PROGRESIONES ARITMÉTICAS

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1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Se defie como pogesió itmétic u sucesió de úmeos eles,,, e los que l difeeci ete témios cosecutivos es costte costte A l difeeci ete témios cosecutivos se le deomi d. Puede se positiv o egtiv, e el pime cso coespode u pogesió ceciete y e el segudo u pogesió dececiete. Témio geel de u pogesió itmétic El témio geel de u pogesió itmétic e u expesió e fució de, que pemite clcul culquie témio de l pogesió coocid su posició. Se deomi, siedo l posició de culquie témio de l sucesió. A pti de l defiició se obtiee l expesió de témio geel ( )d de está expesió se puede obtee ots álogs que pemite clcul l difeeci o l posició del témio d d Ejemplo. Clcul el témio geel de u pogesió itmétic sbiedo que y 9 9. Él témio geel de u pogesió itmétic se expes pti del pime témio y l difeeci. Aplicdo l expesió del témio geel los témios y 9, se obtiee u sistem de dos ecucioes y dos icógits ( y d) ( ) d d opedo 9 9 d 9 8d 9 d coocidos y d, el témio geel qued ( ) odedo Itepolció de medios itméticos Itepol itméticmete m úmeos ete dos úmeos y b es fom u pogesió itmétic de m témios e los que y b so espectivmete el pimeo y el último témio de l pogesió. El poblem de l itepolció se educe clcul l difeeci de l pogesió y que el pime témio se cooce. P clcul l difeeci se tiee e cuet que el úmeo de témios de pogesió seá m (m po el úmeo de témios que se quiee itepol y dos po los extemos), plicdo él témio geel y teiedo e cuet que es el extemo ifeio() y el extemo supeio(b) b b d ( m ) m coocid l difeeci, se obtiee los m medios itméticos. Ejemplo. Itepol cico medios itméticos ete y. Teiedo e cuet que se quiee itepol medios itméticos, l pogesió costá de siete témios, siedo el pimeo y el último. L difeeci seá d ( ) Los medios itméticos se obtiee pti de témio sumdo l difeeci.

2 ,, 8, 9, 0,, Sum de témios de u pogesió itmétic U popiedd muy impotte de ls pogesioes limitds es que l sum de los témios equidisttes de los extemos es igul l sum de los extemos. Témio que v pecedido de témios siedo Témio que v seguido de témios Aplicdo est popiedd se lleg l expesió de l sum de témios de u pogesió itmétic S Ejemplo. Si el pime dí de petempod u ciclist ecoe Km y cd dí umet e Km l distci ecoid, clcul cutos ilómetos se h ecoido el pime mes. Supógse que el mes tiee 0 dís. Se pide clcul l sum de los teit pimeos témios de u pogesió itmétic de difeeci cico y de pime témio 0 S0 0 es dto del eucido( ), 0, se puede hll medite el témio geel, y que se cooce y d 0 ( 0 ) d ( 0 ) 0 Km d sustituyedo e l expesió de l sum 0 0 S0 0 0 Km

3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Se defie como pogesió geométic u sucesió de úmeos eles,,, e los que cd témio, excepto el pimeo, es igul l témio teio multiplicdo po u úmeo. A este úmeo se le deomi zó de l pogesió Témio geel de u pogesió geométic. Teiedo e cuet l defiició de pogesió geométic P clcul culquie témio de l pogesió coocid l zó, o es ecesio cooce, vldí culquie témio de l pogesió( ). Ejemplo. E u pogesió geométic se sbe que y. ) Clcul y l difeeci b) Obtee l expesió de témio geel. Aplicdo l expesió del témio geel de u pogesió geométic los témios coocidos, se obtiee u sistem de dos ecucioes y dos icógits( y d). sustituyedo y odedo El sistem se esuelve po sustitució, despejdo de l pime ecució y sustituyedo e l segud ecució simplificdo y despejdo se obtiee ± ± coocido se clcul Sí Sí b.

4 Itepolció de medios popocioles Itepol medios popocioles ete dos úmeos ddos es fom u pogesió geométic cuyos extemos se los úmeos ddos y este fomd po témios, icluidos los extemos. El poblem de l itepolció es el clculo de l zó, lo que se solucio plicdo el témio geel l extemo supeio. Ejemplo. Itepol tes medios popocioles ete y. Se pide clcul los tes témio cetles de u pogesió geométic de cico témios coocidos el pimeo y el quito, po lo tto el poblem se educe clcul l zó. Aplicdo el témio geel coocido el vlo de, se clcul l zó { } 0 ; coocid l zó se clcul los témios pedidos Not Todos los dicles se h simplificdo y ciolizdo Poducto de témios de u pogesió geométic. Los témios de ls pogesioes geométics limitds cumple que el poducto de témios equidisttes de los extemos es costte e igul l poducto de los extemos siedo Témio que v seguido de témios pecedido de témios Témio que v Aplicdo est popiedd se lleg l expesió del poducto de témios de u pogesió geométic P

5 Sum de témios de u pogesió geométic. Ptiedo de l expesió de l sum de témios de u pogesió geométic y estádol l mism expesió multiplicd po se lleg fácilmete u expesió p l sum de témios S sustituyedo po su expesió e fució del témio geel, se obtiee u expesió p l sum de témios que solo es fució de y de. ( ) S mbs expesioes se us idistitmete. Sum de u pogesió geométic ilimitd. Si el vlo bsoluto de u pogesió está compedido ete 0 y, 0 < < se puede clcul l sum de los ifiitos témios de l pogesió. S Ejemplo. Clcul l sum de los cico pimeos témios de l pogesió,,, Aplicdo l expesió de l sum de témios de u pogesió geométic p ( ) S Puesto que se cooce, el úico dto que flt es. P cooce l zó bst co dividi dos témio cosecutivos 8 coocidos y l zó, se sustituye e l expesió de l sum 8 09 S 000 ) Ejemplo. Clcul l siguiete sum ilimitd '0 0'0 0'00 0' A pti del segudo sumdo, los témios fom u pogesió geométic de zó 0'00 0'0 0 plicdo l expesió de l sum ilimitd ) 0'0 0 '