PROGRESIONES ARITMETICAS

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1 PROGRESIONES ARITMETICAS. De ete ls sucesioes siguietes deci cuáles so pogesioes itmétics., 8,,, 0,... b., 7,,,... c. 7,, 9,,,... d., 7, 9,,... e.,,,,... f.,,, 9, g.,,,,... h. ( b), ( b), ( b),... Los témios de u sucesió está e pogesió itmétic si l difeeci ete témios cosecutivos es costte.., 8,,, 0,... SI CTE. d (difeeci) b., 7,,,... NO 7 (7) Bst co que se icumpl u vez. c. 7,, 9,,,... SI CTE. d (difeeci) d., 7, 9, 7,,... SI CTE. d (difeeci) e.,,,,... NO f.,,, 9, SI ( ) 9 ( ) CTE. d (difeeci) g.,,,, NO h. ( b), ( b), ( b),... SI ( b) ( b) ( b) ( b) ( b) CTE. d (difeeci) ( b). E u pogesió itmétic el pime témio es y l difeeci. Hll el quito témio. El témio geel de u pogesió itmétic es ( ) d ( ) d. Clcul l difeeci de l pogesió itmétic cuyo pime témio es, el último y el úmeo de témios. d l témio Se plic l defiició de témio geel ( ( ) ) ( ) d 0 d 0d d 0

2 . Hll el úmeo de témios de u pogesió itmétic cuyo último y pime témio so, espectivmete, y, y l difeeci 7. Se plic l defiició de témio geel ( ( ) d), tomdo como témio eésimo ( ) d ( ) 7 d 7 7. Itepol. Diez medios difeeciles ete y. b. Siete medios difeeciles ete 7 y 9. Se cooce el pime témio, el último, y l posició que ocup este, solo ecesitmos clcul l difeeci, se plic l defiició de témio geel l último y se despej l difeeci..,,,,,, 7, 8, 9, 0,, 0 témios b. 7,,,,,, 7, 8 9 témios ( ) d P ( ) d d d,, 80,,,,8, 0,,, 0 témios ( ) d P 8 ( 8 ) d d d ,,,,,, témios. Clcul l sum de ) Los 0 pimeos témios de l pogesió, 0,,... 9 b) Los veite pimeos témios de l pogesió,,,,... c) Los diez pimeos témios de l pogesió,,,... L sum de témios de u pogesió itmétic viee dd po l expesió S., 0,,... Pogesió itmétic ; d 0 S0 0

3 P clcul 0 se plic l defiició de témio geel. d ( ) ( ) ( ) ( 8) S b.,,,,... Pogesió itmétic ; d S P clcul 0 se plic l defiició de témio geel. ( ) d ( ) S Clcul l sum de los pimeos úmeos ) tules b) pes c) impes. Se plic l defiició de sum de témios y se ode. S. Ntules Témio geel ; b. Pes Témio geel ; S ( ) S ( ) c. Impes Témio geel ; S 8. Clcul l sum de todos los múltiplos de 7 compedidos ete 00 y 000 Se debe clcul cul el pime y el último múltiplo de siete de tes cifs 00 º, Último, P clcul el úmeo de témios se plic l defiició de témio geel l último témio, teiedo e cuet que l difeeci es 7. ( ) d 99 0 ( )

4 Coocido el úmeo de témios se puede clcul l sum de todos ellos S 0 S Qué vlo uméico debe tee x p que ls expesioes (x ); x ; x fome u pogesió itmétic? P que los témios de u sucesió esté e pogesió itmétic l difeeci ete témios cosecutivos debe se costte.... x x ( x ) x ( x ) x x x x 7x 0 x Resolviedo l ecució de º gdo se obtiee dos posibles vloes x P x 7,,,,,...,,,0,,... d P x ( ) ( ) d 0. Qué vlo uméico debe tee p que ls expesioes ; ; se tes témios cosecutivos de u pogesió itmétic?... ( ) ( ) Resolviedo l ecució de º gdo se obtiee dos posibles vloes 7 P,,,,,... d P,,,, 8,... d. E u pogesió itmétic de 0 témios, el º y el 9º, sum, si el º témios es, cuál es el séptimo témio? E u pogesió itmétic, l sum de témios equidisttes es costte. Se cumple E l pogesió,,,,,, 7, 8, 9, ; 7 ; 7

5 . Fom pogesió itmétic ls expesioes x x ; x x ; x x? P que los témios de u sucesió esté e pogesió itmétic l difeeci ete témios cosecutivos debe se costte.... x x ( ) ( ) x x x x x x x x x 0 No fom pogesió itmétic p igú vlo el excepto p x 0, que fomí u sucesió costte de difeeci ceo.. E u pogesió itmétic 0 70 y 0 70, cuál es el témio que es igul 0? Coocidos dos témios de l pogesió itmétic, se puede obtee el témio geel, y coocido el témio geel, se puede clcul l posició de culquie témio de l pogesió. 0 9d d 00 d d 70 0 ( )d 0 ( ) Si E l pogesió itmétic 8, 0,,,.. Cuátos témios hy que tom p que l sum se 8? Se plic l expesió de l sum de témios de u pogesió itmétic S El témio se expes e fució de medite el témio geel. ( ) d L difeeci se obtiee estdo dos témios cosecutivos culesquie d ( ) ( ) Sustituyedo e l sum de témios se despej ( 0 8) Resolviedo l ecució de segudo gdo se obtiee ls posibles solucioes 0 7 Ls dos so válids

6 . Los ldos de u tiágulo ectágulo está e pogesió itmétic de difeeci. Hll ls medids de los ldos de dicho tiágulo. Si los ldos de u tiágulo ectágulo está e pogesió itmétic de difeeci, el cteto meo seá, el cteto myo y l hipoteus 8. Ete ellos se cumpliá el teoem de Pitágos. h c c ( 8) ( ) o es válid, o existe logitudes egtivs. Ls logitudes de los ldos del tiágulo seá, y 0.. Hll los águlos de u cudiláteo, sbiedo que sus medids fom u pogesió itmétic y que el meo mide 0º. Los águlos de u cudiláteo sum 0º, si está e pogesió itmétic y el º vle 0º, lo demás seá 0º d, 0º d y 0º d. 0º 0º 0 º 0º 0º d 0º d 0º dº 0 º 0º d d 0º Los águlos seá 0º, 80º, 00º, 0º. 7. U teeo de fom de tiágulo ectágulo tiee 70 metos de peímeto. Clcul sus ldos sbiedo que está e pogesió itmétic. Se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits, u ecució co el peímeto y ot co el teoem de Pitágos. d d 70 ( d) ( d) d 70 d 0 d d d d d d 0 0 De l ª ecució se despej y se sustituye e l ª. 0 d ( 0 d) ( 0 d) d d 0 0 d d d 0 d d d d d 80d d d d 0 d Los ldos del tiágulo so 80, 0, Detemi el pime témio y el úmeo de témios de u pogesió itmétic e que 8; d y S 88 Se plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits. U ecució se obtiee l plic l expesió de l sum de témios de u pogesió itmétic S 8 88 ( 8) 7 L segud ecució se obtiee l plic el témio geel l témio eésimo. ( )d 8 ( ) 0

7 ( ) 8 7 El sistem qued Dos posibiliddes ( ; 8) ó ( ; ). ( 0 8) Cuáts cmpds d u eloj e hos, si o sue más que ls hos e puto? El doble de l sum de témios e pogesió itmétic de difeeci y. ( ) d S S 78 Nº de cmpds e hos S Hll los águlos de u tiágulo ectágulo, sbiedo que está e pogesió itmétic. L sum de los águlos de u tiágulo es 80 gdos, si es ectágulo, el myo de ellos seá de 90º, co estos dtos se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits α y d. α α S 80º 80º α 0º 90 α α 0º 0º 0 º α α d 90º d 90º d 0º α. U peó debe llev u cetill de e l pie de cd uo de los 0 áboles de u clzd. Sbiedo que los áboles se ecuet u distci de m y que del motó de e l pimeo hy 0m, Qué cmio hbá ecoido hst deposit l cetill e el motó ts el último vije? Se pide clcul l sum de le los 0 pimeos témios de u pogesió itmétic, coociedo que 0, y d, tl como puede obsevse e el esquem. Témio geel ( ) d 0 ( ) 8 Sum de témios S P 0 S m L sum de los témios cetles de u pogesió itmétic es 7. Sbiedo que los témios so y que el poducto de los extemos es 70, hll l pogesió.,,,,,, 7, 8, 9, 0,, Dtos Aplicdo l defiició de témio geel los dtos se plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits (, d). ( ) d d d d 7d 7 ( d ) 70 d 7 ( d ) 70 7

8 d 7 d 7 ( 7 ) 70 ( 7 ) 70 ( d ) 70 7 d d Dos posibles pogesioes ; d {,, 8,,, 7, 0,,, 9,, } ; d {,, 9,,, 0, 7,,, 8,, }. L sum de tes témios cosecutivos de u pogesió itmétic es y su poducto 80. Clcul los témios. Dtos 80 Teiedo e cuet que cd témio se difeeci del teio e l difeeci, se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits (, d). d d d d ( d) ( d) 80 ( d) ( d) 80 ( d) ( d) 80 d ( ) ( ( )) 80 ( ) d d Dos posibiliddes 0,,.,, 0.. Hll los témios de u pogesió itmétic, sbiedo que l difeeci es y el poducto de los témios 8. Si l difeeci es, los témios se puede expes e fució de. 8 ( ) ( ) ( ) 8 Desolldo se lleg u poliomio de cuto gdo que se esuelve po <el método de Ruffii Dos posibiliddes ; ; 9;. ; 9; ;. 8

9 . Clcul l sum de los 8 múltiplos de 7 que sigue. Se pide clcul l sum de 8 témios de u pogesió itmétic cuyo pime témio es 8 y l difeeci es 7. Témio geel ( ) d 8 ( ) 7 7 S S P 8 7. E u pogesió itmétic los témios º y º sum, y el º y el 7º sum 70. Clcul l difeeci y cd uo de estos témios. Dtos 70 7 Medite l expesió del témio geel ( ( ) d), se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits (, d). d d d d d 70 7d 70 Restdo ls ecucioes se obtiee l difeeci d, y sustituyedo e culquie de l ecucioes se obtiee el pime témio. Coocidos y l difeeci, se clcul los témios que se pide 0 ; ; 8 ; L sum de los pimeos témios de u pogesió itmétic es 0; l sum de los 9 pimeos es 07. Hll l pogesió. Dtos S 0 S Co l defiició de témio geel ( ( ) d) se plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits (, d). d d 8d 8d Resolviedo el sistem se obtiee 7 d El témio geel de l pogesió es 7 ( ) 9

10 8. L sum de los dos pimeos témios de u pogesió itmétic es y l de los tes pimeos es. Clcul el cuto témio de dich pogesió. Dtos Co l defiició de témio geel ( ( ) d) dos icógits (, d). d d d se plte u sistem de dos ecucioes co d d d d Resolviedo el sistem se obtiee d El témio geel seá ( ) ( ) Aplicdo p 9. Hll u pogesió itmétic de seis témios, sbiedo que l sum de los extemos es y que el poducto de los dos témios cetles es.,,,,, Dtos Teiedo e cuet l popiedd de que l sum de témios equidisttes es costte, se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits (. ). ( ) 0 Al esolve l ecució se obtiee dos posibles solucioes 8 8 Si 8 y, d 8. Coocid l difeeci se clcul lo demás témios. d 8 ; d d 0 L sucesió es ; ; 8; ; 0;. d 0 ; Si y 8, d 8. Coocid l difeeci se clcul lo demás témios. d d 0 ( ) 0 ; ( ) d 8 ( ) ; d ( ) L sucesió es ; 0; ; 8; ;. 0

11 0. L sum de úmeos tules cosecutivos tomdos pti de es 7. Clcul. Pogesió itmétic de l que se cooce y l difeeci (d ). El témio geel es ( ) 0 Aplicdo l sum de témios (S 7) S ( ) Solo es válid l positiv 9. Repti 7800 ete dieciséis pesos, odeds ésts de meo myo po sus eddes de modo que cd u teg u ctidd supeio l teio e / de l coespodiete l pime. Qué ctidd ecibiá l peso de meo edd? Y Qué ctidd ecibiá l peso de myo edd? Si se deomi po l ctidd que le coespode l meo, l difeeci seá /. El témio geel es ( ) L sum de los témios es l ctidd epti. S L meo ecibiá 00 y l myo 7.

12 PROGRESIONES GEOMETRICAS. De ls siguietes pogesioes, cuáles so pogesioes geométics?.,, 8,, b., 0, 0,... c. 7,, 7,,... d., 0,, 0,... e. by, b²y², b y,... f. (b), (b), (b),... Los témios de u sucesió está e pogesió geométic si el cociete ete témios cosecutivos es costte cte cte Pogesió geométic de zó b. 0 0 No está e pogesió geométic. 0 c. 7 cte Pogesió geométic de zó. 7 7 d. 0 No está e pogesió geométic. 0 e. b y b y by cte Pogesió geométic de zó by. by b y f. ( b) ( b) b b No está e pogesió geométic. ( ). Clcul el vlo de y l zó de l pogesió geométic e l que,, so témios cosecutivos. Los témios de u sucesió está e pogesió geométic si el cociete ete témios cosecutivos es costte. Multiplicdo e cuz y odedo ( ) ( ) ( ) 7 Si 9; ; Si ; ; 7 0

13 . Escibe los pimeos témios de u pogesió geométic de l que se sbe que y El témio geel de u pogesió itmétic es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Clcul el témio décimo de l pogesió /000, /00, /0,... Se clcul el témio geel, y co él, el témio que se pide. El témio geel de u pogesió itmétic es P Detemi los siete pimeos témios de u pogesió geométic si los dos pimeos vle y espectivmete. Coocidos los dos pimeos témios de u pogesió geométic, se clcul l zó, co l zó y el pime témio, el témio geel

14 . El témio séptimo de u geométic vle, y l zó. Hll el pime témio. Aplicdo l defiició de témio geel p 7 y teiedo e cuet que 7 y, se puede despej. P Dos témios cosecutivo de u pogesió geométic vle y 8. Clcul el lug que ocup si el pime témio de l pogesió es 8 Coocidos los dos pimeos témios de u pogesió geométic, se clcul l zó, co l zó y el pime témio, el témio geel Se pide clcul sbiedo que ó ; Itepol cico témios ete 7 y 0 de modo que fome u pogesió geométic. Se cooce el pime témio, el último, y l posició que ocup este, solo ecesitmos clcul l zó, se plic l defiició de témio geel l último y se despej l zó. 7,,,,,, 7 0 P témios ; 7 ; ; ; 7 70 ; 70 0 L pogesió geométic es 7; ; ; 89; 7; 70; Itepol cuto témios ete y /8 de modo que fome u pogesió geométic. Se cooce el pime témio, el último, y l posició que ocup este, solo ecesitmos clcul l zó, se plic l defiició de témio geel l último y se despej l zó.,,,,, 8 P 8 témios

15 ; ; ; ; 8 L pogesió geométic es ; ; ; ; ; 8 0. Hll tes úmeos e pogesió geométic de modo que su sum es y su poducto Se,,, los tes témios e pogesió geométic Medite el témio geel, se expes los tes témios e fució de y. Sustituyedo e el sistem ; ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) EL sistem se esuelve po sustitució ; ( ) ; ; 0 0 x ; ; x 8; 8 ; Dos posibles solucioes,, 8 8,,. Clcul el poducto de los pimeos témios de u pogesió geométic sbiedo que el témio cetl vle Los témios de ls pogesioes geométics limitds cumple que el poducto de témios equidisttes de los extemos es costte e igul l poducto de los extemos. Si l pogesió es de u úmeo imp de témios, el cuddo del témio cetl tmbié coicide co el poducto de los extemos.,,,,,, 7, 8, 9, 0,... cte 0 Aplicdo est popiedd se lleg l expesió del poducto de témios de u pogesió geométic P ( ) P P ( ) { } 08

16 . Tes úmeos e pogesió geométic sum y su poducto vle 0. Clcul dichos úmeos. Se,,, los tes témios e pogesió geométic 0 Medite el témio geel, se expes los tes témios e fució de y. Sustituyedo e el sistem ; ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ; 0 ( ) ; 0 EL sistem se esuelve po sustitució 0 ; 0 ( ) ; ; x ; 00 ; x 00 ; ; 00 Dos posibles solucioes, 00, 00 00, 00,. Detemi cuto úmeos e pogesió geométic de me que los dos pimeos sume y los dos últimos. 8 Se,,,, cuto témios e pogesió geométic 8 Medite el témio geel, se expes los cuto témios e fució de y. Sustituyedo e el sistem ( ) 8 8 Sustituyedo l pime ecució e l segud 8 Sustituyedo el vlo de e l pime ecució Los témios de l pogesió so,,,

17 . Dd l pogesió geométic,,,... Cuáto vle l zó? Clcul l sum de los ifiitos témios de l pogesió. L zó e u pogesió geométic se obtiee dividiedo dos témios cosecutivos. E ls pogesioes geométics co zó compedid ete 0 y (0 < < ) se puede clcul l sum de los ifiitos témios. 8 S. Cuátos témios se h tomdo e u pogesió geométic, sbiedo que el pime témio es 7, el último 8 y su sum 889? 7 Dtos 8 S 889 Aplicdo l expesió de l sum de témios de u pogesió geométic, se puede clcul l zó. Coocid l zó, se plic l defiició de témio geel l témio eésimo p clcul l posició de este (). 8 7 S ( ) L sum de los siete pimeos témios de u pogesió geométic de zó es 7. Hll el pimeo y el séptimo témio. Sustituyedo l expesió del témio eésimo e l expesió de l sum de témios de u pogesió geométic, se obtiee está e fució de y. S S ( ) S 7 7 ( ) S ( ) ( ) Hll tes úmeos e pogesió geométic cuyo poducto es 8 09, sbiedo que el myo excede e l sum de los otos dos. E u pogesió de tes témios (,, ), se cumple ( ) Si se plic est popiedd l poducto de tes témios, se puede despej el témio cetl ( ) e fució del poducto. ( ) ( ) ( ) P P Co el dto del poducto de los tes témios y l elció ete ellos, se puede plte u sistem de ecucioes. 7

18 8 ( ) 9 P ( ) Dos posibles solucioes, 9, 07 07, 9, 8. Tes úmeos está e pogesió geométic; el segudo es uiddes myo que el pimeo, y el teceo, 9 uiddes myo que el segudo. Hll los úmeos. Dtos Teiedo e cuet l defiició de témio geel 8 El sistem se esuelve po igulció, despejdo e cd ecució. 8 ( ) ( ) Multiplicdo e cuz y odedo se obtiee u ecució de º gdo e No tiee setido 0 Si 8 9. Hll los cuto pimeos témios de u pogesió geométic, sbiedo que el segudo es 0 y l sum de los cuto pimeos es. Co los dtos que se d se puede plte u sistem de dos ecucioes co dos icógits. S 0 S 0 0 ( ) 0 Medite l expesió otble difeeci de cuddos, se puede simplific l segud ecució ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( ) 0 Despejdo de l ª ecució y sustituyedo e l ª, se lleg u ecució cúbic que se esuelve po Ruffii.

19 0 0 ( )( ) ( )( ) Coocidos el pime témio y l zó se clcul los esttes témio de l pogesió geométic. ; 0 ; 0 80 ; El volume de plelepípedo ectágulo es de 7 cm. Hll l logitud de ls ists sbiedo que está e pogesió geométic y que su sum es cm. Se, y ls logitudes de ls ists, si está e pogesió geométic, se cumple V ( ) ( ) El sistem se esuelve po igulció, despejdo de cd ecució. 7 ( ) Multiplicdo e cuz y odedo, se obtiee u ecució de segudo gdo Ls logitudes de ls ists so, y.. Hll los águlos de u cudiláteo, si se sbe que está e pogesió geométic y que el myo es 7 veces el meo. Se α, α, α y α los águlos de u cudiláteo que está e pogesió geométic. Si el myo es 7 veces el meo α 7α α 7α 7 7 α α Si se tiee e cuet que los águlos de u cudiláteo sum 0º α α α α 0º Aplicdo l defiició de témio geel α α α α 0º α ( ) 0º Sustituyedo po su vlo se clcul α. 0 α ( ) 0º 0α 0 α 9 0 9

20 Coocido α y l zó se clcul los demás águlos. α 9 7 α 9 8 α Los águlos del cudiláteo so 9º, 7º, 8º, º. 9. Ls dimesioes de u otoedo está e pogesió geométic. Clcul ests dimesioes sbiedo que su peímeto es de 0 m. y su volume 8000 m. Ls dimesioes del otoedo de l figu so, y. El volume es el poducto de sus dimesioes. V Si está e pogesió geométic ; El peímeto el otoedo es l sum de tods sus ists. P P ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0. Divide el úmeo e tes ptes etes que fom u pogesió geométic tl que el tece témio sobeps l pimeo e. Los dos dtos del eucido pemite plte u sistem Teiedo e cuet que so témios de u pogesió itmétic, se dej el sistem e fució de y, esolviedo po igulció. ( ) ( ) Multiplicdo e cuz y odedo, se obtiee u ecució de º gdo e L úic solució que gee témios eteos es. Si, 7, 7, 7. L sum de tes témios e pogesió geométic es 8 y l difeeci ete los extemos 9. Hll dichos úmeos. Los dos dtos del eucido pemite plte u sistem 8 9 Teiedo e cuet que so témios de u pogesió itmétic, se dej el sistem e fució de y, esolviedo po igulció. 0

21 8 8 ( ) 8 9 ( ) Multiplicdo e cuz y odedo, se obtiee u ecució de º gdo e Hll cuto úmeos e pogesió geométic sbiedo que l sum de los dos pimeos es 8 y l sum de los dos últimos 7. Los dtos del eucido pemite plte u sistem de ecucioes Temiedo e cuet que so témios de u pogesió geométic, se plic l defiició de témio geel cd uo de ellos, de está fom se dej el sistem e dos icógits (, ). 8 ( ) 8 7 ( ) 7 Dividiedo ls ecucioes se elimi y obteemos u ecució de º gdo e fució de. ( ) 8 ± ± ( ) 7 Si , 0, 0,. Si ,,,.

22 . Clcul medite pogesioes geométics l fcció geetiz de, 0... El úmeo peiódico se puede descompoe e l siguiete sum,0 0,00 0,0000 0,000000, ( ),0 Dode el pétesis coespode l sum de los ifiitos témio de u pogesió geométic de zó meo que ,0,0,... P. Geométic S Sustituyedo e el pétesis ( y opedo se ) lleg l fcció geetiz ,0..., , , Clcul Los témios de l sum se puede descompoe de l siguiete fom 0, , 0,000 0, 0,0 0, 00 0,00 ( 0,...) ( 0,0 0,00 0,000...) ( 0,...) ( ) Dode cd uo de los pétesis coespode l sum de los ifiitos témio de u pogesió geométic de zó meo que. 0,... P. Geométic S P. Geométic S Sustituyedo e los pétesis 8,0,00 0, Clcul l sum de ls áes de todos los cuddos iscitos e u cuddo de ldo. Se pide clcul l sum de ls áes de los cuddos de l figu. P ello es ecesio clcul ls logitudes de los ldos de los cuddos. Si l logitud del ldo del pime cuddo es, su áe seá A L logitud del ldo del segudo es l hipoteus de u tiágulo ectágulo de ctetos de logitud / L A P clcul L se epite l opeció teiedo e cuet que ho es l logitud de l hipoteus de oto tiágulo ectágulo de ctetos L /. L L A 90

23 Se epite p L el mismo poceso. L L 8 A 8 8 Y sí sucesivmete. Ls áes de los cuddos,,. L sum de ls ifiits áes seá,, sigue u pogesió geométic de 8 S y 9. U peso comuic u seceto cuto vecios; l cbo de u cuto de ho cd uo de estos lo h comuicdo ots cuto pesos. Supoiedo que cd cuto de ho se h epetido l opeció de l mism me e idefiidmete, cuáto tiempo tdá e cooce el seceto u ciudd de.8 hbittes cotills. L pogesió del úmeo de vecios que se v etedo sei - P t 0 - P t mi. - P t 0 mi. Los témios fom u pogesió geométic de zó y pime témio. Se pide clcul el tiempo que tdí etese los 8 vecios meos uo, que es el que cooce el seceto. P clcul el tiempo hbá que clcul el úmeo de témios que hy que sum p lcz l cif de 8 8. S S S 8 ( ) ( ) ( ) S t 0 mi. t mi. t 0 mi. 7 t 90 mi, 0. E u ciculo de dio R se iscibe u cuddo; e el cuddo u ciculo, y sí sucesivmete. Hll l sum de tods ls áes. Se pide hll l sum de ls áes de ls ifiits cicufeecis y cuddos de l figu. Si ls áes de ls cicufeecis, que fom u pogesió, ls deomimos A y l de los cuddos B, hbá que clcul los pimeo témios de mbs, y compob que fom pogesioes geométics, y de est fom pode clcul l sum de los ifiitos témios de l pogesió coocidos el pime témio y l zó.

24 Si l pime cicufeeci tiee de dio R R su áe, y po tto el pime témio de l pogesió A seá A πr πr El diámeto de cd cicufeeci coicide co l digol del cuddo iscito e ell, po lo tto, l logitud del ldo de pime cuddo (L ), iscito e l cicufeeci de dio R, se puede obtee po Pitágos. L L R L R L R L R ( ) Coocid l logitud del ldo del cuddo, se clcul su áe que seá el pime témio de l pogesió B. ( R) B L R El dio de l cicufeeci iscit e u cuddo es l mitd de l logitud del ldo de cuddo. L R R Coocido R, se clcul A. R πr A πr π Coocido R, se clcul L co el mismo zomieto que se hizo p clcul L. R es l digol del cuddo de ldo L. ( ) L L R L R L R L R Coocido L se clcul el segudo témio de l pogesió de ls áes de los cuddos. B L R Se epite los mismos zomietos p clcul los témios A y B y de est fom pode cofim que se tt de pogesioes geométics. L R R R πr A πr π R es l digol del cuddo de ldo L ( ) L L R R L R R L L R R B L Ls pogesioes de ls áes seá πr πr A πr ; ; ;... B R R ; R ; ;... igul Pogesioes geométics mbs po que el cociete de témios cosecutivos es costte e, que es l zó. L sum de los ifiitos témios de l pogesió A seá

25 R R R R A A S π π π π P l pogesió B R R R R B B S π L sum de tods ls áes seá l sum de ls dos sums ifiits R R Aeás π. E u pogesió geométic se veific que y que. Clcul el témio que ocup l posició cie y l sum de los cie pimeos témios. Ls dos codicioes popuests e el eucido pemite plte u sistem que se esuelve po sustitució. ( ) Coocido y l zó se obtiee el témio geel. Coocido el témio geel se clcul el témio L sum de los 00 pimeos témios seá S S