ÁLGEBRA,TRABAJO PRÁCTICO UNIDAD TEMÁTICA Nº 2

Transcripción

1 ÁLGEBRA,TRABAJO PRÁCTICO UNIDAD TEMÁTICA Nº Estuctuas Algebaicas Esacios Vectoiales Auto: ZAIA, Alejada Cistia Ficha de Cáteda: Caeas: Cotado Público- Liceciatua e Ciecias Ecoóicas Mateia: Álgeba 018 UCES

2 Álgeba UCES Páctica UNIDAD TEMÁTICA Nº Piea Pate: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1) Idique ete las oeacioes habituales defiidas e : a) Ua ley itea asociativa b) Ua ley itea o asociativa c) Ua ley itea coutativa d) Ua ley itea o coutativa e) Ua ley itea distibutiva co esecto a la sua y a la esta f) Ua ley itea o distibutiva co esecto a la sua y a la esta g) Ua oeació que o sea ley itea ) Dado A,, y las oeacioes ; y defiidas e él: a) Veifica que cada ua de ellas defie ua les de coosició itea e A b) Halla el esultado de: i) ii) iii) iv) v) c) Idica cuál es el eleeto euto aa cada ley itea defiida d) Halla el iveso de cada eleeto de A (si existe) esecto de e) Deteia cuáles de las leyes iteas dadas so coutativas Justifica ) Paa cada ua de las siguietes oeacioes, veifica que so leyes de coosició itea e, y y aaliza: asociatividad, coutatividad, existecia de eleeto euto y de eleeto siético: a) a b a b ab b) ab a b 1 a b a b c) 4) Deteia e cada caso si A; tiee estuctua de guo si: a) A 1;0; 1 ab a b b) A 1;;4;8 ab c a; b c) A x / x d) A x / x : oducto usual : adició habitual

3 Álgeba UCES Páctica 5) Aaliza si costituye o o guo abeliao, justificado: a) ; b) ; c) ; d) ; ; 6) Deosta que 0 ; y 7) Deteia e cada caso si el a G; es guo: a) G x / x k 1 k b) G x / x k k 8) a) Sea ; ; ; ; e) 0 ; tiee estuctua de guo abeliao es el oducto odiaio P x es la adició e el cojuto de olioios co coeficietes eales e la vaiable a y el olioio ulo Aaliza si P x x, de gado igual co la oeació adició de olioios, es guo b) Aaliza si P x, cojuto de olioios co coeficietes eales e la vaiable eo o igual a 4, y el olioio ulo, co la adició de olioios, es guo x, de gado 9) a) E esolve la ecuació b) Sea G; tiee úica solució 1 x Cuátas solucioes tiee? guo Si ag b G, deosta que las ecuacioes ax b y xa b 10) Sea G; guo, deosta: 1 a) 1 a G : a a b) a G, b G : ab b a 11) Poba que ; es u guo abeliao, siedo : / a; b c; d a c; b d 1) Usado los esultados obteidos e el ejecicio : a) Aaliza aa cada uo de los siguietes aes, si es o o guo: i) ; ii) ; iii) ; iv) ; b) Ivestiga si es o o cueo: ; ; 1) Aveigua, justificado e cada caso, si las siguietes teas tiee estuctua de cueo: ; ; a) b) ; ; c) ; ; Siedo y 14) Sea ; ; la sua y el oducto habituales u cueo, a, b Deosta: Si b 0 etoces la ecuació bx a adite solució úica e 4

4 Álgeba UCES Páctica Seguda Pate: ESPACIOS VECTORIALES 1) Dados los vectoes de u ; : a) Reesetalos gáficaete b) Halla u v c) Halla a; b a; b v 1; y siedo la sua usual, tal que a; b c; d a c; b d u v siedo la ultilicació o u escala usual, tal que d) Reeseta gáficaete los vectoes obteidos e b) y c) ) Escibi e foa exlícita: a) El euto aa la sua e 4 b) El iveso aditivo de 1; ; ;5 c) El iveso aditivo del iveso aditivo de u vecto d) El iveso aditivo del euto aa la sua e 1;1;1 ;; e e) El vecto v f) La oiedad coutativa aa la sua de vectoes e 1;1 g) La sua del iveso aditivo de co 5 veces el vecto e h) El vecto 1;1;8 4 ;;0 5 1;0;1 i) El vecto de que suado al iveso aditivo del vecto 1; 4;6 vecto ;4; ) Veifica que ; es u guo coutativo Geealiza aa ; usual 4) El oducto escala de vectoes de es la fució: : / x y x y x y x y 1 1 4;5 da o esultado el siedo la sua, e dode x x x x ; y y y y Calcula: ; 1; e a) b) ; ; e c) 1; ;5 1;;0 e d) 1;0;4;5 0;;0;0 e e) 19;;7 0;0;0 e, eeseta gáficaete los vectoes, eeseta gáficaete los vectoes 4 ; ; ; 5) Sea u y v dos vectoes de Idica vedadeo o falso, justificado: a) u v v u b) u 0 o v 0 u v 0 c) u v 0 u 0 o v 0 6) Dados los vectoes 1; y ;1 de a) Reesetalos gáficaete Qué águlo foa ete ellos? b) Veifica que su oducto escala es igual a 0 Cóo se llaa estos vectoes? 1 ; ; ; 1 5

5 Álgeba UCES Páctica c) Halla u vecto xy ; tal que solució? 7) Dados el vecto x x x x 1; ; ; dode xy ; 1; 0 y eeseta gáficaete Es úica la x i es la catidad del bie I y el vecto de ecios i que el cosuido uede adquii co u ivel de igeso 0 1; ; ; Escibi: a) La elació a la cual está sujeto el lote de biees que uede adquii b) La elació a la cual está sujeto el lote de biees que uede adquii si el cosuido gasta todo su igeso 8) U cosuido tiee u igeso de $800 y lo destia a la coa de dos biees A y B, cuyos ecios uitaios so esectivaete y 80 a) Escibi el vecto de ecios y eesetalo gáficaete b) Escibi la ecuació esuuestaia y gafica la ecta de osibilidades de cosuo Cóo es la osició del vecto de ecios y la ecta de osibilidades de cosuo? c) Cuál es la catidad áxia de biees B que el cosuido uede adquii co su igeso, si adquii igú bie A? 9) El lao balace que cotiee todos los esuuestos que tiee u gasto de $000 aa la x1 x x adquisició de tes biees, escito e foa segetaia, es a) Reesetalo b) Escibi la ecuació esuuestaia c) Halla el vecto de ecios d) Cóo es la osició del vecto de ecios esecto del lao balace? 10) U cosuido tiee u igeso de $1800 y lo destia a la coa de tes biees La ecuació x y z del lao balace es: a) Halla la ecuació esuuestaia b) Da el vecto de ecios c) Qué sigifica el valo y 60? 11) Sabiedo que: a) El vecto de ecios es u últilo escala del vecto 6;8;7 b) Ua de las osibilidades de cosuo es x ; x ; x 40;50;0 c) El igeso es igual a $1000 Halla: i) El vecto de ecios ii) La ecuació esuuestaia 1) a) Deosta que ; ; ; e el ejecicio 1 siedo 1 es u subesacio vectoial co las oeacioes usuales defiidas e x; y / y x b) Coleta y tacha lo que o coesode: Obseva que el cojuto está eesetado o la ecta, que SI/NO asa o el oige 6

6 Álgeba UCES Páctica 1) a) Ivestiga si ; ; ; siedo x; y / y x es u subesacio vectoial co las oeacioes usuales defiidas e b) Coleta y tacha lo que o coesode: Obseva que el cojuto está eesetado o la ecta, que SI/NO asa o el oige 14) a) Ivestiga si ; ; ; siedo es u subesacio vectoial co las oeacioes usuales defiidas e x y y x b b ; / 0 b) Coleta y tacha lo que o coesode: Obseva que el cojuto está eesetado o la ecta, que SI/NO asa o el oige 15) Sea ; ; ; u esacio vectoial, oba que: a) v, w, z : v w v z w z b) v : 0 v 0 c) : 0 0 d) v 0 0 v 0 e) v : v v f) v : v v 16) Deteia si el cojuto dado es o o esacio vectoial Si o lo es, eucia los axioas que o se cule: a) El cojuto de las atices cuadadas de ode co las oeacioes usuales de adició de atices y de ultilicació o u escala N; ; ; / N 0;0;0, siedo y las leyes usuales de b) c) ; ; ; / x ; x ; x / x x x, siedo y las leyes usuales de ) Deosta que todo subesacio o vacío de u esacio vectoial cotiee al vecto ulo 18) Idica si cada uo de los siguietes cojutos es subesacio del esacio coesodiete Justifica la esuesta x; y; z / z x y a) b) c) d) x y z e) x; y; z / x y z x; y; z / x y z y ; ; / y x y x y ; / 0 19) Sea el cojuto de las atices cuadadas de ode co las oeacioes usuales de adició de atices y ultilicació o u escala Deteia si el subcojuto es u subesacio de Justifica la esuesta: a) : Cojuto de atices diagoales b) : Cojuto de atices egulaes o o sigulaes c) : Cojuto de atices siéticas 7

7 Álgeba UCES Páctica d) : Cojuto de atices atisiéticas 0) Cooba que el cojuto solució del sistea: a) x1 x x 0 x1 x x 4 o es subesacio de b) x y z 0 x y z 0 4x y 5z 0 es subesacio de c) x y z 0 x y z 0 4x y z 0 es subesacio de d) Halla el subesacio de atices coutables co ; ; ; ; ; ; ; ; ; A ) a) Poba que el cojuto solució del sistea hoogéeo asociado al siguiete sistea de ecuacioes es u subesacio de ; ; ; : x z 6x 7y z x 4y 5z 10 b) Da ua base y su diesió v ;; eteece al subesacio, exesalo e dicha base c) Si el vecto ) a) Poba que el cojuto solució de los siguietes sisteas de ecuacioes es u subesacio de ; ; ; b) Da ua base y su diesió x 5y z 0 x y z 0 i) ii) x 4y z 0 x z 0 x y z 0 v eteece al subesacio de (i), exesalo e dicha base c) Si el vecto 4;5; d) Si el vecto w 9;5; eteece al subesacio de (ii), exesalo e dicha base v ; 1;1 eteecietes a ) Sea v1 1; ; y a) Escibi, si es osible, a 4;; 1 b) es osible exesa ;1; c) Paa qué valoes de k es w 1;1; k t coo cobiació lieal de v1 y v u coo cobiació lieal de v1 y v? ua cobiació lieal de v1 y v? d) Idica qué codició debe culi los úeos eales a, b yc aa que el vecto v a; b; c e) Halla el subesacio geeado o ; sea ua cobiació lieal de v1 y v v v 1 4) Halla k aa que v k;1;1 esulte cobiació lieal de u 0;;1 y w 1; 1;0 8

8 Álgeba UCES Páctica 5) U cosuido tiee u igeso I = $000 y lo destia a la coa de dos biees cuyo vecto ; 100;00 de ecios es 1 a) Halla y eeseta la líea de osibilidades de cosuo y obtee el vecto osició de cualquiea de sus utos coo cobiació lieal covexa de los vectoes 0; I I ;0 1 b) Halla el vecto aa el cual la catidad del segudo bie es igual al doble de la catidad del ie bie c) Si e la cobiació covexa es, halla el vecto de catidades 10 6) Deteia si el cojuto dado de vectoes es LD o LI: ; ; ; D ;1;1 ; ; 1;5 ; 4;0; a) E b) E ; ; ;, , F ; ; ; ; ;, B ; ; C 1; x; x ;x x c) E d) E P x, 7) Deteie la o las codicioes que debe satisface los úeos a, b, c y vectoes ab ; y cd ; sea LI y d a fi de que los uv y vw ; so cojutos de vectoes liealete deedietes de Deteia si el cojuto uw ; es liealete deediete 8) Se sabe que ; 9) Se sabe que ; uv y vw ; so cojutos de vectoes liealete ideedietes de Deteia si el cojuto uw ; es liealete ideediete 0) Se sabe que u; v; w es u cojuto de vectoes liealete deedietes de u ejelo aa osta que u o es ecesaiaete ua cobiació lieal de Poocioa vy w uv de u esacio vectoial liealete ideediete, etoces tabié lo es el cojuto u; u v 1) Deosta que si el cojuto de vectoes ; ; ; ; es ) Deosta que dos vectoes del esacio vectoial ; ; ; so liealete deedietes sí y sólo si uo de ellos es u últilo del oto Geealiza aa ) Usa el esultado del ejecicio ateio aa decidi (a sile vista) si los siguietes aes de vectoes so LI O LD 1;1 ; ;7 a) b) ;4;1 ; 8;16;4 9

9 Álgeba UCES Páctica c) 5;5;10;0;5 ; 1;1;;0;1 d) 0;0;0 ; 5;7;18 4) Aaliza si el vecto g ;14; 4;7 eteece al subesacio de v y v 1 1;4; 5; 1; ;;1 4 geeado o los vectoes 5) E se cosidea el subesacio geeado o los vectoes v y v 1 1;;5 1;0; Da u ejelo de u vecto que eteezca a dicho subesacio y uo de u vecto que o eteezca al iso 6) Deteia si el cojuto de vectoes dado geea, e cada caso, el esacio vectoial idicado E caso egativo, halla el subesacio geeado 1 a) E, ; 1 b) E 1; 1;0 ; 0;;1 ; ;4; c) E d) E 4,, 1;0;0;0 ; 0;1;0;0 ; 0;0;1;0 ; 0;0;0;1, ; ; ; ) Veifica que todo vecto de se uede escibi coo ua cobiació lieal de los vectoes v1 1; ; v ;7 y v ;5 Sigifica esto que el cojuto v ; v ; v es ua base de? Justifica la esuesta 1 8) a) Veifica que el cojuto 1;1;1 ; 1;1;0 ; 1;0;0 ; ; ; Exesa el vecto ; ; b) Las coodeadas de u vecto u e la base 1 1; ; ;5 coodeadas de u e la base B 1;1 ; 4;? c) Las coodeadas de u vecto e la base 1 1;1;1 ; 1;1;0 ; 1;0;0 Cuáles so las coodeadas de v e la base B es ua base del esacio vectoial abc coo cobiació lieal de los vectoes de esa base v B so y -1 Cuáles so las B so 1; 8 y 5 B 1; 1;0 ; 0;1; ; 0;1;? 9) Deteia si el cojuto dado de vectoes es ua base del esacio vectoial idicado E caso de o selo, halla el subesacio geeado, ua base y su diesió: 1 a) E, ; 1 b) E 1;; 1 ; 1;0; ; ;1;1 c) E d) E e) E,, 1;0; ; ; 1;4, 1;1;1 ; ;0;1 ; 1;; ; 0;4;5 4, f) E g) E 1;0;0;0 ; 0;1;0;0 ; 0;0;1;0 ; 0;0;0;1 Cóo se llaa este cojuto? P x, 1 x x ;1 x 4 x ;1 7x, 1;0;0 ; ;;0 ; ;; 40

10 Álgeba UCES Páctica 40) Qué valoes del úeo k sea ua base de? hace que el cojuto de vectoes 1;0; k; k;1;0 ; k 1;1; k 41) Halla ua base y la diesió del esacio solució de cada uo de los siguietes sisteas de ecuacioes lieales hoogéeos: x1 x x 0 a) x1 4x 0 x x 0 x 4y z w 0 b) x 8y 6z w 0 x1 x x 0 c) x1 x x 0 x1 x 0 4) Deteia el subesacio de ; ; ; geeado o el cojuto de vectoes idicado e cada caso y obtee ua base de dicho subesacio y la diesió 1; ;1 ; 1; 1;0 ; ; 9; a) b) 1;1; 1 ; ;; 1 ; ;1; 5 c) 1; 1; ; ; ; 8 ; ;1; d) Veifica que los subesacios geeados e b) y c) so iguales 41