10 problemas Sangaku con triángulos
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- Aurora Ayala Vargas
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1 0 poblems Sgku co tiágulos Ricd Peió i Estuch Eeo 009
2 Itoducció Los Sgku so us tbls de mde co eucidos de poblems de geometí euclíde cedos e Jpó e el peíodo Edo E este peíodo Jpó estb isldo de occidete Ests tbls estb epuests e los templos budists Los 0 poblems escogidos peteece tbls de l pefectu de Ngo y su temátic picipl so tiágulos Los poblems so de distito gdo de complejidd y de u g bellez de coloes y foms
3 Eucidos Poblem L siguiete figu está fomd po tiágulo equiláteo y 3 cuddos igules El ldo del tiágulo equiláteo es Clcul el ldo del cuddo Poblem Se el tiágulo isósceles ABC, AB AC Se l cicufeeci iscit de ceto O y dio Se D, E los putos de tgeci de l cicufeeci iscit y los ldos AB, AC del tiágulo Se l cicufeeci iscit l tiágulo ADE de ceto O y dio Cosideemos l cicufeeci de ceto O 3 y dio 3 Detemi el vlo de e témios de 3 Poblem 3 E el tiágulo ectágulo ABC, B 90º, se h iscito los cuddos P, Q, R, S, T (ve figu) Si los ldos de los cuddos S, T so, b, espectivmete, clcul el ldo del cuddo P A T R P Q S B C Poblem 4 El ombo BDEF está iscito e el tiágulo ABC se el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo AFE y s el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo DCE Detemi e fució de s y de los ldos, c Poblem 5 E el tiágulo ectágulo ABC, C 90º, se CD l ltu sobe l hipoteus Se coocidos los ctetos del tiágulo Detemi los dios de ls cicufeecis iscits los tiágulos ectágulos ADC, BCD
4 Poblem 6 Se el tiágulo ectágulo ABC, B 90º Se D u puto de l hipoteus AC Se el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo ABD y el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo BCD Detemi el dio e fució de y de los ctetos BC y c AB Poblem 7 Ddo el tiágulo ectágulo ABC, A 90º, tl que los tiágulos ADE, DAF, y el ectágulo HCGI tiee l mism áe Si FH GE, detemi e fució de los ctetos del tiágulo ectágulo ABC Poblem 8 E l siguiete figu el tiágulo es isósceles y está iscito e u cicufeeci de dio R Hy 4 cicufeecis igules de dio y u cicufeeci más pequeñ de dio s Clcul los dios de ls cicufeecis y s e fució de R dio de l cicufeeci myo Poblem 9 Se el tiágulo isósceles ABC, AB AC costte Se l cicufeeci iscit de ceto O y dio U cicufeeci de ceto O y dio es tgete los ldos del tiágulo AB, AC y tgete eteio l l cicufeeci teio As í se costuye cicufeecis Si es costte y BC vible P que vlo de el dio es máimo Poblem 0 Se el tiágulo ABC culquie y el dio de l cicufeeci iscit y h l ltu sobe el ldo BC A Ls cicufeecis iscits los tiágulos mismo dio Detemi e témios de y h ABD, ADC tiee el B D C
5 Solucioes Poblem L siguiete figu está fomd po tiágulo equiláteo y 3 cuddos igules El ldo del tiágulo equiláteo es Clcul el ldo del cuddo Solució: Se el tiágulo equiláteo ABC de ldo Se DE BD ldo del cuddo EDF 30º Etoces, DF 3 3 ( 3 ) Etoces, ( 3 )
6 Poblem Se el tiágulo isósceles ABC, AB AC Se l cicufeeci iscit de ceto O y dio Se D, E los putos de tgeci de l cicufeeci iscit y los ldos AB, AC del tiágulo Se l cicufeeci iscit l tiágulo ADE de ceto O y dio Cosideemos l cicufeeci de ceto O 3 y dio 3 Detemi el vlo de e témios de 3 Solució: Se H el puto medio del ldo BC Se M el puto medio del segmeto DE Se α DAM MDO Aplicdo zoes tigoométics l tiágulo ectágulo MDO : DM cosα Po tto, DE cos α MO siα Aplicdo zoes tigoométics l tiágulo ectágulo ADO : AO, AD si α tg α Etoces, AM AO MO siα siα Clculdo el áe del tiágulo ADE : cos α S DE AM cos α siα si αcos α siα siα ( ) S ADE AD DE cosα cosα tgα tgα Iguldo ls áes: cosα α α α si cos cos Simplificdo: siα tgα cos α cos α siα cosα cosα siα si α Despejdo : ADE
7 cos α si αcos α si α ( siα) cos α si αcos α si α Etoces, ( si α) MO Etoces, el ceto de l cicufeeci iscit l tiágulo cicufeeci iscit l tiágulo ABC Etoces, 3 ADE peteece l
8 Poblem 3 A T E el tiágulo ectágulo ABC, B 90º, se h iscito los cuddos P, Q, R, S, T (ve figu) Si los ldos de los cuddos S, T so, b, espectivmete, clcul el ldo del cuddo P R P Q S B C Solució: Se el ldo del cuddo P Se y el ldo del cuddo Q Se z el ldo del cuddo R Los tiágulos ectágulos DEF, Aplicdo el teoem de Tles: y y y FGH so semejtes Etoces, y () Los tiágulos ectágulos FGH, HIJ so semejtes Aplicdo el teoem de Tles: y z Etoces, z y () y z Los tiágulos ectágulos JKL, HIJ so semejtes Aplicdo el teoem de Tles: z z b Etoces, b( z) z(z b) (3) z b Sustituyedo l epesió () e l epesió (3): b( y) ( y)( y b) y y b 0 Resolviedo l ecució e l icógit y: y b (4) Iguldo ls epesioes () y (4): ( b ) Resolviedo l ecució e l icógit : b b A B K L I J G H E F D C
9 Poblem 4 El ombo BDEF está iscito e el tiágulo ABC se el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo AFE y s el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo DCE Detemi e fució de s y de los ldos, c Solució: Se BD BF el ldo del ombo Los tiágulos AFE, DCE so semejtes plicdo el teoem de Tles:, etoces, s () s Los tiágulos AFE, ABC so semejtes plicdo el teoem de Tles: c c, etoces, () c c Sustituyedo l epesió () e l epesió () y simplificdo: cs
10 Poblem 5 E el tiágulo ectágulo ABC, C 90º, se CD l ltu sobe l hipoteus Se coocidos los ctetos del tiágulo Detemi los dios de ls cicufeecis iscits los tiágulos ectágulos ADC, BCD Solució: Se los ctetos BC, b AC Se, s los dios de les cicufeecis iscits los tiágulos ectágulos ADC, BCD, espectivmete Aplicdo el teoem del cteto l tiágulo ectágulo ABC : b b AH c, etoces, AH BH c, etoces, BH b b El dio de l cicufeeci iscit u tiágulo ectágulo es igul l semipeímeto meos l hipoteus, etoces: AC AD CD AC, Aálogmete, b b b b b b b b b b b b b s b
11 Poblem 6 Se el tiágulo ectágulo ABC, B 90º Se D u puto de l hipoteus AC Se el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo ABD y el dio de l cicufeeci iscit l tiágulo BCD Detemi el dio e fució de y de los ctetos BC y c AB Solució: Se O el ceto de l cicufeeci iscit l tiágulo ABD de dio Se O el ceto de l cicufeeci iscit l tiágulo BCD de dio Cosideemos l cicufeeci iscit l tiágulo ABC de ceto I y dio Se D, E los putos de tgeci de l cicufeeci iscit l tiágulo ABC y los ldos, c espectivmete Se M el puto de tgeci de l cicufeeci iscit l tiágulo ABD y el ldo c Se N el puto de tgeci de l cicufeeci iscit l tiágulo BCD y el ldo Los tiágulos AMO, AEI so semejtes, plicdo el teoem de Tles: AM (c ) Etoces, AM (c ) BM c () c Los tiágulos CNO, CDI so semejtes, plicdo el teoem de Tles: CN ( ) Etoces, CN ( ) BN () Cosideemos el tiágulo ectágulo BLK, L 90º tl que l cicufeeci de ceto O y dio es iscit l tiágulo Se J el puto de tgeci del ldo KL y l cicufeeci BK BN KJ Aplicdo el teoem de Pitágos l tiágulo ectágulo BLK :
12 ( BN KJ) ( BN ) ( ) KJ ( BN ) Despejdo KJ KJ BN Sustituyedo l epesió () e l epesió (3): ( ) KJ (4) ( ) (3) Los tiágulos BMO, KJO so semejtes plicdo el teoem de Tles: BM KJ (5) Sustituyedo ls epesioes () (4) e l epesió (5): c (c ) ( ) ( ) Simplificdo: c ( ) (6) Despejdo ( ) c (7) c( ) El dio de l cicufeeci iscit del tiágulo ectágulo es igul l semipeímeto meos l hipoteus: c c c c c (8) Sustituyedo l epesió (8) e l epesió (7) y simplificdo: c c c c c
13 Poblem 7 Ddo el tiágulo ectágulo ABC, A 90º, tl que los tiágulos ADE, DAF, y el ectágulo HCGI tiee l mism áe Si FH GE, detemi e fució de los ctetos del tiágulo ectágulo ABC Solució: Se BC, b AC Si los tiágulos ADE, DAF tiee l mism áe, etoces, El áe del tiágulo ADE es b S ADE 8 b HC, CG El áe del ectágulo HCGI es: b S HXGI, S HXGI SADE Etoces: b b Resolviedo l ecució e l icógit : 8 b b 4 BF, AE b
14 Poblem 8 E l siguiete figu el tiágulo es isósceles y está iscito e u cicufeeci de dio R Hy 4 cicufeecis igules de dio y u cicufeeci más pequeñ de dio s Clcul los dios de ls cicufeecis y s e fució de R dio de l cicufeeci myo Solució: Se el tiágulo isósceles ABC BC, b AB AC Se h AD ltu del tiágulo Se OE R Aplicdo el teoem de Pitágos l tiágulo ectágulo b R R () AEO: Los tiágulos AGC i ABD so semejtes, plicdo el b h b teoem de Tles:, etoces, h R b R () (R) b b, etoces, b R R (R) b (3) Cosideemos el tiágulo ectágulo ACD y l cicufeeci iscit de dio h b Etoces, (4) Sustituyedo ls epesioes (), (3) e l epesió (4): b b (R) b b R R (5) Sustituyedo l epesió (5) e l epesió (): b b b R (R) b b R R R (6) Elevdo l cuddo y simplificdo: b Rb 3R 0 Resolviedo l ecució e l icógit b: 7 b R (7) Sustituyedo l epesió (7) e l epesió ()
15 R R 7 R Etoces, R R, R R b 4 7 h s R Etoces, s R h R R R, R R etoces, s R 8
16 Poblem 9 Se el tiágulo isósceles ABC, AB AC costte Se l cicufeeci iscit de ceto O y dio U cicufeeci de ceto O y dio es tgete los ldos del tiágulo AB, AC y tgete eteio l l cicufeeci teio As í se costuye cicufeecis Si es costte y BC vible P que vlo de el dio es máimo Solució: Se H el puto medio del ldo BC Se D el puto de tgeci de l cicufeeci iscit l tiágulo ABC y el ldo AC Se E, F les tgetes de ls ots cicufeecis Cosideemos l ect tgete ls dos pimes cicufeecis que cot el ldo AB e el puto K Se J l poyecció de K sobe el ldo BC AD, CH CD AH Aplicdo el teoem de Pitágos l tiágulo ectágulo AO D : Etoces, () KL DE BC KL DE DE DE BJ, LC KB CD Aplicdo el teoem de Pitágos l tiágulo KJB : DE DE ( )
17 Etoces, 4 DE () Se h l ltu sobe el ldo BC del tiágulo AD DE AD AD AE 3 h h h h Etoces: AD DE AD (3) ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 4 AD DE AD Multiplicdo ls - pimes igulddes de (3): Clculemos l deivd de especto de l vible : ) )( ( 4 4 ) ( 4 d ) d( 3 0 d ) ( d, si Resolviedo l ecució: ) ( 4 ) (
18 Poblem 0 A Se el tiágulo ABC culquie y el dio de l cicufeeci iscit y h l ltu sobe el ldo BC Ls cicufeecis iscits los tiágulos ABD, ADC tiee el mismo dio Detemi e témios de y h B Solució: D C Vemos pimeo l elció ete el dio de u cicufeeci iscit u tiágulo y l ltu Se p el semipeímeto Iguldo les fómuls de ls áes: A h p p(p )(p b)(p c), p(p )(p b)(p c) (p )(p b)(p c) p(p )(p b)(p c) I Etoces,, h p Se T el puto de tgeci de l cicufeeci iscit y el ldo B H T BC B C BT p b, CT p c, tg, tg p b p c (p )(p b)(p c) B C p p tg tg (p )(p b) p p h p(p )(p b)(p c) p B C Etoces, tg tg () h C Aplicdo l popiedd teio l tiágulo ABD B BDA tg tg () h
19 Aplicdo l popiedd teio l tiágulo ADC C ADC tg tg (3) h Sustituyedo ls epesioes () (3) e l epesió (): h h h BDA ADC tg tg BDA ADC Como que tg tg, h h Despejdo l icógit h h h :
20 Bibliogfí Gcí Cpitá, F (003) Poblems S Gku 003 Se puede descg e: Eiichi Ito y otos Jpese Temple Mthemticl poblems, i Ngo Pef Jp 003 Dieccioes: Pági jpoes sobe Sgku Eciclopedi Mthwold Etd SgkuPoblem Applets co poblems Sgku Temple_Geomety_Poblems/Jpese_Temple_Geometyhtml Applets co poblems Sgku Págis de l Gcetill mtemátic Se puede ecot ls demostcioes de lguos teoems Sgku Pági d Atoio Gutiéez Poblems de Geometí
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