TEMA 53. Relaciones métricas: perpendicularidad, distancia, ángulos, áreas, volúmenes

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1 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. TEMA 53. Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olúmees. Itodcció La Geometía desaollada e la Gecia clásica sfe cambio coceptal e el siglo XVII de maos de matemáticos como Femat Descates. A pati de este mometo la aitmetiació de la geometía geea eo efoqe qe a a geea ga aace e esta ama matemática. Po oto lado el cocepto de ecto magitd ectoial tiliado e los siglos XVI XVII po los físicos de la época se plasma e eos coceptos matemáticos, los espacios ectoiales, si bie s defiició aiomática o se plasma hasta el siglo XIX a maos de Cato. Las opeacioes de espacios ectoiales más impotate so el podctos escala, ectoial mito pemite defii coceptos geométicos como áglos, distacias, áeas, olúmees.... Defiicioes peias. ) Se llama espacio afí a a tea A=(Π, V, ϕ) dode se cmple Π es cojto o acio de elemetos deomiados ptos; V espacio ectoial ϕ a aplicació qe elacioa ectoes co ptos de la foma sigiete: ϕ: ΠΠ V P, Q ϕ(p,q)= PQ Cmpliédose las popiedades:. ϕ(p,q)=0 P=Q. ϕ(p,q)+ ϕ(q,r)= ϕ(p,r) 3. P Π V etoces Q Π: tal qe ϕ(p,q)= Los casos más impotate so el Plao Afí, de dos dimesioes: A =(Π, R, ϕ) el Espacio Afí, de tes dimesioes: A 3 =(Π 3, R 3, ϕ). Los ptos e el plao espacio afí peteece a los cojtos Π = R R Π 3 = R RR. Paa descibi el espacio afí se sa los sistemas de efeecia R={O,,..., } siedo O Π, pto deomiado oige {,..., } a base del espacio ectoial V. Así todo ecto V se podá epesa e fció de la base de V: = λ + todo pto... + λ P a pati de las coodeadas del ecto OP= P P P( P, P,..., P). ) Dado R-Espacio ectoial, V, llamaemos podcto escala a a aplicació, f, qe actúa sobe VV paa llea al cepo R de la sigiete foma: f: VV R f( )= (otació simplificada), cmpliédose 4 aiomas: - Aioma (Comtatia): = - Aioma (defiida positio): >0 si 0 - Aioma 3 (distibtia): ( + ) = + - Aioma 4 (distibtio co el podcto escala): ( α ) = α ( ) Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es)

2 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. Ejemplo de podctos escalaes e V= R, siedo = (,..., ) = (,..., ), se defie el podcto escala de la sigiete foma: = i i. 3) Dado espacio Eclídeo co podcto escala defiido, llamaemos oma de V a a aplicació qe os elacioa ecto de V co el cepo de la sigiete foma: : V R i= = (tiee setido pes 0). Popiedades imediatas (a pati del podcto escala):. 0 (pes 0). = 0 = 0: = 0: = 0, = 0 etoces = 0 (A = 0), 3. λ = λ : λ = ( λ ) ( λ ) = λ = λ λ = λ 4. (Desigaldad de Schat). Demostació: Si =0 o =0 ( o los dos) etoces = λ λ =0 Si 0 0: ( + )( + ) = es egatio (o solcioes eales): ( ) 4 < 0 λ Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) λ, lego el discimíate < (Desigaldad de Mikoski). Demostació ( + )( + ) = = ( ) = + + Ejemplo oma e V= R, = i. i= 4) Ates de defii el podcto ectoial teemos qe itodci el cocepto de oietació. Dos bases de espacio ectoial tiee misma oietació si el detemiate de los coeficietes de a base e fció de la ota (mati de cambio de base) es positio. Fijada a base otas dos bases misma oietació si las dos la misma oietació o las dos difeete oietació especto al base fijada. El podcto ectoial sólo defiido e espacios V de dimesió 3. Sea { e, e, e3 } a base de V, el podcto ectoial de dos ectoes a oto ecto = cmpliedo: a) Módlo: = = se( ) ) b) ( ) = ( ) = 0 (otogoal a ambos ectoes) c) La oietació de (, ) es la misma qe la base { e, e, e3 } Popiedades imediatas:. = (si cambiamos a fila de la mati el detemiate cambia de sigo). ( + ) = + (liealidad del detemiate) 3. 0= 0 (el módlo del ecto lo es ceo) λ = λ = λ (Ua fila popocioal se pede saca costate) 4. ( ) ( ) ( )

3 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. El podcto ectoial de los tes ectoes de la base os pemite calcla el podcto ectoial de calqie oto ecto, poiedo estos e la base aplicado la liealidad del podcto ectoial. El podcto ectoial del ecto = ( ) = e + e + eco el ecto = (,, ) = e + e + e es oto ecto co las sigietes coodeadas: e e e = = e, e, e3 5) El podcto mito al igal qe el ectoial se defie e espacios ectoiales e tes dimesioes. Se llama podcto mito de tes ectoes al úmeo eal qe eslta de mltiplica escalamete el pime ecto po el podcto ectoial de los otos dos. [ ]: V 3 V 3 V 3 R,, [,, ]= ( ) A pati de los módlos de los ectoes del áglo ete ellos se calcla el alo del podcto mito: [,, ]= ( ) = cos( ) = se(, ))(cos( ) Aalíticamete se calcla como: [,, ]= Popiedades (popiedades de los detemiates): a) [,, ]=0 {,, } so liealmete idepedietes. b) [,, ]= [, ] = [,, ] =- [, ] = [, ] = [,, ] c) [ λ,, ]=[,λ, ]=[,, λ ]=λ [,, ] d) [ + ',, ]=[,, ]+[ ',, ] 3. Áglos. Se llama áglo ete dos ectoes, ( ), al qe se obtiee de la epesió sigiete: = cos( )). Po tato el áglo es: cos ( ( ) ) = Si dos ectoes so otogoales (podcto escala es lo) etoces el áglo (, ) =90 o =/ ad. Po desigaldad de Schat se cmple cos(, )) =. Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 3

4 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme Áglo fomado ete dos ectas. Es el mismo qe el áglo de ss ectoes diectoes, pes estos ectoes so paalelos a las ectas (Si es mao de 90 o se calcla el splemetaio)., s) = ) = cos Nota: Si las ectas se ca e áglo es el qe foma las ectas paalelas secates. Casos paticlaes: Paalelismo ete las dos ectas: se cmple qe los ectoes diectoes so popocioales, = λ o = =. Se cmple qe =. Pepedicla ete dos ectas: se cmple qe =0 3.. Áglos fomados po a ecta el plao. Paa el estdio ete ecta plao ecesitamos dispoe de ecto qe caacteice s diecció. Paa la ecta tiliamos s ecto diecto paa el plao el ecto omal (pepedicla a todos los ectoes del plao). Sea ecta s ecto diecto sea Π plao s ecto omal, etoces se defie el áglo fomado po Π como:, ) = 90, ) = 90 cos = se Casos paticlaes: Paalelismo ete el plao la ecta: se cmple qe o se cota si los ectoes so pepediclaes además igú pto de la ecta peteece el plao: =0, P peo P. La ecta coteida e el plao : si los ectoes so pepediclaes calqie pto de es tambié de : =0, P P La ecta es pepedicla al plao si so paalelas, po tato = Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 4

5 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme Áglos ete dos plaos El áglo fomado po dos plaos se calcla, po popiedades de los áglos, como el áglo fomado po dos ectoes pepediclaes a los mismos plaos, mao de 90 o se calcla el splemetaio). (Si sale, ) =, ) = cos Casos paticlaes: Plaos paalelos: se cmple qe los ectoes omales,, seá tambié paalelos igú pto de plao es del oto ( = si P etoces P ). Plaos coteidos: los ectoes omales, so paalelos calqie pto de plao es tambié del oto ( = si P etoces P ) Plaos pepediclaes: se cmple qe ss ectoes omales pepediclaes ete sí, po tato 0 = so 4. Distacias. La distacia está elacioada co la oma de ecto, se cmple así qe la distacia ete dos ptos P Q es igal a la oma del ecto asociado PQ: ( Q P ) + ( Q P ) + ( Q P ) d( P, Q) = PQ = 4.. Distacia ete pto a ecta. La distacia ete pto P a ecta seá la distacia ete el pto P el pto P de la ecta tal qe cmpla PP' es pepedicla a la ecta ( PP ' = 0). Paa calcla la distacia podemos sa dos métodos. Método ( calclado el pto P ): La pimea foma seía tomado pto geéico de qe edía dado e fció de t foma el ecto co P. Impoiedo la codició de qe este ecto so pepediclaes se obtedía el alo de t po tato el pto P. Método : Utilia la popiedad de qe el módlo del podcto ectoial es igal al áea del paalelogamo geeado po los dos ectoes (qe eemos lego). Cogemos pto de la Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 5

6 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. ecta Q calclamos PQ qe seá el áea del paalelogamo fomado po ambos ectoes. Si a este úmeo le diidimos po, base de la figa, el esltado es la alta del paalelogamo es deci la distacia ete P P, o lo qe es lo mismo la distacia de a P. d( P, ) = h= PQ Q Método 3 (Pitágoas): calclamos el cateto QP del tiáglo ectáglo co hipotesa es PQ a pati de la poecció del ecto PQ sobe. La distacia seá el oto cateto qe se calcla po Pitágoas: P d(,q)= PQ PQ Q P 4.. Distacia ete pto P plao Π. Sea P pto Π plao e el espacio co ecto omal. Si P Π etoces d(p, Π) = 0. Si P Π etoces d(p, Π) coicide co d(p,p ) dode P es la poecció de P sobe Π. La distacia es la poecció del ecto QP, co Q pto del plao, sobe el ecto omal. d(p,)= PQ 4.3. Distacia ete dos ectas. Pimeo se tiee qe estdia la posició elatia de ambas ectas. Casos: a) Si ambas ectas coicide o so secates etoces d(, )=0 b) Si ambas ectas so paalelas etoces d(, )=d(p, ) dode P es pto de c) Si las ectas se ca: es igal a la distacia ete a ecta ( pto de la misma) el plao qe cotiee a la ota ecta es paalela: d(, s) = d(, ) = d(, B). Como se cmple qe =, pto del plao seá pto de, A. Aplicado el s cálclo de la distacia de pto a plao se obtiee la fómla sigiete fómla. Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 6

7 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. d (, s) = ( s) ( AB) [, s, AB] = s s 4.4. Distacia etee dos plaos. Tedemos qe estdia la posició elatia de los plaos, así teemos dos opcioes: a) Si los dos plaos se cota o so coicidetes la distacia es ceo: d(, )=0 b) Si los plaos so paalelos la distacia es la misma qe la distacia de de los plaos a pto del oto plao: d(, )=d(p, )= PP 4.5. Distacia etee plao a ecta. Al igal qe e los otos dos apatados ateioes ha qe estdia peiamete la posició elatia: a) Si la ecta cota al plao o coteida la distacia seá la. b) Si la ecta paalela al plao ( =0) la distacia es la misma qe la de pto de 5. Áeas. la ecta, P, al plao, d(,)=d(p,). Áea de paalelogamo: es igal al podcto de la base po la alta. A=b h Dado paalelogamo de étices cosectios A, B, C D. El áea del paalelogamo ale Aea= AB AD. Demostació Aea= AB AD = AD ABse( α ) = bh 443 h B h C Aea= AB AD A D Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 7

8 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. Áea de tiáglo: el áea de tiáglo ABC es la mitad del áea del paalelogamo ABCD siedo D el étice qe se obtiee po el cote de la ecta paalela a AB desde C BC desde A. Aea= AB BC Áea de polígoo: Paa calcla el áea de polígoo lo descompoemos e tiáglo idepedietes smamos las áeas de todos estos tiáglos. 6. Volúmees. Volme de paalelepípedo: es igal el áea de la base po la alta del paalelepípedo. Si los étices A, B, C D so cato étices o coplaaios del paalelepípedo se cmple qe el olme es igal al alo absolto del podcto mito: V = [ AB, AC, AD]. Demostació: Sea = AB, = AC, = AD El módlo de es el áea de la base, la diecció pepedicla a la base, fomado áglo α co : α h [, ] = A cos( α ) = A h base base V = [ AB, AC, AD] Volme de a piámide base cadagla: el olme de la piámide es /3 del olme de paalelepípedo de misma base misma alta. Así se pede calcla como: V = 3 [ AB, AC, AD] Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 8

9 Tema 53.Relacioes méticas: pepediclaidad, distacia, áglos, áeas, olme.. Volme de tetaedo: tetaedo es a piámide de base tiagla, lego el olme seá la mitad del olme de la piámide ateio, po tato /6 del paalelepípedo: V = [ AB, AC, AD] 6 7. Coclsioes. Paa el cálclo de todas las elacioes méticas ateioes es ecesaio habe desaollado co ateioidad el podcto escala, ectoial podcto mito. Las ocioes desaolladas e este tema se eceta e el cíclo de Matemáticas II e º de Bachilleato. Jose Lis Loete (pepaado oposicioes secdaia.joselisloete.es) 9