TEMA 3: EL PLANO MÉTRICO

Transcripción

1 Matemática º achilleato. Geometía alítica TEM : EL PLNO MÉTRIO. DETERMINIÓN NORML DE UN RET. ÁNGULO QUE FORMN DOS RETS. FORM NORML DE LEUIÓN DE UN RET. DISTNI ENTRE DOS PUNTOS Popiedade de la ditacia mética. DISTNI DE UN PUNTO UN RET ao paticula: la ditacia del oige de coodeada a la ua ecta. ÁRE DE UN TRIÁNGULO DETERMINDO POR PUNTOS 7. MEDITRÍZ DE UN SEGMENTO. ISETRIES. PUNTOS NOTLES EN UN TRIÁNGULO. DETERMINIÓN NORML DE UN RET Se llama vecto caacteítico omal aociado a ua ecta a u vecto pepedicula a la ecta lo otaemo po u compoete coicide co lo coeficiete de e la ecuació cateiaa de la ecta. Veámolo pimeo co u ejemplo: Ejemplo: ea la ecta que paa po el puto P tiee como vecto dieccioal el vecto v P v co P v la ecuació de la ecta cotíua e: la paamo a cateiaa el vecto omal eía Vamo a demotalo ahoa de foma geeal paa calcula la ecuació de la ecta que paa po u puto P tiee de vecto omal

2 Matemática º achilleato. Geometía alítica P co P p p ea X u puto geéico de coideamo el vecto PX que al e u vecto dieccioal de la ecta eá pepedicula al vecto omal luego PX deaollamo e fució de la compoete : p p p p p p ombamo p p queda que e la ecuació cateiaa o geeal de la ecta. Ejemplo: alcula la ecuació de la ecta coociedo u puto P po dode paa u vecto dieccioal: P v co P v 7

3 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejemplo: alcula la ecuació de la ecta coociedo u puto P po dode paa u vecto omal: P co P K calculamo K paa que pae po el puto P: K K 7 7 Ejemplo: alcula la mediatiz de u egmeto de etemo lo puto P Q de P Q coodeada La mediatiz del u egmeto e la ecta pepedicula al egmeto que paa po el puto medio: Puto Medio P Q M Vecto dieccioal PQ ( ) Vecto omal o la detemiació omal la ecuació geeal e obtiee al deaolla: MX

4 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ota foma de hacelo eía plateado la ecuació cotiua abiedo que paa po el puto M coociedo el vecto dieccioal luego paala a la foma cateiaa Puto Medio P Q M Vecto dieccioal PQ ( ) ecuació cotíua Tambié - e puede hace coociedo el vecto omal aí abemo el comiezo de la ecuació cateiaa de la ecta paa halla el témio idepediete bata impoe que pae po el puto M. Puto Medio P Q M Vecto dieccioal PQ ( ) Vecto omal K como ha de paa po el puto M K K. ÁNGULO QUE FORMN DOS RETS E el meo de lo águlo que foma. P v P p p v v v Sea la ecta: v w vectoe dieccioale. Q w Q q q w w w alculamo el coeo del águlo que foma la ecta : co co v w v v w w v v w v w v w w Ejemplo: calcula el águlo que foma la ecta: v w

5 Matemática º achilleato. Geometía alítica 7 acco co co co co águlo w v w v w v Ejemplo: calcula el águlo que foma la ecta: v w 7 acco 7 7 co co 7 7 co co águlo w v w v w v

6 Matemática º achilleato. Geometía alítica. FORM NORML DE L EUIÓN DE UN RET Sea la ecta cuo vecto omal e que tiee de módulo dividimo lo do miembo de la ecuació geeal de la ecta ete el módulo del vecto omal: lo uevo coeficiete de e le deomia lo coeo diectoe del vecto : co co e Siedo lo águlo que foma el vecto omal co cada uo de lo eje coodeado: Se tiee que: co e Eto e la uma de lo cuadado de lo coeo diectoe vale uo. Ejemplo: ea la ecta de ecuació obtee la ecuació de la ecta e u foma omal:

7 Matemática º achilleato. Geometía alítica co co β α. DISTNI ENTRE DOS PUNTOS Sea P Q do puto del epacio fíico P Q E P p p Q q q etoce la ditacia ete eo puto e defie como el módulo o logitud del vecto PQ d P Q PQ PQ p q p q d P Q p q p q Ejemplo: ea lo puto P Q E d P Q P Q PQ PQ d P Q PROPIEDDES DE L DISTNI MÉTRI. La ditacia ete do puto o puede e egativa: d P Q. La ditacia ete P Q e la mima que la ditacia ete Q P: d P Q d Q P. Popiedad tiagula: P Q d P M d M Q d 7

8 Matemática º achilleato. Geometía alítica. DISTNI DE UN PUNTO UN RET La ditacia de u puto P p p poecció otogoal de P obe. Sea co P a ua ecta e la ditacia ete P la omalizamo el vecto : La ditacia d P d P P PP peo egú el igificado geomético del poducto ecala e tiee que coideado u puto cualquiea Q q q QP QP co PP p ue QP co po QP PP luego QP PP Deaollado el pime miembo de QP PP e fució de la compoete de lo vectoe que iteviee e el poducto ecala: QP PP p q p q PP e valo aboluto el pime miembo po e ua ditacia p q p q p q p q PP PP p p q q PP como Q q q q q utituedo e la epeió ateio queda : p p d P PP P p p

9 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejemplo: calcula la ditacia del puto P d P PP u P a la ecta ao paticula: la ditacia del oige de coodeada a la ua ecta O d O Ejemplo: calcula la ditacia del oige a la ecta O d O u

10 Matemática º achilleato. Geometía alítica Sea S. ÁRE DE UN TRIÁNGULO DETERMINDO POR PUNTOS E el áea del tiágulo detemiado po eto te puto e: S b h e iedo u vecto pepedicula al vecto co Ejemplo: calcula el áea del tiágulo detemiado po lo puto 7 S 7. MEDITRIZ DE UN SEGMENTO Recta pepedicula al egmeto que paa po u puto medio M el vecto e puede toma como vecto omal de la ecta mediatiz Se puede obtee tambié como el luga geomético de lo puto X que a a b b equidita de lo etemo d( ; X ) d( X ) a a b b

11 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejemplo: calcula la mediatiz del egmeto detemiado po lo puto ª Foma: M el vecto etoma como la ecuació de la mediatiz eá : vecto omal de la - ecta : ª Foma: obteemo la mediatiz como el luga geomético de lo puto X que equidita de lo puto Puto geéico de la mediatiz X d X d X elevamo al cuadado deaollamo :. ISETRIES iectice de lo águlo detemiado po do ecta que e cota e la ecta que divide al águlo e do pate iguale.

12 Matemática º achilleato. Geometía alítica Tambié e defie la biectice como el luga geomético de lo puto del plao que equidita de do ecta que detemia el águlo. Ejemplo: obtee la biectice de la iguiete paeja de ecta: ) ( ) : ecta detemiado po la águlo biectiz del de la u putogeéico X Sea X d d(x : ec ) ( ) tice i X d d(x 7 7 biectiz biectiz ) ( ) : ecta detemiado po la águlo biectiz del de la u putogeéico X Sea X d d(x

13 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejemplo: obtee la biectice de la iguiete paeja de ecta: 7 ) 7 ( ) 7 ( 7 ) 7 ( ) 7 ( 7 7 ) ( ) : ecta detemiado po la águlo biectiz del de la u putogeéico X Sea X d d(x

14 Matemática º achilleato. Geometía alítica. PUNTOS NOTLES EN UN TRIÁNGULO Mediaa Recta que ue u vétice co el puto medio del lado opueto. El puto de iteecció de la te mediaa e llama aiceto. Mediatice La mediatiz de u lado de u tiágulo e ua ecta pepedicula al lado del egmeto que paa po el puto medio. El puto de iteecció de la te mediatice e deomia icuceto ltua La altua tazada dede u vétice del tiágulo e la ecta que paa po dicho vétice e pepedicula al lado opueto. l puto de iteecció de la altua e deomia Otoceto. iectice So la biectice de u te águlo eceitamo cooce la ecuacioe cateiaa de lo te lado. l puto de iteecció de la biectice e deomia Iceto. t

15 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejemplo: Halla lo puto otable de u tiágulo que tiee de vétice lo puto. aiceto: puto de iteecció de la te mediaa alculamo lo puto medio: M M M alculamo la ecuacioe de la epectiva mediaa: Mediaa : paa vecto dieccioa l ecuació ecuació omal : Mediaa : paa po Mediaa : paa ecuació omal : aiceto M v M lo puto M vecto dieccioa l v omal : po lo vecto dieccioa l v po lo puto M puto M M icuceto: puto de iteecció de la te mediatice Lo puto medio de lo epectivo lado ea: Puto medio M M M La mediatiz coepodiete a u lado e ua ecta pepedicula al lado que paa po el puto medio:

16 Matemática º achilleato. Geometía alítica Mediatiz : paa po el puto M ecuació ecuació vecto omal omal : vecto omal omal : Mediatiz : paa po el puto M Mediatiz : paa po el puto M vecto omal ecuació omal : icuceto Otoceto: puto de iteecció de la altua La altua tazada dede u vétice e pepedicula al lado opueto: ltua : paa po el puto omal : omal : ltua : paa po el ltua : paa po el puto vecto omal ecuació vecto omal ecuació puto omal : Otoceto vecto omal ecuació

17 Matemática º achilleato. Geometía alítica Iceto: puto de iteecció de la biectice Neceitamo calcula la ecuacioe de lo te lado del tiágulo: Lado : paa po ecuació vecto omal omal : Lado : paa po ecuació Lado : paa po ecuació omal : vecto omal omal : vecto omal vecto dieccioa l v vecto dieccioa l v vecto dieccioa l v i ectice del vétice : i ectiz i ectiz i ectice del vétice : ` i ectiz i ectiz 7

18 Matemática º achilleato. Geometía alítica ec ec : ec tiz i tiz i vétice del tice i Teemo que aveigua cuále o la biectice iteioe al tiágulo paa lo cuál calculamo el puto de cote de cada ua de ella co el eje OX paa aí podela itua mejo decidi: ec 7 ec ec ec ` ec 77 ec tiz i tiz i tiz i tiz i tiz i tiz i Luego el iceto e el puto de iteecció de la biectice:.. ec ec ec Iceto tiz i tiz i tiz i Halla el águlo e : co acco

19 Matemática º achilleato. Geometía alítica Halla la upeficie del tiágulo: S iedo u vecto pepedicula al vecto S S u Ejecicio: Halla la logitud de la altua del tiágulo de vétice que pate de vétice el áea del tiágulo. bae altua S altua d vecto dieccioal v ecuació omal : altua d bae altua S bae 7 vecto omal h d Halla el águlo e : u calculamo la ecuació de la ecta que ue lo 7 puto : co acco

20 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejecicio: Halla el puto imético de P epecto de la ecta : alculamo la ecuació de la ecta que paa po el puto dieccioal el vecto omal de : P tiee como vecto : : 7 Reolvemo el itema fomado po la ecuacioe de la do ecta paa obtee la coodeada de la poecció del puto P obe la ecta : : : 7 7 : : Poecció 7 de P obe " ": P omo el puto imético de P equidita de P etoce P eá el puto medio del egmeto PP iedo P el imético de P epecto de : P P P P P P Ejecicio: alcula la upeficie del cuadiláteo de vétice D alculamo la compoete de lo iguiete vectoe dieccioale: D D D

21 Matemática º achilleato. Geometía alítica Etoce: u S S S u S u D S Ejecicio: Halla u puto de la ecta : que equidite de lo puto Paamo la ecta a u foma paamética paa ve cómo o e geeal la coodeada de u puto de : : : P P P d P d odició R P

22 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejecicio: Dada la ecta : lo puto halla u puto de la ecta que detemie u tiágulo co ello de upeficie u. 7 : : P P u P S odició P P R P

23 Matemática º achilleato. Geometía alítica Ejecicio: Dada la ecta : lo puto puto de la ecta que detemie co u vecto fome co el vecto de gado. halla u u águlo : odició P co P co P P P R P P