que dichos cocietes so úicos basta tee e cueta que si q(x), q (x), (x) y (x) Se cumpliá: a(x) = b(x).q(x) + (x). a(x) = b(x).q (x) + (x). b(x) [q(x) q (x) ] = (x) (x). Y como K es domiio de itegidad se cumpliá: gado b(x) + gado [ q(x) q (x) ] = gado ( (x) (x) ). Que es ua cotadicció, luego Es deci: ( (x) - (x) ) = 0; q(x) - q (x) ) = 0. (x) = (x) y q(x) = q (x). C. Q. D. Cuado el esto de la divisió de a(x) po b(x) es ceo, se dice que a(x) es múltiplo de b(x), o que b(x) es u diviso de a(x) b(x) a(x). Idicamos po (b(x)) al cojuto de poliomios múltiplos de b(x).

9 Ideales de poliomios U Ideal de poliomios es u subcojuto o vacío I K [ x] que satisface: 1.- axb x I ; ax,bx I 2.- ax.c x I ; ax I, c x K [ x] El ejemplo mas simple de ideal es el cojuto de poliomios múltiplos de u poliomio dado b(x), es deci: bx= { ax.bx:ax K [ x] }. Teoema.- Si I es ideal de K[x], es I = (b(x)) paa algú bx K [ x]. # Demostació : Si I = {0}, Ideal tivial. Etoces seá I = {bx K [ x]:ax.bx=0, ax K [ x] }. Es deci b(x) = 0. Po tato seá I = ( 0 ). Si I 0, y b(x) el poliomio o ulo de gado míimo e I, que debe de existi po se I {0}. Como I es u ideal se veifica: bx I Si ax I, po teoema de divisió, q x, x K [ x] tales que a(x) = b(x).q(x) + (x); co (x) = 0 o gado ((x)) < gado (b(x)). Es deci: (x) = a(x) + b(x).(-q(x)). Y dado que ax,b x I, y que I es ideal. Se cumpliá que x I, y como b(x) es u poliomio de gado míimo de I, o puede se gado ( (x) ) < gado ( b(x) ). Luego (x) = 0. Como cosecuecia a x=b x.q x b x. Es deci: I b x Luego: I = (b(x)) C. Q. D. Hay que obseva que : bx= { k.bx k K } b(x) a(x). Míimo comú múltiplo (m.c.m.) y Máximo comú diviso (M.C.D.) Sea a 1 x,a 2 x,...,a x K [ x]. 1.- El cojuto: m x = a 1 x a 2 x... a x.

10 Es u ideal de K[x] po se itesecció de ideales. Deomiado, Míimo comú múltiplo de a 1 x,a 2 x,..., a x K [ x]. Este ideal está fomado po todos los múltiplos de a 1 x,a 2 x,...,a x K [ x] : m x = m.c.m. a 1 x, a 2 x,..., a x. Además, como mx= { k.mx k K - {0} }. Se cumpliá que es úico salvo facto costate o ula. 2.- El cojuto: d x = a 1 x a 2 x... a x ={ c 1. a 1 x c 2. a 2 x... c. a x:c 1, c 2,..., c K }. Es u ideal de K[x]. Deomiado, Máximo comú diviso de a 1 x,a 2 x,...,a x K [ x]. Este ideal está fomado po todos los divisoes de a 1 x, a 2 x,..., a x K [ x], pues paa cada poliomio a i x se cumple a i x = 0.a 1 x... 1.a i x... 0.a x d x d x = M.C.D.a 1 x, a 2 x,...,a x. Además, si D(x) es u diviso comú de todos los a i x, etoces tambié es diviso de d(x) ya que d x a 1 x,a 2 x,...,a x d x =c 1.a 1 x c 2. a 2 x... c. a x Y si paa cada i {1,2,, }, a i x = b i x. D x, etoces: d x =c 1.b 1 x c 2. b 2 x... c. b x. D x Además, como d x= { k.d x k K - {0} }. Se cumpliá que es úico salvo facto costate o ula. Hay que obseva que d x = M.C.D. a 1 x,a 2 x,...,a x Hay que obseva que : d(x) es el míimo ideal que cotiee al cojuto a 1 x a 2 x... a x. Ya que a 1 x a 2 x... a x o es e geeal u ideal, pues po ejemplo, si tomamos: a 1 x = x 2 1 a 2 x = x 2 1 Si H = a 1 x a 2 x fuea u ideal, paa cada pa de poliomios p x y qx de H, seía pxq x u poliomio de x 2 1 ó x 2 1, y tomado po ejemplo: px = x 2 1 x 2 1 qx = x 2 1 x 2 1 Se tiee que x 2 1 x 2 1 = 2 y se cumple 2 x x 2 1 Luego, a 1 x a 2 x... a x o es u ideal.

11 # Ejemplo: Si ax=x 2 1; bx =x 1 2, seá m.c.m.ax, bx = x1.x 1 2 = x 3 x 2 x1 M.C.D.a x,bx = x 11.x 1 2 U método paticulamete útil paa halla el M.C.D., es el coocido algoitmo de Euclides y que se basa e la aplicació eiteada del siguiete teoema: Teoema.- Si ax = bx.qx x es la divisió etea de ax po bx 0, etoces: # Demostació: M.C.D.ax,bx=m.c.d.bx, x axb x b x x Si px=ax.c 1 xb x.c 2 x a x b x px=b x. q x.c 1 xc 2 x x.c 1 x bx x. bx x axbx Si p x=b x. c 1 x x.c 2 x a x b x px=b x. c 1 x qx.c 2 xax.c 2 x b x x. C.Q.D. Aplicado eiteadamete este esultado, y dado que los estos sucesivos seá dececietes, llegaá u mometo e que el esto seá 0, y el último esto o ulo seá el M.C.D. de ( a(x), b(x) ). # Ejemplo: M.C.D.x 3 x 2 x,x 2 = M.C.D.x 2, x=m.c.d. x,0=x. Pues basta tee e cueta que: x 3 x 2 x=x 2. x 1x x 2 =x.x0. Poliomios pimos etes si Dos poliomios ax y bx so pimos ete si cuado M.C.D.ax,bx=1. # Ejemplo: Los poliomios x 2 x1 y x1 so pimos ete si, pues M.C.D.x 2 x1, x1=m.c.d. x1, 1=M.C.D.1,0=1. Si M.C.D.a x,bx =d x, etoces M.C.D.a x/d x,bx/d x=1. Ya que si, M.C.D.a x,bx =d x se cumple d x a x y d x bx. Además, existe dos poliomios x y s x tales que: Luego : d x= x.ax sx. b x. a x x 1= x. s x.b d x d x C. Q. D.

12 Teoema (de Euclides).- Si a x y b x so poliomios pimos ete si, etoces a x bx. c xa x c x. # Demostació : Si M.C.D.a x, bx =1, se cumple 1 a x y 1 bx. Además, existe dos poliomios x y s x tales que: 1= x. axs x. bx. Multiplicado po c(x) c x= x. a x. c xs x.b x. c x. Como a x b x.c x existe u poliomio p x tal que: a x. p x=bx. c x Seá: c x= x. a x. c xs x.a x. px=a x. x. cxsx p x. Po tato: a x c x. C. Q. D. Ua cosecuecia de este teoema es que dados dos poliomios a x y b x, existe u k K [ x ] tal que: m.c.m.ax, bx. m.c.d a x,b x=k.a x. bx. # Demostació: Si d x=m.c.d. a x,b x existiá dos poliomios x y s x, pimos ete sí, tales que: a x=d x. x ; b x=d x. s x. Además, m x=d x. x. sx es múltiplo de a(x) y b(x). De hecho es el m x=m.c.m.a x, bx. Pues si existiea oto M x=m.c.m.a x,bx, seía: M x=a x.c x=bx. h x. Y se cumpliá d x. x.c x=d x. s x. hx. Teemos pues x. cx=sx. h x y, po tato, x s x. hx. Puesto que M.C.D. x, sx =1. Po aplicació del teoema de Euclides: x h x. Supogamos que hx= x. t x. Etoces, M x=bx. h x=d x. sx. x. t x. Es deci, M x es múltiplo de d x. sx. x. Que es ua cotacció, co se el míimo múltiplo de a x y b x, ya que le m x=d x. sx. x. C.Q.D.

13 Poliomios ieducibles U poliomio p x co gado p x0 es u poliomio ieducible o pimo si sus úicos divisoes so k y k.px, siedo k K 0. Cabe destaca dos popiedades impotates: Todo poliomio p x { K [ x ] {0}} co gado p x0 es poducto de poliomios ieducibles. Si p 1 x... p x=q 1 x...q m x. Y todos los factoes so poliomios ieducibles, etoces m= y los poliomios { p i x} so los mismos que los {q i x} salvo factoes del cuepo K {0}. # Demostació: Si p x es u poliomio pimo, es cieto. Y si o es pimo, existiá u poliomio pimo de gado míimo p 1 x ete los divisoes de p x. Y seá: p x= p 1 x. a 1 x ; Paa algú a 1 x K [x ]. Si a 1 x es Pimo es cieto. Y si o es pimo,existiá u poliomio pimo de gado míimo p 2 x ete los divisoes de a 1 x. Y etoces seá: p x= p 1 x. a 1 x. a 2 x ; Paa algú a 1 x, a 2 x K [ x] Repitiedo el poceso y dado que gado a 1 xgado a 2 x... Existiá u atual y existiá poliomios ieducibles: p 1 x, p 2 x,..., p 1 x, p x K [ x]. Tal que: f x= p 1 x. p 2 x.... p 1 x. p x Pocediedo po iducció matemática sobe Si = 1, etoces, si m = 1 y seá p 1 x=q 1 x. Supogámoslo cieto paa 1. Dada la expesió: p 1 x... p x=q 1 x...q m x Teemos que paa algú {1,2,., } p x q 1 x...q m x=q 1 x.q 2 x...q m x. Si p x o coicide co k.q 1 x, paa algú k K {0}. Etoces, p x y q 1 x so pimos ete si y p x dividiá q 2 x q m x. Repitiedo este azoamieto llegaemos a la deducció de que u q j x que seá igual a p x salvo facto del cuepo K {0} p x=q j x. k. Supimiedo este facto comú seá: p 1 x... p 1 x=q 1 x...q j 1 x.k 1. q j1...q m x

14 Y aplicado la hipótesis de iducció seá 1=m 1, y los poliomios p 1 x,..., p 1 x, coicide co los estates q j x (salvo factoes costates de K), y como e paticula se cumple paa 1=m 1, seá =m y se cumpliá p x=q x. Ceos de poliomios Si a x=a 0 a 1 xa 2 x 2...a x K [ x]. Deomiaemos, valo de a x e x=k ik a ak =a 0 a 1 ka 2 k 2...a k K [ x]. Cuado paa u K se cumple que a =0, diemos que k es u ceo o aíz del poliomio a x (paa más de ua vaiable se deomia ceo). # Ejemplo.- Si px=x 2 2 R[ x] 2 y 2 so aíces de p x, si embago, si px=x 2 2 Q[ x] p x. E ocasioes, si C K os iteesa cooce si u cieto px K [ x] tiee aíces e C. Es deci si U es el cojuto de aíces de p(x), queemos cooce U C. # Ejemplo.- El poliomio x 2 4 R [ x] tiee solo ua aíz atual, ya que sus aíces so 2 y 2 Ua impotate aplicació páctica cuado queemos factoiza poliomios es: Regla de Ruffii.- Sea u valo fijo k K. Paa cada px K [ x] existe u poliomio px K [ x] tal que: px=qx. x k p k. Además: pk =0x k px. # Demostació: Basta obtee la divisió etea de p x po x k : px=qx. x kx Cuyo cociete es qx y esto x, co gado xgado x k. Po tato seá gado x 0, es deci x= costate. Etoces evaluado paa x=k ambos miembos de la igualdad de la divisió etea seá: pk =q k. k k = = pk. Y esulta la egla. C.Q.D. # Ejemplo.- Sea px K [ x], co px = x 3 1. Como p1=0, Se cumpliá que x 1 px. Es deci: px= x 1.x 2 x1 Alguos esultados impotates, e cuato a casos paticulaes y geeales de aíces de poliómios, se vuelve a tata e los temas de ecuacioes y ecuacioes diofáticas.

15 Si embago, podemos destaca u esultado impotate paa ecota las aíces de u poliomio ax Q[x] co coeficietes eteos: Sea ax = a 0 a 1. xa 2. x 2...a. x ; co a 0, a 1,...,a Z. Si p, q Z pimos ete si. Etoces: p a 0 y q a p q es ceo de ax co Si p q # Demostació : es aíz de ax seá: a p q = a 0a 1. p q a 2. p 2 q...a. p q Como p y q so pimos ete si obteemos: q. a 0 a 1. p. q 1 a 2. p 2. q 2...a. p = 0 Es deci, podemos obtee la expesió: q.a 0 = p. a 1.q 1 a 2. p 1.q 2...a. p 1 0 O bie q. a 0. q 1 a 1. p 1. q 2...a 1. p 1. q = a. p Y puesto que M.C.D. p,q=1, esulta que p a 0 y q a. U esultado fudametal sobe las aíces de poliomios es Teoema fudametal del Álgeba.- Todo poliomio de gado 1 co coeficietes complejos tiee u ceo e el cuepo C de los úmeos complejos. Como cosecuecia de dicho teoema se deduce que todo poliomio de C[ x] se puede descompoe e factoes lieales de gado 1, y e el caso de R[ x], se deduce que los poliomios ieducibles so de gado 1 y los de la foma a.x 2 c (siedo ±c las aíces complejas) Los aillos K[x] / p(x) Si p x K [ x] {0}, diemos que a x,bx K [ x ] so coguetes módulo p x si a x b x p x. Y escibimos como: a x b xmod px. Dado que la elació es de equivalecia, el cojuto cociete K [ x ]/ que epesetamos po K [ x ]/ px, está fomado po las clases de equivalecia de la foma: [a x]= {b x K [ x ]:ax bx p x}. Hay tatas clase de equivalecia como estos posibles e las divisioes eteas po p(x). Además, e el cojuto K [ x ]/ p x podemos defii las opeacioes: [a x][bx]=[a xb x]. [a x].[a x]=[ax.b x].

16 Que o depede de los elemetos elegidos y po tato está bie defiidas. Y que como se compueba fácilmete, co estas opeacioes tiee estuctua de aillo comutativo uitaio. Siedo el elemeto euto de la suma la clase [0], el opuesto de la clase [a x] especto de la suma la clase [ a x] y el elemeto uidad del aillo el [1]. Hay que obseva que e caso de que p x o sea pimo, podemos ecota dos poliomios f x y g x o ulos tales que f x. g x= p x y e este caso el aillo K [ x ]/ px tiee divisoes de ceo. Si p(x) es u poliomio ieducible e K [ x ], K [ x ]/ px es u cuepo. Si px es pimo, el aillo K [ x ]/ p x o tiee divisoes de ceo, y como a x ip K [ x] seá M.C.D.a x, p x=1. Aplicado el Teoema de Euclides, existiá dos poliomios f x, g x K [ x], tales que: 1= f x. a xgx. p x. Es deci: [1] = [ f x.axg x. px] = [ f x. a x][ g x. p x] = [ f x].[a x] Luego: [ f x]=[a x] 1. Y como cada a x K [ x]/ px, [a x] 1 K [ x ]/ px es u cuepo. Si px es u poliomio ieducible de K [ x ]. Podemos establece u aplicació iyectiva : K K [ x]/ p x:k [k ] Lo que justifica que epesetemos los elemetos [k ]de p x simplemete po k Además co esta otació, K K [ x]/ p x. Como todo poliomio co coeficietes e K puede tambié cosidease u poliomio co coeficietes e K [ x ]/ px. E paticula, el poliomio px = p 0 p 1 x... p x. Puede cosidease co coeficietes e K [ x ]/ px. Si poemos =[ x] K [ x]/ p x p = p 0 p 1 [ x ]... p [ x] = [ p 0 p 1. x... p. x ] = [0] Y esulta que el poliomio p x que ea ieducible e K [ x], tiee u ceo ( y po tato tiee u diviso lieal ) e K [ x ]/ px. Al cuepo K [ x ]/ px se le deota po K y se llama extesió algebaica de K. Ejemplo.- si px=x 2 1, existe ua coespodecia biyectiva ete K [ x]/x 2 1 y el cuepo de los úmeos complejos C.

17 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. El cuepo de las faccioes del aillo de poliomios Igual que a pati del aillo Z de los úmeos eteos podemos establece el cuepo de faccioes Q, a pati del aillo K [ x] podemos establece el cuepo de faccioes algebaicas K x, mediate la elació R de equivalecia e K [ x] x { K [ x] {0 }}, dada po: ax,bx Rc x,d x ax.d x=c x.b x Las clases de equivalecia del cojuto cociete K [ x] x { K [ x] {0}} R so de la foma: [ax,b x]={cx,d x K [ x] x { K [ x] { 0 }}:ax,bxr cx,d x } Cuyos elemetos se epeseta habitualmete po coeficietes e el cuepo K. c x d x, y se deomia faccioes algebaicas co Si m.c.d.a x,bx=d x como existe a x,b x K [ x] tales que: ax=a x.d x bx= p x. d x Podemos ecota ua facció algebaica a x,b x [a x,bx] (facció ieducible), tal que m.c.d.a x,b x=1, mediate las cuales solemos elegi como epesetates de la clase de equivalecia [ax,b x]. E el cojuto de faccioes algebaicas K(x), podemos defii las opeacioes: : K x x K x K x: [ax,bx][c x,d x]=[ax.d xc x.bx,b x.d x].: K xx K x K x: [ax,bx].[cx,d x]=[ax.b x,bx.d x] Estado dichas opeacioes bie defiidas, y fácilmete se demuesta K x, + es u gupo comutativo. K x { 0},. es u gupo comutativo. La opeació poducto es distibutiva especto de la suma. El elemeto euto de la suma es [0,b x] El ecípoco de [a x,b x] es [a x,bx]=[ ax,b x]=[ax, b x] El elemeto uidad del poducto es [ax,a x] El elemeto iveso de [ax,b x] especto del poducto es [bx,a x]. Además, al igual que ocue e Q, K x cotiee u subcojuto H x fomado las clases de equivalecia de la foma [a x.b x,b x], que es isomofo al aillo de poliomios K [ x], mediate la aplicació f : K [ x] H x:ax f a x=[ ax.bx,b x] Habitualmete epesetamos:

18 Luego: [ax.bx,bx]=ax [bx,a x.bx]=ax 1 [ p x, q x]=[ p x,1].[1, q x]= p x. q x 1 = px q x Faccioes popias y faccioes simples. Descomposició e faccioes simples. Debido a la ambigüedad e la expesió de ua facció algebaica como cociete de poliomios, es deseable pode ecota epesetacioes simplificadas. Paa lo que itoduciemos dos tipos básicos de faccioes: a x b x impopia. Ua facció popia es ua facció popia si ax bx atual, tal que bx= p x. Utilizado el algoitmo de divisió etea paa poliomios Si a x b x bx 1 = 1 b x b(x), tales que: gadoa xgadobx. E caso cotaio se dice que es, es ua facció simple si existe u poliomio pimo p(x) y u úmeo es ua facció impopia del cuepo K x, etoces, teiedo e cueta que es clao que existe dos poliomios qx y x co gado (x) < gado a x x = q x b x b x Teoema.- Sea ua facció ax bx bx=c 1. p 1 x m 1. p2 x m 2.. p x m Etoces existe ua descomposició úica de la foma:. Si la descomposició de poliomios ieducibles de b(x) es: ax bx =qx 1 c. i =1 m i j=1 C ij x p i x j Siedo qx la pate etea de la facció y # Ejemplo.- Paa descompoe 2 x 2 7 x2 x1 2. x = A x1 B 2 x que equivale a esolve: 2 x 2 7 x2= A. xb. x1 2 Que idetificado coeficietes esulta: A = 3, B = 2. gadoc i1 x gado p i x

19 Hay que obseva que las faccioes simples e R x so de la foma: c ; c, R. s N s o x bie axb ; a,bu,v R. s N x u 2 v 2 s Las faccioes algebaicas las solemos descompoe faccioes simples co el fi de opea co más facilidad, po ejemplo e la esolució de itegales de faccioes acioales. 5. CONCLUSIÓN. Los poliomios apota impotates esultados todas las amas de las matemáticas, desde los más simples, como aplicació de cambios de sistemas de umeació, hasta los más complejos e el tatamieto de aspectos teóicos de poliomios de vaias idetemiadas. Si e el caso de poliomios de ua vaiable, se hace mucho más fácil la compesió de sus popiedades, ya que el compotamieto de los poliomios es simila al de los úmeos eteos, po tee las mismas estuctuas algebaicas.