CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Primer Examen Parcial. 27 de Enero de 2003

Transcripción

1 CÁLCULO Pime cuso de Igeieo de Telecomuicació Pime Exame Pacial. 7 de Eeo de 3 Ejecicio. Deducilafómuladeláeadeusegmetopaabólico e fució de su base y su altua. Se cosidea u coo cicula ecto co adio de la base y geeatices de logitud g. Al cotalo po u plao paalelo a ua de dichas geeatices se obtiee como itesecció u segmeto paabólico. Calcula el áea máxima de los segmetos paabólicos obteidos po este pocedimieto. h g b Solució: Elegimos u sistema de coodeadas tal que la base del segmeto está coteida e el eje x y el vétice de la paábola es u puto del eje y. Etoces, deotado y ax +Bx+c, teemos que la solució de y ax + B es x B/a, lo que implica que B. Además, la coodeada y del vétice es y () c h. Fialmete, los putos itesecció de la paábola co el eje x veifica y ax + h x ± h a ± b h a b a h b. E cosecuecia, la ecuació de la paábola es y h b x + h h µ x. b El áea del segmeto paabólico, e fució de su base y su altua, es Z b/ A h µ x dx h µx x3 b/ b 3b µ b h b h b bh.

2 Si elegimos u sistema de coodeadas xyz tal que la base del coo está coteida e el plao xy y el oige coicide co el ceto de dicha base, los putos itesecció de las paábolas co dicho plao so x, x y x, x,dodex [, ]. Po lo tato, las bases de los semetos paabólicos so b (x) x, dode x [, ]. Si deotamos po α el águlo fomado po ua ecta geeatiz y su poyecció sobe el plao xy, teemos que cos α /g. Laaltuah (x) y la geeatiz opuesta foma u tiágulo isósceles co dos águlos iguales a α cuya base es x. Etoces cos α x h (x) g ( x) h (x) g, x. El áea de los segmetos paabólicos es A (x) 3 b (x) h (x) g ( x) x g 3 3 ( x) x, dode x. Paa calcula el áea máxima, esolvemos la ecuació A (x) g µ x ( x) 3 x x g µ ( x ) x + x 3 x g 3 µ x x x, lo que implica x x. Las solucioes de esta ecuació so los putos cíticos x ± +8 ± 3 ½ /. Dado que e los extemos A () A ( ) ye el úico puto cítico queesiteio,teemos A ( /) g g g, este valo es el áea máxima de los segmetos paabólicos.

3 Ejecicio. La cuva y x k, x, dodek>, divide el cuadado fomado po los ejes coodeados y las ectas x, y,e dos egioes R (la supeio) y R (la ifeio). Obtee po el método de los discos, el volume V del sólido geeado al gia la egió R e too al eje y. Obtee po el método de las capas (o de los tubos), el volume V del sólido geeado al gia la egió R e too al eje y. E el caso k, obtee el áea de la supeficie geeada al gia la cuva dada e too al eje y y la logitud de dicha cuva. Solució: Lasegioesdefiidas po la cuva y x k e el cuadado uidad so R (x, y) : x, x k y ª, R (x, y) : x, y x kª. El volume del sólido geeado al gia R alededo del eje y, usado el método de los discos, es Z Z ³ Z V π x (y) dy π y k dy π y y k + k dy π + kπ k +. k El volume del sólido geeado al gia R alededo del eje y, usado el método de las capas, es Z Z V π xy dx π x k+ dx π xk+ k + π k +. El áea de la supeficie geeada al gia y x, x, alededo del eje y es Z q Z S π x +(y ) dx π x +x dx π +x 3/ π 3/ La logitud de la cuva y x defiida e [, ] es Z q Z L +(y ) dx +x dx Z q (/) + x dx. E pime luga, vamos a calcula ua pimitiva de la fució a + x. Usado la sustitució x a sh t, obteemos dx a ch tdt yademás p p p a + x a + a sh t a +sh t a ch t a ch t. 3

4 Etoces Z a Z Z µ e + x dx a ch tdt a t + e t Z dt a e t + e t + dt µ µ a e t e t +t + C a (e t e t )(e t + e t ) +t + C Ã! a a x ³ x x ( sh t ch t +t)+c + +agsh + C a a a à a x! a + x a x ³ x +l a C a x a + x + a l x + a + x a + C x a + x + x a l + a + x + C. A cotiuació, calculamos la itegal defiida Z q L (/) + x dx à +! Ã! l + l + + / l / + ³ l +.

5 Ejecicio 3. Se cosidea la fució f (x) l(+x) defiida e el itevalo (, ). Obtee la seie de Taylo e ceo de f, suadioy su domiio de covegecia. Estudia el caácte de la itegal Z l ( + x) x p se x dx. Estudia el caácte de la seie, y obtee su suma e caso de que sea covegete. Solució: La deivada de la fució f (t) l(+t) satisface f (t) +t X ( t) ( ) t, dode t <. Itegado la deivada ete y x, obteemos f (x) f () po lo que Z x ( ) t dt l ( + x) Z x ( ) t dt ( ) x x x + x3 3 ( ) x + +, es la seie de Taylo de f, debido a su uicidad. El adio de covegecia de la seie es R lim a a + lim + + lim. La seie covege absolutamete e (, ). Estudiamos la covegecia elosputostemialesx y x. E el pimeo, la seie ( ) ( ) ( ) es divegete po el citeio itegal. E el segudo puto, la seie ( )

6 es covegete po el citeio de Leibitz. Etoces la seie es covegete e el itevalo (, ]. Paa aaliza la itegal impopia, usamos el citeio de compaació po límites co la itegal Z x dx α queescovegetesiα< ydivegetesiα. Calculamos lim x + l ( + x) x p se x x α x α lim x + x p si p α poque l ( + x) y se x so ifiitésimos equivaletes cuado x +. E cosecuecia, la itegal es covegete si p<ydivegete si p. Aplicado el citeio del cociete a la seie, obteemos lim a + a lim ( +) + lim + <, po lo que la seie es covegete. Paa sumala, usado el apatado obteemos X ( ) ( ) ( ) µ l µ l l. µ 6