Progresiones aritméticas y geométricas

Transcripción

1 Pogesioes itétics y geoétics Pogesioes itétics U pogesió itétic es scesió de úeos, tles qe l difeeci ete dos cosectivos clesqie de ellos es costte, po ejeplo, l scesió de los úeos ipes,,, dode l difeeci es Los téios de pogesió itétic se sele deot coo,,, (o co ot let) E geel, si l difeeci ete dos téios clesqie de l pogesió es d, podeos esciil tié coo, d, d,, peo hy veces qe coviee epez po el edio, to téio qe os iteese, y pti de hí escii los deás Po ejeplo, si el téio es especil po lg zó, o si sipleete os coviee epes los deás téios e fció de éste p fcilit los cálclos, podeos escii l pogesió coo d, d, d,, d, d, Ejeplo: ccteiz todos los tiáglos tles qe ss ldos está e pogesió itétic, y ss lts está tié e pogesió itétic Spoeos si pédid de geelidd qe ls logitdes de los ldos so c Coo el podcto de ldo po lt es igl l dole del áe, tedeos qe h h ch c, siedo h h h c ls lts desde los vétices opestos los ldos de logitdes c, espectivete Digos etoces qe d, cd, y qe h h D, h c h D, dode d y D so ls difeecis espectivs de ls pogesioes itétics Teeos etoces qe el dole del áe es igl ( d )( h D) h ( d )( h D), de dode D dh Dd D dh Dd Reslt etoces qe h de se Dd D dh ( D dh ), y coclios qe dd, es deci, el tiáglo dee se ecesiete eqiláteo Adeás, todos los tiáglos eqiláteos cple l codició del ecido, pes ss ldos está e pogesió itétic de difeeci, y ss lts tié S de eleetos de pogesió itétic L técic p s los pieos eleetos de pogesió itétic es y útil y stte igeios, y pede tee pliccioes e otos áitos Cosiste e epeti l pogesió peo e ode iveso, e i sdo o o los téios de s pogesioes: d d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d Veos etoces qe dos veces l s scd es igl l s de téios, igles cd o de ellos l s del pieo y del últio Es deci, l s de téios cosectivos de pogesió itétic es igl l s del pieo y del últio, ltiplicd po el úeo de téios, y ptido po Po ejeplo, sdo l técic teio, l s de los pieos eteos positivos es ( ) El foso teático Gss desció este étodo po sí iso cdo est e pii!

2 Pogesioes geoétics U pogesió geoétic es scesió de úeos, tles qe el cociete ete dos cosectivos clesqie de ellos es costte, po ejeplo, l scesió de ls potecis de, es deci,,,9,7,8, dode el cociete es Los téios de pogesió geoétic se sele deot tié coo,,, (o co ot let) E geel, si el cociete ete dos téios clesqie de l pogesió es (y se sele ll l zó de l pogesió geoétic) podeos esciil tié coo,,,,, peo l igl qe co ls pogesioes itétics, hy veces qe coviee epez po el edio, to téio qe os iteese, y pti de hí escii los deás Po ejeplo, si evete el téio es especil po lg zó, o si sipleete os coviee epes los deás téios e fció de éste p fcilit los cálclos, podeos escii l pogesió coo /, /, /,,,, S y podcto de eleetos de pogesió geoétic El cálclo del podcto de eleetos cosectivos de pogesió geoétic se tsfo fácilete e el cálclo de l s de eleetos cosectivos de pogesió itétic, gpdo los epoetes de l zó : ( ) L s de eleetos de pogesió geoétic se siplific cho co el so de ot técic, tié stte igeios y qe pede se y útil e otos áitos Cosiste e ltiplic todos los téios de l scesió po, y lego est téios igles dos dos: Veos etoces qe veces l s qe os itees, eos l s qe os itees, es igl : Divisió de cietos polioios pti de ss de pogesioes geoétics Se pogesió geoétic co y zó Clete, los téios so,,,,, y l s de los pieos téios es Nos ecotos etoces co coocido esltdo, el polioio divide l polioio ; esto podíos helo dedcido del hecho de qe, qe es l úic íz del polioio del deoido, es tié íz del polioio del edo Aho ie, tié seos qe divide si y sólo si es p, y qe divide si y sólo si es ip (evete, os st co sstiti e estos dos polioios p ve qe se l) Cál es el cociete? Bie podeos dividi, ie podeos to pogesió geoétic co zó, y coside l s de ss pieos téios:

3 ( ) Aho ie, si es p, etoces el edo es ( ), y se tiee, iets qe si es ip, el edo es, y se tiee Spogos ho qe os pide dividi (coo polioios, o coo úeos, y siepe y cdo se posile) ete (sios oviete qe >) Cóo pocedeíos? Podeos to pogesió geoétic co pie téio y zó /, co lo qe tedíos qe l s de ss pieos téios seí Veos etoces qe, si es ip, l divisió es clete posile, siedo Veos tié qe si es p, l divisió o es posile; es ás, podeos clcl tié el esto: Teeos etoces qe el esto seí, y el cociete Podeos pocede de l is fo, peo co pogesió co zó / y téio iicil Spoeos deás qe, l hce l divisió de ete, oteeos cociete y esto v, de fo qe v< ( ) ( ) ( ) v Veos etoces qe, p qe l divisió se ect, ecesitos e pie lg qe v, pes si o os qed esto de l fo () v Etoces,, y teeos qe h de se evete ip, pes si o os qed esto de l fo, y filete, cso de qe se últiplo de, siedo el cociete ete ellos ip (úico cso e qe l divisió ect es posile), llegos Estos esltdos, o est fo de tj, id l técic de coplet cddos (es deci, de ñdi téios epesió p qe ést se el cddo de ot epesió ás secill) se pede tiliz p esolve el sigiete pole: úeo positivo veific l elció 7 Deost qe es eteo y clcl s vlo

4 Si toos el esltdo teio co y /, veos qe o es posile dividi / ete /, peo sí ete /: Nos st etoces co hll /, qe o pece fácil, hst qe cosideos s cddo: 9 ; ± Peo os dice qe es positivo, co lo qe o pede se /, y h de se /, llegádose filete 4

5 Ejecicios popestos Se,,,, 4 cico úeos positivos e pogesió itétic de difeeci d Po qe Cáto vldí l s de los pieos eteos positivos qe d esto l dividi ete? Deost qe si pogesió itétic ifiit de úeos eteos positivos, cotiee úeo qe es cddo pefecto, etoces cotiee ifiitos úeos qe so cddos pefectos E pogesió itétic ifiit de úeos eteos, deost qe se pede escoge ifiitos téios qe foe pogesió geoétic Hll todos los posiles csos e los qe el podcto de los 9 pieos téios de pogesió geoétic ifiit de úeos eteos positivos es cddo pefecto, y el podcto de los pieos téios de l is pogesió geoétic tié es cddo pefecto